1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

корни характеристического полинома)J 1 = λ1 + λ2 + λ3 , J 2 = λ1λ2 + λ3λ3 + λ3 + λ1 , J 3 = λ1λ2λ3 .0.2.6. Сопряженные, самосопряженные (симметричные),антисимметричные и ортогональные отображения.Пусть L∈L(Rm).Отображение K∈L(Rm) называется сопряженным к отображению L, еслипри всех x,у∈Rmх⋅K〈у〉 = у⋅L〈x〉Сопряженное к L отображение обозначается L*.Нетрудно показать, что если определить матрицу K ij кактранспонированную к матрице Lij : K ij = Lij , то соответствующее отображениеK = K ij ei ⊗ e j будет сопряженным к L.Это доказывает существование сопряженного к любому отображению из L(Rm).Чуть позже это утверждение будет доказано из общих соображений.Отображение L∈L(Rm) называется самосопряженным илисимметричным, если L*=L..

В терминах матриц это определение выглядиттак Lij = Lij .Далее, отображение L∈L(Rm) называется антисимметричным, еслиL*=−L. В терминах матриц это определение выглядит так: Lij = − Lij .Наконец, отображение L∈L(Rm) называется ортогональным, если оно обратимои обратное отображение совпадает с сопряженным L−1=L*, или, что то же8L* L = L L* = I ; здесь и ниже ° обозначаетсуперпозицию отображений, а I –тождественное отображение на Rm: I(x)≡x.0.2.7. Свертка отображений.Пространство L(Rm) превращается в евклидово, если ввести в нем специальнымобразом скалярное произведение. Это скалярное произведение отображений Ки L из L(Rm) называется сверткой обозначается К:L и вводится следующимобразом:defK : L = tr K ∗ LДля того, чтобы показать, что свертка действительно является скалярнымпроизведением, найдем "коэффициентное" представление свертки. Если {еi} –произвольный базис, тоK : L = tr K ∗ L = ( K ∗ L ) = ( K ∗ ) LijiiijПосле этого симметричность доказывается легко:( )( )iiK : L = K ∗ j Lij = K i j L∗= L:KjДалее,( )iL : L = L∗ j Lij =∑ (L )mi , j =12ij≥0и, более того, L:L=0, в том только случае, когда L=0.

Линейность же свертки пообоим аргументам есть тривиальное следствие линейности следа.0.3 ТЕНЗОРЫМногие характеристики сплошной среды представляют собой тензоры –полилинейные отображения на R3. Здесь они описываются и связываются с ужепривычными математическими понятиями.0.3.1. Определения.Пусть ( R m ) = R m × … × R m , а T: (Rm)r→R – отображение, линейное поrrкаждому из своих r векторных аргументов при произвольныхфиксированных значениях остальных. Последнее означает, что прилюбых s∈{1,…,r−1} и x1,…, xr−1∈Rm отображениеxT x1 ,..., x s , x, x s +1 ,..., x r −1линейно как отображение из Rm в R. Такие отображения (полилинейныефункционалы) называются тензорами в Rm, при этом число r называетсярангом или валентностью тензора T.Множество таких тензоров обозначается Tr(Rm) и образует линейноепространство с естественными операциями сложения и умножения на скаляры.Пусть {ei} – базис в Rm, а {ei} – его кобазис.

Любое число вида T x1 ,… , xr ,где xs ∈ {ei } ∪ {ei } ( s = 1,…, r ) называется компонентой тензора T.9Если все xs∈{ei}, то компонента называется ковариантной, а еслиxs∈{ei}, то контравариантной, остальные компоненты называютсясмешанными.Тензор ранга r, очевидно, имеет в данном базисе (2m)r различных компонент,среди которых mr ковариантных и mr контравариантных. Число различныхтипов (или видов) компонент тензора (среди которых мы выделили два –ковариантные и контравариантные), очевидно, 2r.Ковариантные компоненты тензора T ei ,…, ei обычно обозначают через1Ti1 ,…,ir , а контравариантные компоненты T e ,… , erчерез T i ,…,i .

Обозначениядля смешанных компонент становятся ясными из примеров:T⋅i⋅j⋅k = T e j , ei , e k , T⋅⋅ijk⋅ ⋅l = T e j , e k , ei , el .i1ir1r0.3.2. Примеры.Тензором нулевого ранга, по определению, является вещественное число(скаляр).Тензоры первого ранга – это линейные функционалы на Rm , т.е. элементыиз Rm*. Поскольку Rm*~Rm, тензоры первого ранга отождествляются свекторами из Rm.Универсальным примером тензора второго ранга является тензорT x1 , x2 = x1 ⋅ T x2(0.11)где T – некоторое отображение из L(Rm). Смысл слова "универсальный" в этойфразе поясняется в следующем пункте.Еще один пример тензора второго ранга — так называемый фундаментальныйтензор пространства Rm: g(x1,x2)=x1 x2.0.3.3. Изоморфизм T2(Rm)~L(Rm).Универсальность тензора (0.11) состоит в том, что, как оказывается,любой тензор второго ранга из T2(Rm) может быть представлен в такомвиде. В самом деле, если зафиксировать второй аргумент х2 в T, тоотображение T1:х2→T<x1,x2> будет тензором первого ранга.

В силуизометрии (0.9) Rm*~Rm найдется вектор T <х2>= ℑ T1 (для каждого x2∈Rmон свой) такой, чтоT x1 , x2 = x1 ⋅ T x2Линейность отображения отображения x2T x2 очевидна.Отображение ℑ :Т→ T из T2(Rm) в L(Rm) реализует изоморфизм T2(Rm)~L(Rm).Таким образом, тензоры второго ранга из T2(Rm) отождествляются слинейными отображениями из L(Rm).В силу этого можно говорить о норме тензора второго ранга, его инвариантах ит.д.

Более того, поскольку имеет место изоморфизм L(Rm)~Mm, имеет место и10изоморфизм T2(Rm)~Mm Поэтому можно говорить о матрице тензора и всехсопутствующих матрицам понятиях.По существу, тензоры – это просто другая терминология для обозначенияпривычных и известных из линейной алгебры объектов – полилинейныхфункционалов. "Тензорная" терминология принята в механике сплошнойсреды. Она имеет некоторую специфику, которой мы в данном курсе некасаемся.Кстати, наличие изоморфизма T2(Rm)~L(Rm) позволяет доказать обещанноеутверждение о существовании сопряженного отображения. Для произвольногоL∈L(Rm) определим тензор T ∈ T 2 ( R m ) равенством T x1 , x2 = x1 ⋅ L x2 затемопределим тензор T * ∈ T 2 ( R m ) равенством T * x1 , x2 = T x1 , x2 и, наконец,положим K = ℑ (T * ) .

Утверждается, что K=L*. В самом делеx1 ⋅ K x2 = T ∗ x1 , x2 = T x2 , x1 = x2 L x1 ,что и есть определение сопряженного оператора.0.4 СКАЛЯРНЫЕ, ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯБольшинство числовых характеристик сплошных сред описывают в виде полей,т.е. функций, заданных на том или ином множестве и принимающих скалярные,векторные или тензорные значения.Необходимые определения и факты, связанные с этими понятиями, приводятсяв настоящем разделе. В основном, они известны из курса математическогоанализа, и поэтому здесь содержатся, по существу, договоренности отерминологии.0.4.1. Непрерывные поля.Пусть U⊂Rk – открытое подмножество, т.е.

вместе с каждой точкой х∈U в Uлежит и некоторый шар В(х,r) радиуса r с центром в х. Ниже буквой Еобозначается одно из следующих линейных нормированных (евклидовых)пространств: R, Rm, Rm*, L(Rm), T2(Rm). Отображение f: U→Е называетсяскалярным (если Е=R) или тензорным (в противном случае) полем(соответственно, первого или второго ранга). Если Е=Rm или Е=Rm*, то f такженазывается векторным полем.Поле f называется непрерывным, еслиf ( x + h) − f ( x) E → 0h Rk → 00.4.2. Дифференцируемые поля.Поле f, по определению, дифференцируемо в точке x0∈U, еслинайдется отображение L∈L(Rk,E) такое, чтоf ( x0 + h ) − f ( x0 ) − L hh RkE→0h Rk → 011Отображение L называется производной поля f в точке x0 обозначаетсячерез f x′ или0∂f∂xx = x0.В случае, когда Е=R производную f x′ обозначают также через∇f(x0) или gradf(x0) и называют градиентом поля f в точке x0.Градиент скалярного поля в каждой точке есть элементпространства Rk*=T1(Rk) и, таким образом, градиент скалярногополя есть поле тензоров первого ранга.Если поле f дифференцируемо в каждой точке U, то говорят, что fдифференцируемо.Если отображение х→ f x′ непрерывно как отображение из U в0L∈L(Rk,E), то говорят, что поле непрерывно дифференцируемо.Известно, что если f:U → Е, a g: Е → Е1 (где Е1, как и Е – линейноенормированное пространство) и эти отображения непрерывнодифференцируемы, то таковым является и суперпозиция g f :U→E1 и, болеетого, для любого x0∈U∂g f∂x=x = x0∂g∂xx = f ( x0 )∂f∂x.x = x0mТривиально проверяется также, что если Е=L(R ), или Е= T2(Rm), а f:U→Е –непрерывно дифференцируемое отображение, то f* также непрерывнодифференцируемо и∗∂f ∗  ∂f =  .∂x  ∂x 0.4.3.

Производные по направлению и частные производные.Матрица Якоби.Пусть у∈Rk и y = 1 . Пределlims →+0f ( x + sy ) − f ( x ) d=f ( x + sy )sdss =0называется производной по направлению y поля f в точке x и обозначается∂f ( x ) y∂xили f y′ ( x )Если зафиксировать в Rk и Е базисы {pi} и {qi} и разложить f побазису {qi } : f ( x ) = f j ( x ) q j , то производные функций f j(x) понаправлениям базисных векторов pi называются частнымипроизводными функции f. Если х=xipi, то частная производная∂fj( x)∂xpiобозначается обычно∂f j ( x )∂x i.12∂fсоответствует некоторая матрица (за∂x∂fкоторой мы сохраним то же обозначение). Эта матрица называется∂xЛинейному отображениюматрицей Якоби.Элементами этой матрицы являются частные производные функции f:j∂f ∂f   = ∂x i( x + spi )jds=s =0∂f j∂xi=(fj)′xpi .Из курса математического анализа известно, что поле f непрерывнодифференцируемо в том и только в том случае, если частные производныеj ∂f  ∂x  существуют и непрерывны.iЕсли Е=R, то матрица Якоби градиента поля f (это матрица размерности m×1)имеет вид∂f  ∂f∇f =  1 ,..., k ∂x  ∂x0.4.4.

Дивергенция векторного поля.Если E=Rm и m=k, то∂fесть элемент L(Rm). След этого отображения∂xназывается дивергенцией векторного поля (в точке x):defdivf = tr∂f∂xЧерез частные производные f дивергенция поля, очевидно, определяется так.Матрица Якоби отображения∂fквадратная. След этой матрицы и является∂xдивергенцией векторного поля f:i∂f ∂f divf =   = ii . ∂x i ∂x0.4.5. Дивергенция тензорного поля.Если E=L(Rm), или, с точностью до изоморфизма, E=T2(Rm), и k=m, тодивергенция тензорного поля f:U→Е определяется формулой (здесь {еi} –произвольный базис в Rm)defdivf ( x ) =∂f ( x ) ei∂xei(0.12)Дивергенция divf(x) при каждом x∈U является, очевидно, вектором из Rm.Определение (0.12) не зависит от выбора базиса.

Действительно, для любоговектора у∈Rm дивергенция векторной функции f*(х)<у> вычисляетсяследующим образом (см. предыдущий пункт)13div ( f= lim∗( x))=y∂ ( f ∗ ( x) y∂x)iei ⋅  f ∗ ( x + sei ) − f ∗ ( x )  yss →0= y⋅(df ( x + sei ) eids)i=d i ∗( e ⋅ f ( x + sei ) yds)=s =0y ⋅  f ( x + sei ) − f ( x )  ei= lim=s →0s ∂f ( x ) ei  i= y ⋅ e .∂xs =0Поскольку левая часть цепочки не зависит от выбора базиса, правая часть такжене зависит от его выбора. Таким образом, при всех у∈Rmdiv ( f ∗ ( x ) y∂f x) = y ⋅ ( ∂x)ei(0.13)eiРавенство (0.13) может быть принято в качестве определения (с "пробным"вектором у) дивергенции тензорного поля: divf(x) это такой вектор z∈Rm, чтоdiv(f*(x)<у>)=у⋅z при любом у∈Rm.0.4.6.

Характеристики

Список файлов лекций