1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда скалярная величинаh=∑( f ( x) − f ) r ( f ( x) − f )iiijjj(1.30)i, jопределяет в пространстве критериев некоторое расстояние от точки, соответствующейданному вектору х, до точки "абсолютного максимума". В частном случае, когда R –единичная матрица,15h=∑( f ( x) − f )ii, j2(1.31)i()есть евклидово расстояние от точки (f1(x), f2(x), ,…, fn(x)) до точки f1 , f 2 ,… f n впространстве критериев.
В качестве нового скалярного критерия можно принять функциюh(х), определенную соотношением (1.30). Ее минимизация дает полезную исследователюинформацию: показывает возможности достижения "абсолютного максимума".Компромиссы Парето.При исследовании многокритериальных задач желательно найти способы сведения их кобычным задачам с единым критерием, поскольку для однокритериальных задачсуществуют хорошо разработанные методы решения. Выше уже были рассмотренынесколько способов, основанных на операции свертывания критериев.Однако к анализу многокритериальных задач можно подойти и с другой позиции:попытаться сократить множество исходных вариантов, т.е. исключить изнеформального анализа заведомо плохие варианты решений.Рассмотрим один из подобных путей, предложенных итальянским экономистом Парето.Предположим, что сделан некоторый выбор. Обозначим его x* и представим, чтосуществует некоторый другой выбор x такой, что для всех критериев fi(x) имеют местонеравенстваf i ( x ) ≥ f i ( x* ) , i = 1, n .(1.32)Очевидно, что выбор x предпочтительнее x* (здесь рассматриваем задачу о максимизациикритериев fi(x), поэтому все векторы x*, удовлетворяющие (1.32), следует сразу исключитьиз рассмотрения.
Имеет смысл заниматься сопоставлением, подвергать анализу только тевекторы x*, для которых не существует x такого, что для всех критериев удовлетворяютсянеравенства (1.32).Множество всех полученных значений x* называется множеством Паретто, а векторx*– неулучшаемым вектором результатов (вектором Паретто), если из f i ( x ) ≥ f i ( x* )для любого i следует f i ( x ) = f i ( x * ) .Предположим, что цели проблемы определяются двумя однозначными функциями:f1 ( x ) → max, f 2 ( x ) → max .Тогда каждому допустимому значению переменной х отвечает одна точка на плоскости(f1, f2), и равенства f1 = f1(х), f2 = f2(x) определяют параметрическое задание некоторойкривой abcd в этой плоскости (рис. 5).Рисунок 5.
Кривая возможных выборов на плоскости критериев (f1, f2)16К множеству Парето относится не вся кривая. Так, участок bc очевидно, не принадлежитэтому множеству. На этом участке изменению переменной х отвечает одновременноеувеличение обеих целевых функций и, следовательно, такие варианты решений должныбыть сразу исключены из дальнейшего рассмотрения. Из этих же соображений долженбыть исключен участок а′b, поскольку для каждой его точки е найдется точка,принадлежащая участку cd, в которой значения функций f1, и f2 больше, чем в точке е.Следовательно, к множеству Парето могут принадлежать только участки аа′ и cd, причемточка а′ должна быть исключена.
В теории принятия решений существует термин"принцип Парето", заключающийся в том, что выбирать следует только тот вектор x,который принадлежит множеству Парето. Принцип Парето не выделяет единственногорешения, он только сужает множество альтернатив. Окончательный выбор остается залицом, принимающим решение. Исследователь, математик, построив множество Парето,конечно, облегчает процедуру выбора.Принцип Парето играет, очень важную роль в автоматизации проектирования.Рассмотрим пример – проектирование водохозяйственного комплекса.
Результатом будетвозможность обеспечить водой несколько крупных промышленных исельскохозяйственных объектов и тем самым повысить их эффективность. Одновременноможет возникнуть и ряд отрицательных явлений. Большая площадь водохранилища,необходимая для регулирования работы гидрокомплекса, приводит к застойнымявлениям, большим потерям воды на испарение и т.п.
Помимо этого, уменьшениеколичества воды в речной системе ухудшает условия рыбоводства и судоходства, астроительство промышленных комплексов увеличивает загрязнение и, следовательно,ухудшает качество воды и т.п. Ситуация оказывается многокритериальной, целипроектировщика могут быть выписаны в видеf i ( x ) → max, i = 1, n .Проектировщик оказывается перед необходимостью искать компромисс, и одним из путейотыскания этого компромисса будет построение множества Парето, изучение которогодает полезную информацию.
Лицо, принимающее решение, видит, в частности, сколько"стоит" увеличение одного из показателей, как оно сказывается на других показателях,значение которых непременно уменьшится. Это множество, как правило, весьма сложное.Помимо критериев fi(x) достаточно часто в распоряжении проектировщика есть ещенекоторый общий критерий F(х). Иногда он бывает формализован, записан в явном виде.Например, таким критерием может быть стоимость проекта. В этом случаеисследователю представляется возможность решить задачу «до конца».
Для этогодостаточно определить вектор y, который дает решение задачи: F(y) →min приy∈PG(f1,…,fn), где PG(f1,…,fn) – множество Парето для функций f1,…,fn на множестве Gдопустимых векторов х. Например, в случае водохозяйственного комплекса множество Gвключает такие элементы хi (хi – распределение воды по объектам), сумма которых непревосходит притока Q(x).В проблемах выбора решения большую роль играют методы последовательного анализа иотбраковки неконкурентоспособных вариантов, методы последовательного сжатиямножества альтернатив.Численные методы построения множества Парето.С расширением круга проблем, которые изучаются с помощью системного анализа,значение методов эффективного построения множества Парето непрерывно растет.Приближенное построение множества Парето относится к числу важных и трудных задаччисленного анализа.Рассмотрим простейший случай (два критерия).
Имеем задачу:17f1 ( x ) → max,Каждой точке х∈Gх соотношенияf 2 ( x ) → max, x ∈ Gx .(1.33)f1 = f1 ( x ) , f 2 = f 2 ( x )(1.34)ставят в соответствие некоторую точку f∈Gf в плоскости критериев (рис. 6). Соотношения(1.34) определяют отображение множества Gx на Gf.Рисунок 6. Отображение множества Gx (в плоскости способов действий) на множество Gf (в плоскостикритериев)Множество Gf носит название множества достижимости. Множество Паретопредставляет собой лишь часть границы множества достижимости.
На рисунке 6множеством Парето будет дуга АСВ.Приближенное построение множества Парето сводится к последовательному решениюзадач математического программирования. Опишем одну из возможных схем расчета.Фиксируем некоторые желательные значения критериев f1 и f2:f1 = C1 , f 2 = C2 .Значения C1 и С2 следует выбрать так, чтобы они принадлежали множествудостижимости. Теперь решаем две оптимизационные задачи:f1 ( x ) → max, x ∈ Gx , f 2 ( x ) = C2 ;1.2.f 2 ( x ) → max, x ∈ Gx , f1 ( x ) = C1 .Решив эти задачи, определим точки а и b (рис.
7). Проведя через них прямую 1, получимпростейшую аппроксимацию множества Парето. Для уточнения аппроксимации решаемследующие задачи:3.f1 ( x ) → max, x ∈ Gx , f 2 ( x ) = C4 ;4.f 2 ( x ) → max, x ∈ Gx , f1 ( x ) = C3 .Находим еще две точки – с и d, принадлежащие этому множеству. Значения С3 и С4 сновадолжны принадлежать множеству достижимости.Через точки a, c, d и b проводим ломаную 2, которая будет следующим приближением.Рисунок 7. Аппроксимация множества ПаретоОчень часто подобной информации о структуре множества Парето уже бывает достаточнодля решения практических задач.18Если множество Парето выпукло, то, увеличивая количество точек, которые определяютсяуказанным способом, можно построить многогранник, аппроксимирующий это множествос любой степенью точности. Однако практика дает примеры множеств Парето, которые неявляются выпуклыми.
Тогда задача их аппроксимации резко усложняется.19Equation Chapter 1 Section 0МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТСТУПЛЕНИЯВ этом разделе приводятся сведения из алгебры, математического анализа итеории дифференциальных уравнений, необходимые при исследованииматематических моделей сплошных сред.0.1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВАНиже будут рассмотрены основные сведения из теории линейныхнормированных пространств, при этом главной целью станет достижениедоговоренности о терминологии.0.1.1. Векторные пространства.В дальнейшем, поле вещественных чисел будем обозначать R.
Вещественноевекторное пространство представляет собой множество Е элементовпроизвольной природы (его точки называются векторами), в которомопределены операции• сложения векторов + : Е×Е→ Е и• умножения на число ⋅ : R×Е→ Е,удовлетворяющие следующим аксиомам:при всех x,y,z∈E и α,β∈R(1) х+у =у+х;(2) x+(y+z)=(х+у)+z;(3) существует вектор 0 (нулевой вектор) такой, что х+0=х;(4) существует вектор – х такой, что х+(−х)=0;(5) 1⋅х=х;(6) α⋅(β·x)=(αβ)·x;(7) α·(х+у)=α·х+α·у(8) (α+β)·х =α·х+β·xВ дальнейшем знак умножения опускается: α·х=αх. Символ 0 используется какдля обозначения нуля в R, так и нулевого вектора в Е.Набор {x1,…,xk}⊂Е называется линейно зависимым, если найдется набор чисел{α1,…,αk}⊂R, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такой, чтоk∑α xi =1ii=0 ;в противном случае он называется линейно независимым.Пространство Е называется т-мерным, если в нем существует линейнонезависимый набор из т векторов и любой набор из т+1 вектора линейнозависим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
