1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

зависят от времени,постоянно изменяются. Более того, взаимодействия часто имеют особенность, которуюназывают "обратной связью". Взаимодействия характеризуются тем, что некоторыеэффекты процесса возвращаются к своему источнику или к предыдущей стадии, врезультате чего усиливаются или видоизменяются.

Обратные связи бывают3положительными (усиление эффекта) и отрицательными (ослабление эффекта). Итак, приописании биологических систем следует основываться на законах сохранения и системеобратных связей.На общественном уровне организации материи возникает совершено новое явление –трудовая деятельность. Поэтому для описания моделей в этой области следуетпользоваться терминами трудовой деятельности людей (экономическими терминами).Можно выделить два типа моделей:• детерминистические, в которых предсказываемые значения могут быть точновычислены;• стохастические, в которых предсказываемые значения зависят от распределениявероятностей.В некоторых случаях при изучении процесса может оказаться, что получитьфункциональные зависимости между выходными и входными переменными невозможноиз-за недостатка данных и тогда приходится использовать мнение экспертов – экспертныеоценки.Следует отметить некоторые преимущества и недостатки применения математическихмоделей.Преимущества математических моделей состоят в том, что они точны и абстрактны,передают информацию логически однозначным образом.

Модели точны, посколькупозволяют осуществлять предсказания, которые можно сравнивать с реальными данными.Модели абстрактны, так как символическая логика математики извлекает те и только теэлементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая всепосторонние значения.Недостатки математических моделей заключаются часто в сложности математическогоаппарата. Возникают трудности перевода результатов с языка математики на языкреальной жизни. Пожалуй, самый большой недостаток математической модели связан стем искажением, которое можно привнести в саму проблему, упорно отстаиваяконкретную модель, даже если в действительности она не соответствует фактам, а также стеми трудностями, которые возникают иногда при необходимости отказаться от модели,оказавшейся неперспективной.

Математическое моделирование настолько увлекательноезанятие, что "модельеру" очень легко отойти от реальности и увлечься применениемматематических языков к абстрактным явлениям. Именно поэтому следует помнить, чтомоделирование в прикладной математике –лишь один из этапов широкой стратегииисследования.Поговорим теперь о месте математического моделирования в решении сложныхмеждисциплинарных задач, которыми занимается системный анализ.Дисциплина, именуемая "системный анализ", образовалась в силу необходимости вестиисследования междисциплинарного характера.

Создание сложных технических систем,проектирование крупных хозяйственных комплексов и управление ими, анализэкологических ситуаций и многие другие аспекты инженерной, научной и хозяйственнойдеятельности требовали организации исследований, которые носили бы нетрадиционный,междисциплинарный характер. Становление системного анализа и его развитиеопределяется новыми возможностями, непосредственно обусловленными развитиеминформационно-вычислительных технологий.Системный анализ занимается проблемами принятия решений в условиях, когда выборальтернативы (стратегии) требует анализа сложной информации различной физическойприроды. Он опирается на теорию исследования операций и общую теорию управления.

Висследовании операций можно выделить три основных этапа:• построение модели – описание задачи на языке математики;• описание операции – постановка задачи. Здесь необходимо сформулировать цельоперации и, в конечном счете, оптимизационную задачу;4• решение поставленной оптимизационной задачи.При изучении сложных систем встает проблема неопределенности целей (трудностьсопоставления различных требований). В этом случае на помощь приходит системныйанализ.В системном подходе выделяются основные этапы, которые можно представить в видесхемы (рис.

1).Рисунок 1. Основные этапы системного анализаПервый этап. Постановка задачи и ограничение степени ее сложности.При исследовании сложных систем требуется упростить задачу, чтобы она имела четкуюи достаточно простую математическую формулировку. Успех или неудача всегоисследования во многом зависит от согласования между упрощением и усложнением. Неодин заманчивый проект оказывался в конце концов не осуществленным из-за того, чтопринятый уровень сложности затруднял последующее моделирование, не позволяяполучить решение.Второй этап.

Установление иерархии целей и задач.Следующим этапом системного анализа является установление целей и задачисследования. Обычно эти цели и задачи образуют некоторую иерархию, причемосновные задачи подразделяются на ряд второстепенных.В системном анализе малый приоритет может быть присвоен тем целям и задачам,которые хотя и важны для получения научной информации, но довольно слабо влияют навид решений рассматриваемой сложной системы.

Для плодотворного применениясистемного анализа очень важно четко определить приоритеты различных задач.Исследование часто начинается при нечеткой формулировке целей, которые уточняются впроцессе системного анализа .Третий этап. Моделирование.На этапе постановки задачи получают качественное описание проблем. На этапемоделирования качественное представление переходит в количественное. Одной изосновных целей моделирования в системном анализе является оказание помощиисследователю системы и лицу, принимающему решение, в получении более ясногопредставления о взаимодействиях между различными элементами системы.Четвертый этап. Имитационная система.Цели в задачах теории исследования операций и теории управления считались заданными.В новых сложных задачах объектом, исследования становятся сами цели.

Эта проблема неможет быть решена без участия экспертов. Однако только эксперты не смогутпроанализировать всю имеющуюся информацию. Симбиоз методов математическогомоделирования и экспертных оценок позволяет надеяться на успех в решении проблем.Для реализации такого взаимодействия необходимо уметь организовать многократноповторенный вычислительный эксперимент с помощью компьютерной модели.Совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со5специальной системой вспомогательных программ и информационной базой,позволяющих оперативно проводить многовариантные расчеты, называется экспертной(имитационной) системой. Более широкому использованию таких систем способствуетпоявление ЭВМ новых поколений.

Эти новые возможности обеспечили объединениестрогих методов анализа и эвристических приемов.Пятый этап. Анализ возможных стратегий.После построения экспертной имитационной системы начинается этап оценки возможныхстратегий, в ходе которого исследуют чувствительность результатов к допущениям,сделанным при построении модели. Если основные допущения некорректны, необходимовернуться к этапу моделирования. Часто удается улучшить модель, незначительномодифицировав исходный вариант. Системный подход к оценке решения предполагаетопределение подходящей меры для показателей и последующего объединения численныхзначений всех показателей в единое представление или функцию, по которой можновыбрать наиболее желательный вариант решения.Математический аппарат моделей, основанный назаконах сохранения.При построении математической модели изучаемого объекта из всех характеризующихего связей выделяются наиболее существенные.

Эти связи, как правило, записываются ввиде уравнений, которые выражают фундаментальные законы естествознания. Самиобъекты могут быть совершенно различными по своей природе и назначению –физические, биологические или социальные явления, технологические процессы,механизмы или конструкции.

Закон сохранения - это схема рассуждения, а не конкретныйматематический аппарат. Если последовательность рассуждений можно записать в видеdΦ= F,(1.1)dtто будем говорить, что сформулирован закон сохранения. Здесь t – независимаяпеременная, характеризующая время, Φ = ∑ k ϕ k , ϕ k = (ϕ1k ,… , ϕ sk ) , ϕ lk = ϕ lk ( t , xi ) –количественная характеристика некоторого свойства k-го элемента системы (масса,энергия и т.п.), xi (i = 1,2,…,n) – признаки индивидуальности элемента системы (напримеркоординаты, фазовые переменные) и должны быть заданы. Причина изменения Fназывается воздействием. Можно выделить три уровня законов сохранения.I. Уровень однородных систем.Пусть F(ϕ k) – заданная функция, тогда (1.1) представляет собой замкнутую системуобыкновенных дифференциальных уравнений:dΦ= F + − F −,(1.2)dtгде F + = F + (ϕ k ) – воздействия, способствующие количественному росту F − = F − (ϕ k )воздействия, способствующие уменьшению ϕ k.II.

Уровень непрерывных неоднородных систем.Число элементов системы настолько велико, что признаки индивидуальности, свойстваэлементов системы, воздействия принимают все значения из допустимых интервалов, авсе искомые функции ϕα являются непрерывными и удовлетворяют достаточнымтребованиям гладкости. Искомая характеристика системы в рассматриваемом случаепредставляется в видеΦ = ∫ ϕ dω(1.3)ω6где ω(t) – произвольный выделенный объем пространства переменных xi (состоящий привсех t из одних и тех же признаков xi, ϕ – плотность распределения величины Φ.

Длянепрерывных неоднородных систем в силу (1.3) закон сохранения записывается в видеd(1.4)ϕ dω = F .dt ω∫Воздействия F разделяют на две категории (F = G + Σ):• воздействия на каждый элемент системы, G = ∫ gdω , где g – плотностьω•воздействия;воздействия, которые передаются через границу S объема системы, Σ = ∫ σ n dS ,Sгде σn – плотность распределения поверхностных воздействий.Считается, что закон сохранения универсален: если он применим для объема ω, топрименим и для любой части объема.Окончательно закон сохранения для непрерывной среды запишется в видеdϕ dω = ∫ gdω + ∫ σ iαi dS .dt ω∫Sω(1.5)где αi – направляющие косинусы нормали n к поверхности S, σn = σ iαi .Если для непрерывных неоднородных систем некоторое словесное утверждение илирезультат последовательности утверждений записываются в виде (1.5), то считается, чтосформулирован закон сохранения. Если функции удовлетворяют необходимым условиямгладкости, то из формы записи уравнения закона сохранения в интегральной форме (1.5)можно получить уравнение в частных производных:∂ϕ∂ϕ∂σ+ Vi=g+ i.(1.6)∂t∂xi∂xiИз качественного описания моделируемого явления определяются значения параметров ϕ,σ, g.

Подставляя их значения в (1.6), можно получить уравнения в частных производныхdxдля конкретных законов сохранения. Соотношения i = Vi уточняются специалистами.dtIII - уровень дискретных статистических систем.Система состоит из большого количества дискретных элементов, обладающих своимипризнаками индивидуальности xi. Предположим, что в системе можно выделить Nкачественно различных подсистем. Пусть индекс α характеризует принадлежность кподсистеме. Тогда закон сохранения для каждой подсистемы отдельно записывается ввидеdϕα= Fα+ − Fα− , α = 1, N(1.7)dtгде ϕα=ϕα( ti,xi,yj), xi, ( i = 1, m ) – признаки индивидуальности, участвующие вовзаимодействиях, yi=xj+m, ( j = 1, n − m ) – признаки, не принимающие участия воdx dy jвзаимодействиях.

Характеристики

Список файлов лекций