1612044279-488d32d5928d2676100d24b84a89d13e (533714), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В силу симметричности T существует ортогональнаяматрица O1, приводящая T к диагональной матрице DT : DT = O1* T O1 = diag ( λ1 , λ2 , λ3 )где λ1,λ2,λ3, – собственные числа матрицы T. Положим DS = O1* S O1 . В силу изотропности φDs = O1 φ (T ) O1 = φ (O1∗ T O1 ) = φ ( DT )∗Обозначим diag(1,-1,-1) и diag(-1,-1,1) через O2 и O3, соответственно. Матрицы O2 и O3,очевидно, диагональны, O2* = O2 и O3* = O и, кроме того,∗O2 DT O2 = O3∗ DT O3 = DT(применение матриц O2 , O2* и O3* , O3 к диагональным матрицам, очевидно, только изменяет знаки соответствующих коэффициентов на диагонали).

Далее, учитывая изотропность φ,O2 Ds O2 = O2∗ φ ( DT ) O2 = φ (O2∗ DT O2 ) = φ ( DT ) = DS(1.38)O3∗ DS O3 = DS .(1.39)∗и аналогично,Непосредственный подсчет показывает, что (мы используем обозначение s ij коэффициентов матрицы DS)O2∗ DS s11O2 =  − s21 −s 31− s12s22s32− s13 s23 s33 аs12 − s13  s11O DS O3 =  s21s22 − s23  −s 31 − s32 s33 Из этих равенств и из (1.38) и (1.39) следует равенство всех внедиагональных элементовматрицы DS нулю. Таким образом DS – диагональная матрица: DS = diag(η1,η2,η3), причемη1,η2,η3 – ее собственные значения.Запишем теперь равенство S = φ (T ) в «координатной форме»: s ij = φij ( t ij ) , или, оставляя∗3только ненулевые координаты, sii = φii ( t ij ) .

Обозначив через Φi «сужение» функций φii на«диагональные элементы», перепишем последнее тождество для матриц DT и DS в видеηi = Φ i ( λ1 , λ2 , λ3 ) .Обозначим через O4 матрицу 0 1 0 1 0 0 .0 0 1Из изотропности φ вытекает равенство O4* DS O4 = φ (O4* DT O4 ) , а непосредственныйподсчет показывает, что O4* DT O4 = diag ( λ2 , λ1 , λ3 ) , O4* DS O4 = diag (η2 ,η1 ,η3 ) . Поэтому10МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________diag (η2 ,η1 ,η3 ) = φ ( diag ( λ2 , λ1 , λ3 ) ) ,(1.40)откуда, в частности, следует равенствоη3 = Φ 3 ( λ1 , λ2 , λ3 ) = Φ 3 ( λ2 , λ1 , λ3 ) .В силу леммы 1.4.15 найдется функция Ψ3 такая, чтоΦ 3 ( λ1 , λ2 , λ3 ) = Ψ 3 ( λ1 + λ2 , λ1λ2 , λ3 ) .(1.41)Учитывая, что инварианты J 1 = J 1 (T ) , J 2 = J 2 (T ) , J 3 = J 3 (T ) выражаются через собственные значения матрицы формуламиJ 1 = λ1 + λ2 + λ3 , J 2 = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 , J 3 = λ1λ2λ3равенство (1.41) можно продолжить следующим образомdefΦ 3 ( λ1 , λ2 , λ3 ) = Ψ 3 ( J 1 − λ3 , J 2 − λ3 ( J 1 − λ3 ) , λ3 ) = ψ 3 ( J 1 , J 2 , λ3 )(1.42)(1.43)Точно так же доказывается существование функций ψi (i=1,2), чтоΦ i ( λ1 , λ2 , λ3 ) = ψ i ( J 1 , J 2 , λi )(1.44)Теперь заметим, что из равенства (1.40) следуют равенстваψ 2 ( J 1 , J 2 , λi ) = ψ 1 ( J 1 , J 2 , λi ) ,(1.45)ψ 2 ( J 1 , J 2 , λ1 ) = ψ 1 ( J 1 , J 2 , λ1 ) .(1.46)Докажем утверждение теоремы сначала в случае, когда все собственные значения матрицы T различны.

Определим числа φiT (i=0,1,2) как решения системы уравненийφ0T + φ1T λi + φ2T λi2 = Φ i = Φ i ( λ1 , λ2 , λ3 ) = ηi( i = 0,1, 2 )(1.47)T0Как известно, ее решение φ (например) задается формулой (в силу различности собственных значений λi определитель этой системы представляет собой определитель Ван дерМонда – отличен от нуля)Φ1Tφ0 = Φ 2Φ3Очевидно,λ1 λ12 1 λ1 λ12λ2 λ22 ⋅ 1 λ2 λ22λ3 λ32 1 λ3 λ32−1def= F0 ( Φ1 , Φ 2 , Φ 3 , λ1 , λ2 , λ3 ) .(1.48)F0 ( Φ1 , Φ 2 , Φ 3 , λ1 , λ2 , λ3 ) = F0 ( Φ 2 , Φ1 , Φ 3 , λ2 , λ1 , λ3 ) .Далее, подставляя (1.43) и (1.44) в (1.48), получаемF0 ( Φ1 , Φ 2 , Φ 3 , λ1 , λ2 , λ3 ) == F0 Φ1 ( λ1 , λ2 , λ3 ) , Φ 2 ( λ1 , λ2 , λ3 ) , Φ 3 ( λ1 , λ2 , λ3 ) , λ1 , λ2 , λ3  =def= F0 ψ 1 ( J 1 , J 2 , λ1 ) ,ψ 2 ( J 1 , J 2 , λ2 ) ,ψ 3 ( J 1 , J 2 , λ3 ) , λ1 , λ2 , λ3  = F0 ( λ1 , λ2 , λ3 ) .Теперь заметим, что в силу (1.45) и (1.46)F0 ( λ1 , λ2 , λ3 ) = F0 ( λ2 , λ1 , λ3 ) .Аналогично показывается перестановочность остальных аргументов, и, таким образом,функция F0 симметрична.

Теми же самыми рассуждениями устанавливается существова-ние и симметричность остальных решений ϕ iT = Fi ( λ1 , λ2 , λ3 ) ( i = 1, 2 ) системы (1.47). Нотогда в силу леммы 1.4.16 существуют функции ϕi такие, что ϕ iT = ϕ i ( J 1 , J 2 , J 3 ) .Осталось вернуться от диагональных матриц к исходным. Система (1.47) в матричном виде выглядит так:11МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________diag (η1 ,η2 ,η3 ) = ϕ 0T I + ϕ1T diag ( λ1 , λ2 , λ3 ) + ϕ1T diag ( λ1 , λ2 , λ3 ) 2илиDS = ϕ 0T I + ϕ1T DT + ϕ 2 DT2Умножив слева на матрицу O1, а справа – на O1* , получимφ (T ) = S = ϕ 0T I + ϕ1T T + ϕ 2T T 2и теорема в случае различных собственных значений матрицы T доказана.В случае, если λ1=λ2≠λ3, вместо системы (1.47) достаточно рассмотреть систему из двухуравненийφ0T + φ1T λi = Φ i ( i = 1,3)и аналогичными рассуждениями получить существование функций ϕ0, ϕ1 таких, чтоφ (T ) = S = ϕ 0T I + ϕ1T T(ϕ2 в этом случае равна нулю).Наконец, в случае, когда все собственные числа матрицы T одинаковы (матрица пропорциональна тождественной), утверждение теоремы тривиально:F (T ) = ϕ 0T I(ϕ1 и ϕ2 равны нулю).1.4.18.

Теорема о представлении изотропных скалярных функцийПусть по-прежнему, S3 – пространство симметричных 3×3 матриц, аφ : S 3 → R – изотропная функция. Тогда найдется функция ϕ : R 3 → Rтакая, чтоφ (T ) = ϕ  J 1 (T ) , J 2 ( T ) , J 3 (T ) Д о к а з а т е л ь с т в о : Как и в доказательстве предыдущей теоремы, показывается, чтоφ ( T ) зависит только от собственных значений матрицы T, причем симметричным образом. Поэтому утверждение теоремы следует из леммы 1.4.16.1.4.19.

Теорема о представлении изотропных векторных функцийДля любой изотропной функции φ : R 3 → R 3 существует функцияϕ : R + → R такая, чтоφ( x) = ϕ ( x ) x(1.49)Д о к а з а т е л ь с т в о : Определим функцию ϕ равенством0, φ ( x ) = 0, x = 0,ϕ(x)=2 x ⋅ φ ( x ) x , φ ( x ) ≠ 0.Мы должны доказать, во-первых, корректность определения ϕ, т.е. показать, чтоϕ ( x ) = ϕ ( y ) , если x = y , и, во-вторых, что функция ϕ искомая, т.е. доказать равенство(1.49).Корректность следует из изотропности функции φ. Действительно, если x = y , то найдется ортогональное преобразование O такое, что y = O x . Но тогдаϕ ( y ) = y ⋅ φ ( y ) y = O x ⋅ φ (O x2(O∗)x = O x ⋅O φ( x)22x =O x ) ⋅ φ ( x) x = x ⋅ φ ( x) x = ϕ ( x ).2212МССОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ_____________________________________________________________________________Докажем (1.49).

Если x=0, то и φ ( x ) = 0 . В самом деле, φ ( 0 ) = O * φ ( 0 ) = O φ ( 0 ) и поэтому φ ( 0 ) = 0 , т.к. O – произвольный поворот. Если φ ( x ) = 0 , то, очевидно, и ϕ ( x ) = 0 ,что гарантирует (1.49). Наконец, если x таков, что φ ( x ) ≠ 0 , то сначала покажем, чтоφ ( x ) = α x (α ∈ R ) .

В самом деле, Пусть Oα – ортогональное преобразование поворота во-круг вектора x на угол α. В силу изотропности φOα∗ φ ( x ) = φ ( Oα∗ x) = φ( x)т.е. вектор φ ( x ) не изменяется при повороте вокруг x. Это может быть только в том случае, если φ ( x ) = α x . Но тогдаϕ ( x) x =x ⋅ φ( x)x2x=x ⋅ axx2x = ax = φ ( x ) ,что и требовалось.1.4.20. Еще раз о законе Фурье.Оказывается, закон Фурье (см. п.

1.3.11) является следствием предположенияо том, что вектор потока тепла удовлетворяет уравнению состояния (1.37)q = F ( ∇Θ, P )и принципа независимости от системы отсчета.Действительно, упомянутый принцип влечет требование изотропности функции F по первому аргументу (см. п. 1.4.13). Поэтому, в силу последней теоремы, она (функция) может быть представлена в видеF ( ∇Θ, P ) = −κ ( ∇Θ , P ) ∇Θ(−κ– это функция ϕ из теоремы 1.4.19. Тогда определяющее уравнение (1.37)записывается в виде (закона Фурье)q = −κ∇Θ .131.5.

Модели жидкостей.Как уже говорилось, для замыкания дифференциальной модели (DM) необходимы дополнительные уравнения, называемые определяющими. Эти уравнения уже не являются универсальными для всех сплошных сред и учитывают те или иные физические свойства конкретных сред. Говорилось также и отом, что жидкости и газы характеризуются существенной зависимостьютензора напряжений от тензора скоростей деформации и независимостьюот тензора напряжений. Здесь мы более подробно рассмотрим различныемодели одного класса сплошных сред, называемого жидкости.1.5.1.

Основное уравнение состояния.Мы предполагаем, что уравнение состояния для жидкостей имеет видP = F ( D, P, x, t )(1.50)Подчеркнем, что здесь мы уже воспользовались принципами причинности ипространственной локализации: уравнение (1.50) им уже удовлетворяет. Мытакже предполагаем выполненным принцип независимости от системы отсчета; это проявится чуть ниже. Далее, в уравнении (1.50) мы пока не конкретизируем список термодинамических параметров P; это также будет сделаночуть ниже, в следующем пункте.1.5.2.

Однородность уравнения состояния.Жидкость однородна, т.е. функция F в уравнении состояния не зависит явно от x и t.Д о к а з а т е л ь с т в о : В самом деле, в силу принципа независимости от системы отсчетаP′ = F ( D′, P′, x′, t ′)или, что то же,O ∗ ( t ) D P D O ( t ) = F ( O ∗ ( t ) D D D O ( t ) , P, O ∗ ( t ) x , t + α ) .В силу теоремы 1.4.10 об индифферентности основных тензоров, ортогональности преобразования O, а также изотропности функций, входящих вуравнение состояния, последнее равенство переписывается в видеO ( t ) D O ∗ ( t ) D P D O ( t ) D O ∗ ( t ) = O ( t ) D F (O ∗ ( t ) D D D O ( t ) , P, O ∗ ( t ) x , t + α ) D O ∗ ( t ) ,P = F ( D, P, O ∗ ( t ) x , t + α ) .Таким образом, для любого ортогонального преобразования O и любого числа α имеет место тождествоF ( D, P, O ∗ ( t ) x , t + α ) ≡ F ( D, P, x, t ) .(1.51)Поэтому (если взять O=I) для любых t1 и t2F ( D, P, x, t1 ) ≡ F ( D, P, x, t2 ) ,2что означает независимость F от t.

Если же для любых x1, x2∈R3 в (1.51) взятьв качестве O ортогональное преобразования, переводящее x1 в x2, а в качествеα – нуль, тоF ( D, P, x2 , t ) ≡ F ( D, P, x1 , t ) ,что означает независимость F от x.Однородность означает, что физические законы, которым подчиняется жидкость, неизменны во времени и пространстве.

Два последних аргумента уфункции F теперь опускаются:F ( D, P, x, t ) = F ( D, P ) .Сейчас мы сформулируем основные аксиомы, которым должно удовлетворять уравнение состояния в нашей модели жидкости.1.5.3. Аксиома идеальности.Покоящаяся жидкость идеальна, т.е. тензор напряжений в ней пропорционален тождественному.Математически, эта аксиома означает, чтоF ( 0, P ) = − pIгде −p – коэффициент пропорциональности. Величина p называется давлением. Элементарная работа в идеальных средах задается формулойdA = pdV(1.52)где V = 1 ρ – удельный объем.1.5.4. Представление уравнения состояния.Из принципа независимости от системы отсчета следует изотропностьфункции F по первому аргументу. Поэтому в силу теоремы 1.4.17 она можетбыть представлена в видеF ( D , P ) = ϕ 0 I + ϕ1 D + ϕ 2 D 2(1.53)где коэффициенты ϕi зависят от инвариантов тензора D и параметров состояния: ϕ i = ϕ i  J 1 ( D ) , J 2 ( D ) , J 3 ( D ) , P .Теперь о параметрах состояния.

Характеристики

Список файлов лекций