1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Произвольный линейно независимый набор т векторов в т-мерномпространстве называется базисом в этом пространстве.Если {e1,...,em}= {ei }im=1 — базис в т-мерном пространстве Е, то для любоговектора х∈Е найдется единственный набор скаляров {x1,…,xm} такой, чтоmx = ∑ xi ei ;(0.1)i =11числа x1,…,xm при этом называются координатами вектора х в базисе { ei }.Соответствие х →{x1,…,xm} отождествляет т-мерное вещественное векторноепространство Е с т-мерным вещественным векторным пространством Rm всехупорядоченных наборов т вещественных чисел с "покоординатными"операциями сложения и умножения на скаляры. С точки зрения линейнойструктуры пространства Е и Rm неразличимы.

Поэтому в дальнейшем дляобозначения произвольного m-мерного вещественного пространства мы будемиспользовать символ Rm.0.1.2. Скалярные произведения и нормы.Скалярным произведением в Rm называется отображение (⋅,⋅) из Е×Е в R,удовлетворяющее следующим аксиомам:при всех х,у,z∈Rm и α∈R(1) (x,y)=(y,x);(2) (x+y,z)=(x,z)+(y,z)(3) (αх,у)=α(х,у)(4) (х,х)≥0;(5) если (х,х)=0, то х=0.Взамен (х,у) мы в дальнейшем будем писать х⋅у или ху. Вещественное m-мерноевекторное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.Всюду ниже предполагается, что Rm – евклидово вещественное m-мерноевекторное пространство.Нормой на векторном пространстве Rm называется любое отображение ⋅ → R+,удовлетворяющее следующим требованиям:при всех х,у∈Rm и α∈R1.

x + y ≤ x + y ;2. α x = α ⋅ x ;3. x = 0 ⇔ x = 0 .Норма вектора х в нормированном пространстве Rm обозначается x R или,кратко, x .Наличие скалярного произведения в Rm позволяет, в частности, ввести понятиеевклидовой нормы (или длины) вектора:mx = xxВ дальнейшем евклидова норма векторов обозначается знаком модуля. Крометого, в евклидовом пространстве можно ввести понятие ортогональностивекторов: х,у∈Rm называются ортогональными, если ху = 0.0.1.3.

Базисы и кобазисы.Для любого базиса {ei} кобазис {ei} однозначно определяется соотношениямиei e j = δ ij ( i, j = 1,..., m ) ,(0.2)где δ ij – так называемый δ-символ Кронекера:21, i = j ,0, i ≠ j.δ ij = Геометрически соотношение (0.2) означает, что вектор ei кобазиса ортогоналенвекторам e1,…,ei−1,ei+1,…,em базиса (см.

рис. 1).Рисунок 1.Базис, совпадающий со своим кобазисом, называется ортонормалъным:ei e j = δ ij . В частности, все векторы ортонормального базиса имеют единичнуюдлину.0.1.4. Немые индексы.Начиная с этого момента, взамен привычного обозначения (0.1) для суммыиндексированных одночленов мы будем использовать новое (традиционное вмеханике сплошной среды) обозначение, преимущества которого станут ясныниже. Индекс у коэффициента xi в разложении вектора х по базису {ei} будемписать вверху и вместоmx = ∑ xi ei(0.3)i =1будем писатьx = x i ei ,опуская знак суммирования по так называемому немому индексу i.

Этимологияназвания "немой" связана с тем, что в (0.3) индекс суммирования i можнозаменить любой другой буквой.Более детально, индекс называется немым, если он входит в одночлен(именно, в одночлен, а не в формулу) в точности два раза: один раз вкачестве верхнего индекса и один раз – в качестве нижнего.Например, равенствоx s = a sij α s e i e jозначает, что3mmxs = ∑∑ai =1j =1jsiα sei e j .Пределы суммирования обычно ясны из контекста.0.1.5. Ковариантные и контравариантные компоненты.Любой вектор х∈Rm можно разложить как по произвольному базису {ei}x = x i eiтак и по соответствующему ему кобазису {ei}:x = xi ei .Соответствующие координаты xi = x⋅ei – называются ковариантнымикомпонентами (или координатами) вектора x, а координаты xi = x⋅ei –контравариантными компонентами (или координатами) вектора х. Как легковидеть,xi = x⋅ei, xi = x⋅ei, x⋅y = xiyi = xiyi.Переход от представления векторов в базисе {ei} (и соответствующем кобазисе{ei}) к представлению векторов в новом базисе {ei′} (и кобазисе {e′ i } )производится с помощью матрицы перехода A = ( Ai j ) , однозначно определяемойравенствами, полученными для произвольного вектора bi, который являетсярезультатом линейного преобразования векторов {ei}bi = Ai j e j ,тогда после умножения слева на вектор e j получимbi ⋅ e j = Ai j e j ⋅ e j .Откуда следуетbi ⋅ e j = Ai jТо же верно для векторов нового базиса {ei′} :ei′ ⋅ e j = Ai j(это и есть система m2 линейных уравнений относительно Ai j ).Как легко видеть, векторы нового кобазиса определяются формуламиe′i = ( A−1 ) e jij3Кроме скалярного произведения, в R имеется еще одна, известная из курсааналитической геометрии, важная бинарная операция – векторноепроизведение.

Ее строгое определение приводится в следующем пункте.0.1.6. Векторное произведение.Определим в R3 бинарную операцию ×: R3×R3→R3, называемую векторнымпроизведением.Говорят, что базисы {ei} и {ei' } имеют одинаковую ориентацию, еслиопределитель матрицы перехода положителен: detА>0.Для любого линейного отображения L в R3 (см. ниже) определим линейноеотображение l: R3×R3×R3→R3 равенствомl(L)〈x,y,z〉=x(y⋅L〈z〉−y⋅L*〈z〉)+y(z⋅L〈x〉−z⋅L*〈x〉)+z(x⋅L〈y〉−x⋅L*〈y〉).4Пусть, далее, {ei} – произвольный базис, a L таково, что l(L) (e1,e2,e3)≠0.Определим отображение ×: R3×R3 →R3 равенствомx ×{ei } y = l ( x ⊗ y ) e1 , e2 , e3 ⋅ l ( L ) e1 , e2 , e32Нетрудно показать, что для двух базисов {ei} и {ei' }x ×{e } y = x × e y ,{}'iiесли эти базисы имеют одинаковую ориентацию, иx ×{e } y = − x × e y ,{}'iiесли противоположную.

И таким образом, отображение ×{e } с точностью дознака не зависит от выбора базиса.Зафиксируем теперь произвольный базис и выберем L так, чтобыil (L ) e1 , e 2 , e32= [Vol(e1 , e 2 , e3 )]−2где Vol(e1,e2,e3) – объем параллелепипеда, образованного векторами базиса.Соответствующее им отображение ×{e } , которое мы будем обозначать × и есть,по определению, векторное произведение. Можно показать, чтоx ⋅ (x × y ) = y ⋅ (x × y ) = 0 ,(0.4)т.е. вектор х×у ортогонален х и у,x ⋅ ( y × z ) =Vol ( x, y , z )(0.5)и, кроме того,e1 ⋅ ( e2 × e3 ) = Vol ( e1 , e2 , e3 )(0.6)Свойства (0.4)–(0.6) определяют векторное произведение однозначно и могутслужить аксиоматическим определением векторного произведения.В произвольном ортонормированном базисе {ei} векторное произведение х×уможно представить в виде A(х)<у>, где матрица A задается равенствомi 0A ( x ) =  x3 − x2− x30x1x2 − x1  , x = x i ei .0 (0.7)0.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.В этом параграфе изучаются линейные отображения.

Как и в предыдущемпараграфе, основной целью являются договоренности о терминологии иобозначениях.0.2.1. Пространство линейных отображений.Пусть Rm и Rn – линейные нормированные пространства. Отображение L:Rm→Rn называется линейным, еслиL〈αх+βy〉=αL〈х〉+βL〈у〉mпри всех х,у∈R и α,β∈R (здесь и всюду ниже через L<х> обозначаетсязначение отображения L на векторе х).5Множество всех линейных отображений из Rm в Rn становится линейнымпространством, если ввести в нем операции сложения и умножения наскаляры формулами(L+K)〈х〉=L〈х〉+K〈х〉, αL〈х〉=L〈αx〉.Это пространство в дальнейшем обозначается L(Rm,Rn).

Если т=n, тоиспользуется обозна чение L(Rm).Пространство L(Rm,Rn) превращается в нормированное, если положитьL =supL xx∈R m , x ≠oxRn(0.8)Rm0.2.2. Изометрия нормированных пространств.Два линейных нормированных пространства Е1 и Е2 называютсяизометричными, если существует линейное отображение ℑ : Е1→Е2такое, что ℑ x E = x E . Отображение ℑ называется изометрией.21С точки зрения линейной и метрической структуры изометрическиепространства неразличимы.

Изометричность пространств Е1 и Е2 обычнообозначается знаком "~": Е1~Е2.П р и м е р . Пространство L(Rm,R) называется пространством линейныхфункционалов на Rm (пространством, сопряженным к Rm), его элементыназываются функционалами. Сопряженное пространство обозначаетсяобычно (Rm)*, или Rm*.Нетрудно видеть, что Rm*~Rm.

Изометрию Rm*→Rm можно задать формулойℑ f = f ei ei(0.9)miгде {ei} – произвольный базис в R , а {е } – соответствующий кобазис. Такимобразом, функционал f отождествляется с вектором ℑ f . Этот вектор, в своюочередь, определяет функционал f формулойf x = (ℑ f)⋅ x0.2.3. Матрица линейного отображения.Диадой а⊗b двух векторов а,b∈Rm называется линейное отображение из L(Rm),определяемое равенством(a⊗b)〈x〉=a(b·x).mДля любого базиса {ei} в Rm набор линейных отображений {ei ⊗ e j }i , j =1 будетбазисом в L(Rm).В самом деле, определим числа Lij формуламиLij = ei ⋅ L e j( i, j = 1,..., m ) .Но тогда6(Lij ( ei ⊗ e j ) x = ( Lij ei )( e j ⋅ x ) = ( Lij ei ) x j = ei ⋅ L e j(e ⋅ Lix je j) e = (e ⋅ Lii)e xij=x )ei = L x .Единственность разложения L = Lij ( ei ⊗ e j ) проверяется тривиально.Наличие базиса из m2 элементов означает, что L(Rm) является линейным m2мерным пространством.Соответствие L → {Lij } устанавливает изоморфизм между пространством L(Rm)и пространством Мт квадратных m×m-матриц.

Матрица {Lij } (или просто Lij )называется матрицей отображения L в базисе {ei}. Очевидно,()()L x = Lij ei ⊗ e j x = Lij ei e j ⋅ x = Lij x j eiМатрица суперпозиции K L также легко вычисляется:(KL ) j = e i ⋅ ( K L ) e j = ei ⋅ K L e jiei ⋅ K Lkl ek ( el ⋅ e j )= ei ⋅ K Lkl ( ek ⊗ el ) e j== e k ⋅ K Lkl ekδ lj = Lkj ei ⋅ K ek = Lkj ei ⋅ K sp ( e p ⊗ e s ) ek =Lkj ei ⋅ ( K sp e pδ ks ) = Lkj ei ⋅ K kp e p = K kp Lkjδ pi = K ki Lkj0.2.4. След матрицы и линейного отображения.На пространстве M m определен линейный функционал tr (от английского trace(след); его также иногда обозначают Sp от немецкого Spur (след)), равныйсумме диагональных элементов матрицыdeftr {Lij } = Lii = ei ⋅ L ei .Этот функционал порождает функционал на L(Rm):tr L = tr {Lij } .Вышеприведенное определение зависит от базиса.

На самом деле оказывается,след матрицы (и, соответственно, линейного отображения) не зависит отвыбора базиса.Чтобы доказать это утверждение, заметим, во-первых, что для любых а,b∈Rmtr a ⊗ b = tr ai ei ⊗ b j e j = ai b j tr ei ⊗ e j = ai b jδ ij = ai bi = a ⋅ b(0.10)Во-вторых, линейный функционал на L(Rm), обладающий свойством (0.10),обязательно есть след: если Ф : L(Rm)→R таков, что Ф(а⊗b) = а⋅b, тоΦ L = Φ Lij ei ⊗ e j = Lij ei ⋅ e j = Lij δ i j = Lii .Остается заметить, что свойство (0.10) не зависит от выбора базиса.0.2.5. Инварианты матриц и линейных отображений.Функции на пространстве M m, не зависящие от выбора базиса называютсяинвариантами матрицы.

Независимость инвариантов матрицы от выборабазиса позволяет говорить об инвариантах линейного отображения. Один изважных инвариантов – это след матрицы tr. Нам потребуется еще два другихинварианта для отображений из L(R3)7defJ 2 = J 2 ( L) =(1 2tr L − tr L22)иdefJ 3 = J 3 ( L) =(1 3tr L − 3tr L tr L2 + 2 tr L36)Для унификации обозначений след tr〈L〉 отображения L мы будем обозначатьчерез J1= J1(L).Как мы уже знаем J 1 = Lii . Остальные инварианты также выражаются черезкоэффициенты матрицы формуламиJ2 =L11L12L12L22+L11L13L31L33+L22L23L32L33,J 3 = det Lij .Характеристический полином р(λ) отображения L выражается черезинварианты:p ( λ ) = det ( Lλ ) = λ 3 − J 1λ 2 + J 2λ − J 3 .И, наоборот, инварианты отображения L выражаются через собственныезначения L (т.е.

Характеристики

Список файлов лекций