1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Оно требует дополнительных понятий.1.4.8. Системы отсчета.Перед тем, как рассмотреть принцип «независимости от системы отсчета»,введем новое понятие.Репером называется базис, состоящий из векторов единичной длины,исходящих из одной точки. Репер с часами называется системой отсчета.Рисунок 2.Пусть репер {ei}, помещенный в точку 0 с часами, показывающими время t,некоторая (неподвижная) система отсчета. Зададим непрерывную кривуюt→0(t) и семейство непрерывно зависящих от t ортогональных преобразований O(t) с положительным определителем. Поместим теперь в точку 0(t) репер {ei′} = {O ( t ) ei } и часы, показывающие время t'=t+α.

Они образуют новую(подвижную) систему отсчета, которую мы будем обозначать (0(t),O(t),α).Поскольку ортогональные преобразования сохраняют углы и расстояния,можно представлять себе, что второй репер есть движущийся как абсолютно4МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________твердое тело первый. Точка X, задаваемая в первой системе отсчета радиусвектором x, во второй системе отсчета задается радиус-вектором x′ (см.

рис.2). Найдем формулы перехода из одной системы отсчета в другую.Положим y=x−0(t). Тогдаy = y i ei = y iO −1 ( t ) ei′ = y iO ∗ ( t ) ei′ = y iα i j e′jгде (αi j ) – матрица преобразования O*(t) в базисе {ei′} . Разложение y по второму базису дает y = x′ j e′j . Откуда x′ j = αi j y i . Таким образом,x′ = O * ( t ) x − 0 ( t ) , t ′ = t + α .Очевидно, если z=y−x – вектор с началом в точке x и концом в y в первой системе отсчета, то во второй системе отсчета представление соответствующеговектора имеет видz′ = O ∗ ( t ) z .Если A – линейное преобразование векторов в первой системе отсчета, то вовторой системе отсчета ему, как легко видеть соответствует линейное преобразованиеA′ = O ∗ ( t ) AO ( t ) .Скалярное s, векторное v и тензорное T поля на D по определению индифферентны (по отношению к изменению системы отсчета), если длялюбой подвижной системы отсчета (0(t),O(t),α)s′ ( x′, t ′) = s ( x, t ) ,υ ′ ( x′, t ′) = O ∗ ( t ) υ ( x, t ) ,T ′ ( x′, t ′) = O ∗ ( t ) T ( x, t ) O ( t ) .1.4.9.

Принцип независимости от системы отсчета.Равенство (1.35) инвариантно относительно любой непрерывной замены системы отсчета:{}P′ γ ′ (ξ ′, t ′) , t ′ = F  ξ ′, t ′, ∪ γ ′ (η ′, ⋅) α ,t′ , P′ γ ′ (ζ ′, ⋅) , ⋅.[ ][α ,t ′]′′′ηζ,∈Ω0Обратите внимание на то, что функция F остается неизменной.При построении определяющих уравнений предполагается, что параметрысостояния индифферентны, что не является ограничительным предположением. Более того, эти уравнения должны быть независимыми от системы отсчета.

Оказывается, что введенные тензоры E,P, D также индифферентны.1.4.10. Теорема об индифферентности основных тензоров.Тензоры деформации Эйлера E, напряжений P и скоростей деформации D индифферентны.Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку ξ ′ = O * ( 0 ) ξ и x = O * ( t ) x′ ,5МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________∂ξ ′ ∂ξ ′ ∂ξ ∂x⊥′=== O ∗ ( 0) ⊥ O ( t )∂x′ ∂ξ ∂x ∂x′Но тогда2E ′ = I − ⊥′∗ ⊥′= O ∗ ( t ) O ( t ) − O ∗ ( 0 ) ⊥ O ( t ) ∗O ∗ ( 0 ) ⊥ O ( t )  == O ∗ ( t ) O ( t ) − O ∗ ( t ) ⊥∗ O ( 0 )  O ∗ ( 0 ) ⊥ O ( t )  == O ∗ ( t )  I − ⊥∗ O ( 0 ) O ∗ ( 0 ) ⊥  O ( t ) = O ∗ ( t )(I− ⊥⊥ ) O ( t ) = 2O ∗ ( t ) E O ( t )∗и индифферентность E доказана.Далее, поскольку pn = P n , pn′ ′ = P′ n′ , n′ = O * ( t ) n , pn′ ′ = O * ( t ) pn ,P′ n′ = pn′ ′ = O ∗ ( t ) pn = O ∗ ( t ) P  n = O ∗ ( t ) P O ( t )  n′что означает индифферентность тензора напряжений P.Наконец, докажем индифферентность тензора скоростей деформаций D .

Всилу выведенных выше формул перехода в новую систему отсчета движениеγ (ξ , t ) частицы ξ в системе отсчета (0(t),O(t),α) задается функциейγ ′ (ξ ′, t ′ ) = O∗ ( t ) γ (ξ , t ) − 0 ( t ) ,где ξ ′ = O * ( 0 ) ξ . Дифференцирование последнего равенства по t ′ (напомним,что t'=t+α и, следовательно, равенствоdd=приводит к следующемуdt ′ dtпредставлению скорости v′ ( x′, t ′) в новой системе отсчета:v′ ( x′, t ′) =∂γ ′ (ξ ′, t ′) dO ∗ ( t )∂γ (ξ , t ) d 0 ( t )γ (ξ , t ) − 0 ( t ) + O ∗ ( t )=−=dtdt∂t ′∂tdO ∗ ( t )d 0 (t )x − 0 ( t ) + O ∗ ( t ) v ( x, t ) −.=dtdt(1.36)Таким образом, скорость – неиндифферентна!Но тогда∗∗∂v′ dO ( t ) ∂x∂v ∂x dO ( t )∂v=+ O∗ (t )=O ( t ) + O∗ ( t )O (t ) ,∂x′∂x′∂x ∂x′∂xdtdtа поэтомуdO ( t ) ∂v′  ∂v ∗+ O∗ ( t )   ′  = O (t )dt ∂x  ∂x *Остается заметить, что поскольку O ( t ) O ( t ) = I ,∗O (t )∗O (t ) .dO * ( t ) dO ( t )+O* ( t ) = 0dtdt(здесь 0 в правой части обозначает нулевой оператор).*Складывая полученные выражения дляdv′dv′и   , имеемdx′ dx′ 6МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________* ∂v′  ∂v′=2D =  + ∂x′  ∂x′= O* ( t )dO ( t ) ∂v + O* ( t )  dt ∂x = O (t )**O (t ) +dO * ( t )∂vO ( t ) + O* ( t )O (t ) =∂xdt ∂v * ∂v *  +  O ( t ) = 2O ( t ) D O ( t ) .∂∂xx Заметим, что из равенства (1.36) следует неиндифферентность вектора скоро- dO * ( t ) d 0 (t )*сти; он «неиндифферентен на величину . x − 0 (t ) − O (t )dt dt Перед тем, как ввести еще одно важное понятие рассмотрим несколько примеров.

Тем самым мы приблизимся к пониманию того факта, что в некоторых средах основные тензоры удается выразить через соответствующие инварианты.1.4.11. Пример: жидкости и газы.Жидкости и газы представляют собой легко деформирующиеся, подвижныесплошные среды: для того, чтобы вывести их из состояния равновесия, достаточно сколь угодно малых сил. В силу этого внутренние напряжения (тензор напряжений) очень слабо зависят от деформаций среды. В то же времяфизические эксперименты демонстрируют существенную зависимость напряжений от скоростей деформации (тензора скоростей деформации). Поэтому жидкости и газы можно определить как сплошные среды, в которыхтензор напряжений зависит от тензора скоростей деформации и не зависит от тензора деформаций. Кроме того, он может еще зависеть от основных термодинамических параметров.Более точно, жидкости и газы – это среды, в которых P = F ( D, P) , гдеP = {ρ ,U , Θ, s} – набор основных (подчеркнем, скалярных) термодинамическихпараметров.

Очевидно, такое уравнение состояния удовлетворяет принципампричинности и пространственной локализации.В силу принципа независимости от системы отсчета P′ = F ( D′, P′) .Индифферентность основных термодинамических параметров P и доказанная выше индифферентность тензоров P и D влекут необходимость выполнения тождестваO ∗ ( t ) P O ( t ) = F (O ∗ ( t ) D O ( t ) , P)Таким образом, тензорная функция Φ : T → F (T , P) при каждом фиксированном P должна удовлетворять условиюΦ ( O∗ T O ) = O∗ Φ (T ) Oдля любого ортогонального преобразования O.Такие тензорные функции называются изотропными.

Требование изотропности функций, фигурирующих в определяющих уравнениях, является следст7МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________вием принципа независимости от системы отсчета. К изучению математических моделей жидкостей мы еще вернемся.1.4.12. Пример: упругие тела.В упругих деформируемых телах, в отличие от жидкостей и газов, тензор напряжений зависит от тензора деформации (и основных термодинамическихпараметров):P = F ( E , P) .Принцип независимости от системы отсчета влечет требование изотропности функции F по первому аргументу. Уравнение состояния для внутренней энергии в упругих средах имеет видU = f ( E , P) .В силу принципа независимости от системы отсчета должно выполнятьсятождествоU ′ = f ( E ′, P′) ,откуда, как и выше, вытекает требование изотропности (скалярной) функцииΦ : T → f (T , P) :Φ (T ) = Φ ( O∗ T O )для любого ортогонального преобразования O.1.4.13.

Пример: определяющее уравнения для вектора потока теплаВо многих сплошных средах выполняется определяющее уравнение видаq = F ( ∇Θ, P )(1.37)Заметим, что если (скалярная) функция α индифферентна, то и (векторная)функция ∇α.

Поэтому переход к новой системе отсчета в уравнении (1.37)приводит к уравнениюq′ = F ( ∇Θ′, P′)Последнее влечет требование изотропности (векторной) функцииΦ : x → f ( x, P ) :Φ ( x ) = O Φ ( O∗ x)для любого ортогонального преобразования O.Описанные выше примеры показывают, что скалярные, векторные и тензорные функции, фигурирующие в уравнениях состояния должны быть изотропными.

Важность требования изотропности заставляет нас более подробно изучить класс изотропных функций.1.4.14. Изотропные функции.Мы начнем с тензорных функций. Зафиксируем в R3 произвольный ортонормированный базис {ei}. Тогда, как известно, определено отображение I, сопоставляющее каждому тензору T второго ранга на R3 (который мы отожде8МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________ствляем с линейным отображением на R3) матрицу T : T ji = ei ⋅ T e j . Известно,что отображение I линейно и обратимо, а также, что I и I-1 сохраняют операции суперпозиции тензоров и сопряжения:I(T°S)=I(T)°I(S), I(T*)=[I(T)]*.

Каждая тензорная функция Φ : T2 ( R 3 ) → T 2 ( R 3 )порождает матричную функцию φ : M 3 → M 3 по формуле φ = I Φ I −1 .Матричная функция φ называется изотропной, еслиφ(O*°I°O)=O*°φ(I)°O для любой ортогональной матрицы O∈M3, т.е. такой, что O*°O=O*°O=I.Тривиально доказывается, что тензорная функция Φ изотропна в том итолько том случае, когда изотропна матричная функция φ.Поэтому в дальнейшем мы отождествляем матричные и тензорные функции,а также матрицы T и тензоры T, сохраняя обозначение T и для матриц.Нашей целью являются утверждения о представлении изотропных функцийкак функций от инвариантов тензоров.Докажем предварительно две полезные леммы.1.4.15.

Лемма о представлении симметричных функций на R2Если функция α: R2→R симметрична, т.е. α(x,y)=α(y,x), то она представима в видеα ( x, y ) = β ( x + y, xy ) ,2где β: D(⊂R )→R.Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть D – множество тех (b,c)∈R2, для которых квадратное уравнение λ 2 − bλ + c = 0 имеет вещественные корни x,y. Положим β(b,c)=α(x,y). Симметричность функции α гарантирует корректность определения β.

Утверждение леммы следуетиз теоремы Виета.1.4.16. Лемма о представлении симметричных функций на R3Если функция α: R3→R симметрична, т.е. не изменяется при произвольной перестановке аргументов, то она представима в видеα ( x, y, z ) = β ( x + y + z, xy + yz + zx, xyz ) ,где β: D(⊂R3)→R.Д о к а з а т е л ь с т в о : Доказывается эта лемма, по существу, так же, как и предыдущая. Dопределяется как множество тех (b,c,d)∈R3, для которых кубическое уравнениеλ 3 − bλ 2 + cλ − d = 0 имеет три вещественных корня x,y,z, а β определяется равенствомβ(b,c,d)=α(x,y,z).1.4.17.

Теорема о представлении изотропных тензорных функцийПусть S3 – пространство симметричных 3×3-матриц, а φ: S3→S3 – изотропная матричная (или тензорная) функция. Тогда найдутся функцииϕ1,ϕ2,ϕ3: R3→R такие, что для любой матрицы T∈S39МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________Φ (T ) = ϕ 0T I + ϕ1T T + ϕ 2T T 2где ϕ iT = ϕ i ( J 1 , J 2 , J 3 ) ( i = 0,1, 2 ) , а J i = J i (T ) ( i = 1, 2, 3) – инварианты матрицы T.Д о к а з а т е л ь с т в о : Пусть S=φ(T).

Характеристики

Список файлов лекций