1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Знак «−» в (1.31) соответствует тому физически наблюдаемомуфакту, что тепло может передаваться только от «горячих» областей к«холодным». Ниже мы покажем, что аксиома Фурье может быть выведена изобщего принципа независимости определяющих уравнений от системыотсчета.Коэффициент κ теплопроводности в моделях конкретных сплошных средесть известная функция других параметров состояния.

Для многих сред онвообще постоянен.Аксиома Фурье позволяет уменьшить число неизвестных в модели (DM) наединицу, заменяя в уравнении сохранения энергии (1.23) векторнуюнеизвестную q на две скалярных Θ и κ:ρdU= P : D + div ( k ∇Θ ) .dt5МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________Equation Section 1(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)(1.8)(1.9)(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)(1.14)(1.15)(1.16)(1.17)(1.18)(1.19)(1.20)(1.21)(1.22)(1.23)(1.24)(1.25)(1.26)(1.27)(1.28)(1.29)(1.30)(1.31)1.4. Определяющие уравнения.Для того, чтобы научиться выводить определяющие уравнения, мы должныболее подробно изучить такую фундаментальную характеристику сплошнойсреды как тензор деформации. Кроме того, мы сформулируем основныепринципы построения определяющих уравнений.1.4.1. Деформация сплошной среды.Пусть x=γ(ξ,t) – движение сплошной среды.

Разумеется, при движении первоначальная конфигурация Ω0 сплошной среды переходит в «деформированную» конфигурацию Ωt, при которой изменяется взаимное положение частицсплошной среды. Зафиксируем некоторую частицу P0∈Ω0. Тогда ее положение в нулевой момент времени есть ξ0, а в момент времени t − x0=γ(ξ0,t). Вектор w0= x0−ξ0 называется вектором перемещения частицы P0. Пусть e1∈S –произвольный орт, ξ1=ξ0+se1, а x1=γ(ξ1,t) (s>0) (см. рис.

1).Рисунок 1Относительным удлинением в направлении e1 называется числоl ( e1 ) = lims →0x1 − x0 − ξ1 − ξ 0ξ1 − ξ 00МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________Пусть теперь e2 ∈ S, ξ2 = ξ0+se2, x2 = γ(ξ2,t), ϕ – угол между векторами ξ1−ξ0 иξ2−ξ0 (или, что то же, между ортами e1 и e2), а ψs – угол между векторамиx1−x0 и x2−x0:cosψ s =( x1 − x0 ) ⋅ ( x2 − x0 )x1 − x0 ⋅ x2 − x0(см. рис. 4.1).Относительным сдвигом направлений e1 и e2 называется числоτ ( e1 , e2 ) = limψ s − ϕ .s →0Относительные удлинения и сдвиги полностью характеризуют деформациималой окрестности частицы P0, поскольку описывают, как изменяются расстояния и углы при движении сплошной среды.1.4.2. Тензор деформации ЛагранжаДля аналитического описания деформации в случае, когда движение γ дифференцируемо, определим тензор , называемый тензором дисторсии, равенством=Тогда, очевидно,∂x∂γ (ξ 0 , t )=∂ξ ∂ξx1 − x0 = γ (ξ 0 + se1 , t ) − x0 =se1 + o ( s ) .(1.32)Определим теперь тензор деформации Лагранжа L равенством2L =∗−IТогда, из (1.32) очевидным образом вытекают равенстваl ( e1 ) = 2e1 ⋅ L e1 + 1 − 1()cos limψ s =s →0e1 ⋅ e2 + 2e1 ⋅ L e2s →0=x1 − x0 − ξ1 − ξ 0= lims →0ξ1 − ξ 0e1 − 1 =e1 ⋅(1.34)l ( e1 ) + 1 l ( e2 ) + В самом деле,l ( e1 ) = lim(1.33)se1 + o ( s ) − se1se1e1 − 1 = e1 ⋅ (∗)=e1 − 1 == e1 ⋅ ( 2L + I ) e1 − 1 = 2e1 ⋅ L e1 + 1 − 1.Далее, аналогично,x1 − x0 ==se1 ⋅se1 + o ( s ) =se1 + o ( s ) = s e1 ⋅ (se1 + o ( s ) =∗)e1 + o ( s ) == s e1 ⋅ ( 2L + I ) e1 + o ( s ) = s 2e1 ⋅ L e1 + 1 + o ( s ) = s ( l ( e1 ) + 1) + o ( s ) .Поэтому1МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________( x − x ) ⋅ ( x2 − x0 ) = lim  se1 + o ( s )  ⋅  se2 + o ( s )  =cos limψ s = lim 1 0s →0s →0s →0 x1 − x0 ⋅ x2 − x0 s ( l ( e1 ) + 1) + o ( s )  ⋅  s ( l ( e2 ) + 1) + o ( s ) e1 ⋅ e2( e1 + O ( s ) ) ⋅ ( e2 + O ( s ) ) == lim=s →0 ( l ( e1 ) + 1) + O ( s )  ⋅ ( l ( e2 ) + 1) + O ( s ) l ( e1 ) + 1 ⋅ l ( e2 ) + 1()=e1 ⋅ e2 + e1 ⋅ (∗)e2 − e1 ⋅ e2l ( e1 ) + 1 ⋅ l ( e2 ) + 1=e1 ⋅ e2 + 2e1 ⋅ L e2l ( e1 ) + 1 ⋅ l ( e2 ) + 1Можно показать, что знание тензорной функции L (ξ,t) позволяет полностьюопределить конфигурацию Ωt сплошной среды.1.4.3.

Тензор деформации Эйлера.Точно так же можно ввести тензор деформации Эйлера равенством2E = I − ⊥∗ ⊥где⊥=∂ξ∂= γ −1 ( x, t )∂x ∂xПодчеркнем, что тензоры L и E – функции разных переменных: L=L (ξ ,t ) , аE =E ( x,t ) . Нетрудно доказать, что L = * E.1.4.4. Тензор скоростей деформации.При описании некоторых сред более удобным оказывается знать не деформацию, а скорость деформации. Эта скорость характеризуется величиной∂L. Она легко вычисляется через тензор дисторсии и тензор скоростей де∂t∂γ (ξ , t )= v L (ξ , t ) , имеемформации (см. п. 1.2.12).

В самом деле, поскольку∂tL∂∂v∂v.==∂t∂ξ ∂xПоэтому∂L=∂t∗Dгде D – тензор скоростей деформации1  ∂v ( x, t )  ∂v ( x, t ) +D= 2  ∂x ∂x ∗(см. п. 1.2.12).1.4.5. Определяющие уравнения (уравнения состояния).До настоящего момента мы не использовали никаких конкретных знаний, отличающих одну сплошную среду от другой в рамках рассматриваемой намимодели.

Поэтому пока наша модель носит универсальный характер, включаяв себя широкий класс газов, жидкостей, упругих тел и т.п. Поведение конкретного класса сплошных сред подчиняется, кроме описанных универсаль2МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________ных законов, дополнительным уравнениям, характеризующим именно данный конкретный класс.

Эти уравнения носят название определяющих уравнений или уравнений состояния. Обычно эти уравнения связывают тензор напряжений с деформацией среды (например, с тензором деформации, или скоростей деформации).В силу большого многообразия физически различных сплошных сред, естественно, эти уравнения могут быть весьма разнообразными. Тем не менее,они подчиняются некоторым общим для них всех условиям, или принципам.Эти принципы (вернее, самые существенные и важные из них) мы сейчассформулируем.1.4.6. Принцип причинности.Поле тензоров напряжений P(x,t) в сплошной среде Ωt однозначно определяется предысторией эволюции сплошной среды.Более подробно, пусть γ t = γ (⋅, t ) : Ω0 → Ωt – движение сплошной среды, аP:D→Rk – набор параметров, описывающих эту среду. Символическая записьпринципа причинности выглядит так:{где γ (η , ⋅) [0,t ]}P γ (ξ , t ) , t  = F  ξ , t , ∪ γ (η , ⋅) 0,t , P γ (ζ , ⋅) , ⋅(1.35)[ ][0,t ]η ,ζ ∈Ω0и P γ (ζ , ⋅) , ⋅ – сужения соответствующих функций на отрезок[0,t ][0,t].

Другими словами, тензор P зависит только от того, как среда эволюционировала раньше и не зависит ни от посторонних эффектов, ни от ее поведения в будущем.1.4.7. Принцип пространственной локализацииВ формуле (1.35) взамен η ,ζ ∈ Ω0 можно писать η ,ζ ∈ Vξ , где Vξ – некоторая окрестность точки ξ в Ω0 .Этот принцип означает, что тензор напряжений в данной частице определяется лишь поведением среды в некоторой окрестности этой частицы. Еслипредположить аналитичность всех параметров среды, то принцип пространственной локализации можно переформулировать так.Тензор напряжений в данной частице зависит от предыстории параметров P и их производных в данной частице: ∂ k ∂kP γ (ξ , t ) , t  = F ξ , t , ∪  k γ (ξ , ⋅) , k P γ (ξ , ⋅) , ⋅   .∂ξk∈N +  ∂ξ [0,t ][0,t ] Сплошная среда, для которой в правой части последнего равенства фигурируют только производные нулевого (т.е.

сами функции) и первогопорядков:∂∂P γ (ξ , t ) , t  = F  ξ , t , γ (ξ , ⋅) 0,t , γ (ξ , ⋅) , P γ (ξ , ⋅) , ⋅ , P γ (ξ , ⋅) , ⋅  ,[ ] ∂ξ[0,t ] ∂ξ[0,t ][0,t ] называется простой.3МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________Наконец, если в правых частях приведенных выше уравнений взаменвсех сужений функций f [0,t ] на отрезок [0,t] фигурируют только сужения f[ t ,t ]= f{t}= f ( t ) «на точку» t, то сплошная среда называется средойс бесконечно короткой памятью (синонимы: среда с нулевой памятью,среда без наследственности).Например, определяющие уравнения в простой среде с бесконечно короткойпамятью должны выглядеть так:∂∂P γ (ξ , t ) , t  = F  ξ , t , γ (ξ , t ) , γ (ξ , t ) , P γ (ξ , t ) , t  , P γ (ξ , t ) , t  ∂ξ∂ξили, короче,∂P (γ , t ) ∂γP γ (ξ , t ) , t  = F  ξ , t , γ , , P (γ , t ) ,∂ξ∂ξ Описание последнего из формулируемых нами принципов – принципа независимости от системы отсчета – несколько сложнее.

Характеристики

Список файлов лекций