1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Поскольку α x′ < 0 , тоλ1 < 0. Если K ( x ) > 0 , т.е. x > x* , λ2 > 0 и эта точка – седло.При x < x * и K ( x ) < 0 точка ( x ,0 ) – устойчивый узел.В точке (х*, y*) имеемdpdq(1.22)= −σ p − V ( x * ) q,= K x′ ( x* ) y * p.dtdtгде σ = V ′ ( x * ) y * − α ′ ( x* ) x* − α ( x* ) . Характеристическое уравнение этой системы имеет•(видλ 2 + σλ + V ( x* ) K x′ ( x* ) y * = 0 .)(1.23)Поскольку произведение корней V ( x* ) K x′ ( x* ) y * положительно, то точка (x*, у*) есть либофокус (при σ 2 < 4VK x′ y * ), либо узел (при σ 2 > 4VK x′ y * ).Устойчивость определяется знаком σ (при σ > 0 – имеет место устойчивость решения, апри σ < 0 – неустойчивость).Из сказанного выше можно сделать вывод, что из весьма простых и естественныхпредположений о характере межвидовых и внутривидовых взаимоотношений возникаетдостаточно сложное поведение системы хищник-жертва.

Интересно то, что в этойсистеме возможно естественное существование предельного цикла.В рассмотренной модели сделано существенное допущение: α x′ < 0 , α ( x ) = 0 при х < ∞,что предполагает существование в популяции жертв механизмов, регулирующих ихчисленность даже в отсутствие хищников. Однако основной механизм регуляциичисленностей, входящих в сообщество видов, – трофические взаимоотношения междухищниками и жертвами.Классическая модель хищник–жертва обобщается в других, более сложных, моделях.4.

Сообщества п видов. Вольтерровские модели и балансовые уравнения экологииВ структуре сообществ многих видов выделяются трофические (пищевые) уровни —группы видов, между которыми невозможны прямые пищевые связи. Уровней может бытьнесколько. Виды, принадлежащие одному уровню, находятся обычно либо в состоянииконкуренции в борьбе за жизненные ресурсы, либо – коалиции в использовании ресурсов.Основные трофические уровни наземных сообществ – это, как правило, продуценты(растения, аккумулирующие энергию света и вещества субстрата), первичные консументы(травоядные) и вторичные консументы (хищники, питающиеся травоядными).

Внекоторых случаях возможна более длинная цепь.На рисунке 4 приведена схема потоков массы и энергии между основными компонентаминаземных экосистем.Трофическая сеть отражает лишь вертикальную структуру сообщества и ничего неговорит о его горизонтальной структуре, между тем как виды одного трофического уровнямогут находиться в весьма разнообразных отношениях друг с другом.Теоретический анализ динамики сообщества п видов во времени опирается на некоторуюсистему уравнений относительно Ni(t), аппроксимирующих численность видов. Имеющиебиологический смысл решения системы принадлежат положительному октанту п-мерногоевклидова пространстварп = {N: N1≥0, N2≥0,…, Nn≥0}.12Стабильность сообщества интерпретируется как совокупность некоторых специальныхсвойств особых, "равновесных", решений системы.Рисунок 4.

Схема потоков массы и энергии между основными компонентами наземных экосистемВ классе обыкновенных дифференциальных уравнений модель сообщества представляетсобой систему видаdN i= Fi ( N1 , N 2 ,… , t )dtгде функции F1,...,Fп определяются структурой видовых взаимоотношений и ихколичественными показателями. Если в указанных уравнениях естественный приростили убыль видов описываются линейными, а самолимитирование и взаимовлияниевидов – квадратичными членами, не зависящими явным образом от t, то получаются такназываемые вольтерровские модели динамики сообщества п-видов:ndN i(1.24)= N i  ε i − ∑ γ ij N j  , i = 1, 2,… , n ,dt=1jгде εi – скорость естественного прироста или смертности i-го вида в отсутствие всехостальных видов, γij (i≠j) отражают соответственно характер и интенсивность влияния j-говида на i-й, γii – показатель внутривидового взаимодействия для i-го вида. МатрицуГ = γij, отражающую структуру связей сообщества, называют матрицей сообщества.Математические модели экологии необходимы для изучения устойчивости, стабильностиэкосистем.

Ясно, что довольно долго могут существовать только устойчивые экосистемы.С другой стороны, пределы устойчивости определяют те максимальные нагрузки наэкосистему, превышение которых приведет к "экологической катастрофе". С проблемойустойчивости связаны вопросы эксплуатации природных популяций и сообществ, оценкипределов загрязнения среды, прогноз последствий осуществления тех или иных природохозяйственных мероприятий.13Математическое моделирования в задачах поддержкипринятия решенийПерейдем к рассмотрению класса задач, ставших актуальными в последние годы в связисо значительным усложнением функций управления во всех областях человеческойдеятельности и в связи с доступностью достаточно дружелюбных вычислительныхустройств, работа с которыми оказалась по силам не только профессионалам.В известном смысле именно необходимость решения этого класса задач породиладисциплину «системного анализа» – выбора наиболее предпочтительного решения(способа достижения поставленной цели) из множества допустимых альтернативныхрешений или вообще некоторого упорядочения этого множества.Выявление самой цели или целей представляет собой непростую задачу и решается онаматематиками с помощью экспертов.

После составления полного перечня критериевтребуется установить меру каждого показателя.Будем считать, что набор критериев является полным, если использование любыхдополнительных критериев не изменяет результатов решения задачи, а отбрасывание хотябы одного из выбранных критериев, наоборот, приводит к изменению результатов. Инымисловами, набор из п критериев можно считать полным, если, зная значения n-мерноговектора оценок по этим критериям, лицо, принимающее решение (традиционно – ЛПР),имеет ясное представление о степени достижения главной цели.Мерой каждого показателя может быть его качественное описание.

Некоторые показателиимеют хорошо определенные единицы измерения., Формирование полного перечнякритериев представляет собой сложную многошаговую итеративную процедуру, котораявыполняется совместно экспертами и консультантами (математиками). Оценка вариантоврешений осложнена тем, что различные специалисты дают разные оценки одному и томуже варианту решения.

В связи с этим одна из задач (состоит в построении настолькодетальных и конкретных характеристик критериев и оценок по шкалам, чтобы невозникало затруднений при их применении. При выборе шкалы оценок полезностицелесообразно установить интервал возможных значений показателя. Наилучшее значение(наиболее приемлемое) удобно принять за единицу, а наименее приемлемое – за ноль.

Вбольшинстве случаев невозможно одновременно получить идеальные значения дляразных показателей, так как часто они соответствуют достижению противоречивых целей.Так, требование максимальной величины какой-то рабочей характеристики системы можетне выполняться при требовании минимальной потери времени и минимальных финансовыхзатрат.Для выбора варианта решения с конкретными значениями решающих переменныхнеобходимо преобразовать векторное описание системы с многими показателями вскалярное, это можно осуществить путем качественного обобщения информации илипутем объединения всех показателей в единое представление, называемое целевойфункцией.Остановимся на некоторых способах выбора единой цели для многокритериальнойпроблемы.Пусть заданы п критериев, зависящих от способа действия (вектора х): f1(x), f2(x), ,…, fn(x).Требуется построить одну целевую функцию F(х).Линейная сверткаnF ( x ) = ∑ Ci f i ( x )(1.25)i =1где Сi – некоторые положительные числа, тем или иным способом нормированныеn(например, ∑ i =1 Ci = 1 ).

Коэффициенты Сi, – порождаются экспертизой; они отражают14ранжирование целей, что позволяет свести задачу со многими критериями к задаче сединственным критерием, определяемым формулой (1.25).Использование контрольных показателей.Очень часто в задачах планирования и проектирования задается некоторая системанормативов: f1* , f 2* ,…, f n* . Это может означать, например, что параметры будущейконструкции должны быть такими, чтобы максимизировать функции fi(х) при условияхf i ( x ) ≥ f i * , i = 1, n . В этих случаях целевую функцию удобно представить в видеfi ( x )(1.26)ifi*и искать вектор х, который обеспечивает максимальное значение F(х), т. е.

при данномзначении вектора х величина F(х) дает значение наихудшего из показателей fi(х). Значит,условие F(х) => max означает выбор такой системы конструктивных параметров x,которая максимизирует отношение i-го реально достигнутого значения критерия к егоконтрольному значению. Если значения f i * жестко не заданы, то они могут бытьопределены в результате экспертного опроса.Критерий (1.25) обладает следующим важным достоинством. Предположим, чтоограничения, наложенные на выбор компонент вектора х, линейны:(1.27)∑α sj x s ≤ b j ,F ( x ) = minкак и функции f i ( x ) = ∑ s d si x s .

Тогда задача выбора с использованием критерия (1.25)сведется к задаче линейного программирования: определить максимум линейной формыF ( x ) = ∑∑ Ci d si x ssiпри линейных ограничениях (1.27).Критерий (1.26) при этих условиях обладает тем же свойством. В самом деле, введемf ( x)новую переменную V = min i * . Тогда к ограничениям (1.27) добавятся еще и такие:ifif i ( x ) ≥ Vf i * , i = 1, n ,(1.28)Таким образом ставится задача линейного программирования: определить максимум по хскаляра V, удовлетворяющего ограничениям (1.27), (1.28).Введение метрики в пространстве целевых функций.Предположим, что решена система однокритериальных задачf i ( x ) → max, i = 1, nи найден в i-й задаче вектор хi-, доставляющий максимальное значение критерию fi(x):f i ( xi ) = f i , i = 1, n(1.29)Совокупность скалярных величин f i определяет в пространстве критериев точку,которую назовем точкой "абсолютного максимума".Если векторы хi различны, то не существует выбора, который позволил бы достичь этойточки: точка f1 , f 2 ,… f n является недостижимой в пространстве критериев.()Введем положительно определенную матрицу R= (rij).

Характеристики

Список файлов лекций