1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Equation Chapter 1 Section 1ВВЕДЕНИЕМатематика, как одна из древнейших наук, в разные времена и в разных областях играларазличные роли, от роли простого подручного до роли высшего судьи, решающего вопрособ истине. Такое многообразие ролей определяется возможностью описывать различныеобъекты и процессы окружающего мира с помощью универсальных в той или иной мересоотношений.

По образному выражению Анри Пуанкаре «математика – это искусстводавать одинаковые названия разным объектам». Так, например, известноедифференциальное уравнение линейного осциллятораx′′ + ω 2 x = 0одинаковым успехом описывает как малые (механические) колебания маятника, так ималые (электромагнитные) колебания в колебательном контуре, а системадифференциальных уравнений Лотки-Волътеррыx1′ = ax1 − bx1 x2 ,x2′ = −сx2 + dx1 x2описывает как динамику поведения биологических популяций "хищник-жертва" , так икинетику простой гипотетической химической реакции.Математические модели процессов всегда основаны на некотором упрощении,идеализации, отбрасывании факторов, которые в данный момент или на данном этапеисследований представляются несущественными.

Например, уравнения ньютоновоймеханики не учитывают релятивистских эффектов, уравнение колебательного контура неучитывает нелинейности элементов контура, школьное уравнение, описывающеесвободное падение тела в гравитационном поле Земли, не учитывает зависимости силыпритяжения от высоты, уравнения Лотки-Вольтерры - внутривидовой конкуренции и т.д.В связи с запросами практики и развитием самой математики (которая, впрочем, отчастиразвивается под воздействием этих запросов) математические модели усложняются,становятся более универсальными, более совершенными.Процесс математического моделирования тех или иных физических, механических,биологических, экономических, социальных и т.п. явлений может быть разбит на двабольших этапа.Первый из них – построение собственно математической модели.

На этом этапепроводится математическая формализация явления (выбор характеристик, которыеподдаются математическому описанию, нахождение математического выражениясоотношений между характеристиками и т.п.), развивается математический аппарат,позволяющий построить математическую модель, проводится ее упрощение и т.д. Вданном курсе мы демонстрируем процесс построения математической модели на примеремоделей механики сплошной деформируемой среды.Следующий, по существу, также необходимый этап - исследование получившейсямодели. Поскольку получающиеся модели, как правило, представляют собой сложныесистемы дифференциальных уравнений, допускающие интегрирование только висключительных случаях, жизненно важно развитие методов их исследования.

Здесьможно выделить два больших направления.•Первое – так называемые качественные методы – представляет собой совокупностьметодов, позволяющих делать те или иные заключения о решениях, не зная точногоих выражения. Сюда включаются различные теоремы существования иединственности решений, теория устойчивости, асимптотические методы и т.п. Этонаправление - огромная часть современной математики.

Частично она будетизлагаться в последующих курсах.1•В значительной (очень значительной) степени возможности математическогомоделирования преумножаются с использованием компьютерных вычислений, втом числе и аналитических.Применение методов математического моделирования тесно связано с решениемжизненно важных задач развития экономики, улучшения условий существованиячеловека, охраной окружающей среды. Естественно возникают примеры.Адаптация к среде.Проблема включает приспособительное варьирование внутривидовых группировок имноговидовых сообществ, изучение условий адаптации к холоду, сухости, высокимтемпературам, невесомости и т.д.Регуляция численности популяций.Результаты исследований необходимы для управления динамикой численностивредителей сельского и лесного хозяйства, переносчиков болезней человека исельскохозяйственных животных.Управление продукционным процессом.Здесь изучаются вопросы количественной характеристики энергетического потока всистеме трофических (от греч.

trophe – питание) уровней: управление процессомфотосинтеза, повышение его интенсивности, увеличение выхода продукции,используемой человеком, поддержание плодородия почвы, предохранение от истощения,эрозии, эффективность применения различных типов удобрений, рациональноеразмещение посевов.Экологическия индикация.Ее задачи тесно связаны с нуждами промышленности, сельского хозяйства; ониопределяют масштабы и прогнозирует последствия воздействия человека на природнуюсреду (степень загрязнения вод, атмосферы, почв); определяют допустимый порогистощения почвы, предельно допустимые концентрации вредных отходов деятельностичеловека.Мониторинг.Система повторяемых целенаправленных наблюдений за интересующими человекапараметрами природной среды в их динамике.Математическая технологияВ настоящее время сложилась вполне определенная технологическая цепочкаматематического моделирования : объект исследования (явление) – физическая модель –математическая (непрерывная) модель - дискретная (численная) модель –алгоритмическая модель – компьютерная модель (программа) - расчет (вычислительныйэксперимент) – интерпретация результатов (анализ, сравнение с экспериментальными идругими данными).Объект математической технологии - вычислительная часть этой цепочки: численнаямодель – алгоритм – программа – расчет – интерпретация.Вычислительный эксперимент – мощный научный метод, предназначенный для изучении,прогнозирования, оптимизации сложных многопараметрических нелинейных процессов,теоретическое и экспериментальное исследование которых традиционными методамизатруднено или невозможно.На первом этапе вычислительного эксперимента формулируется математическая модель.Основное требование, предъявляемое к математической модели, –адекватное описаниефизических процессов, протекающих в исследуемых системах.

Однако охватить всемногообразие явлений чрезвычайно трудно. Необходимо упростить проблему ирассмотреть только основные процессы. Какие из них являются основными, а какиевторостепенными определяется в первую очередь свойствами изучаемой системы и темкругом задач, для решения которых она предназначена.

Построение математической2модели существенно зависит от конкретного явления. Вместе с тем есть и ряд общихположений.• Система уравнений, составляющая математическую модель, должна бытьзамкнутой и непротиворечивой.• Алгоритм решения задачи должен быть легко реализуемым с использованиемдоступных ресурсов.К желательным свойствам математической модели следует отнести ее устойчивость повходным параметрам и свойство физической замкнутости, когда количество внешнихфизических параметров минимально и они соответствуют величинам, поддающимсяуправлению в реальном процессе.На завершающем этапе выполняется анализ результатов, сопоставление их стеоретическими выводами и с данными натурного эксперимента.

При необходимостиматематические модели и вычислительные алгоритмы уточняются, так чтовычислительный эксперимент повторяется на более совершенной основе.Общие принципы построения математических моделейПри изучении любого явления вначале получают качественное описание проблемы.

Наэтапе моделирования качественное представление переходит в количественное,определяются функциональные зависимости между переменными и (для каждоговарианта решения и входных данных) выходные данные модели. Построение моделей процедура неформальная и очень сильно зависит от квалификации исследователя(эксперта), всегда опирается на определенный опытный материал.

Модель должнаправильно отражать явления, однако этого мало - она должна быть удобной дляиспользования. Поэтому степень детализации модели, форма ее представления зависят отцелей исследования.Важным аспектом проблемы является построение иерархии моделей, описывающихчастные явления, из моделей более общих. Так, в механике жидкостей модельпограничного слоя Прандтля, являющаяся асимптотической, выведена из более общеймодели – уравнений Навье - Стокса.Основная задача научного анализа – выделить реальные движения из множествамысленно допустимых, сформулировать принципы их отбора. Здесь термин "движение"употребляется в широком смысле – изменение вообще, всякое взаимодействиематериальных объектов.

В различных областях знания принципы отбора движенийразные.Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и самаявысокая – мыслящая.На уровне неживой материи основными принципами отбора являются законы сохранениявещества, импульса, энергии и т.д. Любое моделирование начинается с выбора основных(фазовых) переменных, с помощью которых записываются законы сохранения.Они не выделяют единственного движения и не исчерпывают всех принципов отбора.Необходимо учитывать законы термодинамики, принципы минимума диссипацииэнергии, устойчивости.

Очень важны различные условия (ограничения): граничные,начальные и др. Эти дополнительные принципы отбора производят дальнейшее сужениемножества возможных движений.На уровне живой материи все принципы отбора движений, справедливые для неживойматерии, сохраняют свою силу. Поэтому и здесь процесс моделирования начинается сзаписи законов сохранения. Однако основные переменные оказываются уже другими.Почти все взаимодействия в живой материи динамические, т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций