1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ТаккакС = ln( | Voo | / v ) = 1п( | Voo I/ 1V | ) + Zargv,го линии АВ, где argv = 0, соответствует ц = 0. Таким образом,части ц) > 0 области течения отвечает полуполоса в плоскости С,.45При преобразовании % = 1 - 2cp0/w полуплоскость vp > Оперейдет в верхнюю полуплоскость с соответствием точек В —>со, С—> -1, А(оо)—>1. Так как преобразование области в плоскости С, навспомогательную область в плоскости у осуществляетсяотображением у = ch2C мы получаем равенствоch2; = 1 - 2<po/w.(8.4) 'Здесь ch2C = [exp(2Q + exp(-2Q]/2. Подставляя в равенство (8.4)выражение £, из соотношения (8.3) получаем квадратное уравнение( I v j ~ ? = [(1 - cp0/w),/2 ± /(фо/w)12]2,awрешая которое, находимI V» | — = (1 - (p0/w) I/2 ± /((po/w)1/2.(8.5)dwЗдесь выбирается знак « + » , потому что в точке С, где w = <р0,i v.B| dz/dvv =/.
Интегрируя уравнение (8.5), с учетом условия z = 0при w = 0 находимz={(w(tp0- w))12 +!/2(p0arccos( 1- 2w/cp0) + 2(cpow)l/2}.|v«|Учитывая, что w = (p0 при z = a i, определяем константу (po изуравненияiia-i = т— - [1/2(p0arccos(“ 1) +2ср0] = т— г ['Лерол +2(poj-IV00IIV00IiВ результате простых вычислений находим(ро =2а |v * |/(ж + 4).(8.6)46Сила, действующая на пластинку, задается следующиминтегралом:аRx = 2J (р - p*)dy.ОИспользуя интеграл Бернулли 1/2 | v | 2 + р/р = l/2|v„J2 +выражаем давление через комплексный потенциалp jp ,Р - Poo = р( Iv„ | - 1 — 1 )/2.dzНа линии ВС, где ц> = 0 и х = 0. при вычислении скоростииспользуется формула| V* |= (1 - фо/w)1'2 + /(cpo/vv)1'2.awВ силу того что| Vcr.
| d(/y)/d(p = (1 - фо/ф)1'2 + /(ф0/ф)1/2,имеем| — | =dф/dy= IvM| /[(фо/ф- 1)1/2+(фо/ф)1'2].dzПосле подстановки этого выражения вычисляем интегралаRx= Р[ vM| 2 - ^ / d y ) 2]dy =J IО(р0=р ОJ ( IVJ 2dy/бф - йф/бу)бф = лр<р01v„ I.Подставляя значение константы ф0, находим силу сопротивленияRx = 2ттра | у» 12/(л + 4)(8.7)при обтекании пластины с отрывом струй.§ 9. Пространственная задача потенциального обтеканияВ данном параграфе рассмотрены пространственные теченияидеальной несжимаемой жидкости. Предварительно выведем47тождества Грина, полезные при решении задач пространственногопотенциального обтекания тел.Формулы Гркна. Пусть в конечном объеме со, ограниченномповерхностью S, задана непрерывно дифференцируемая векторфункцияF.СправедливаследующаяформулаГ аусса-ОстроградскогоШ v■FdM=Я F■nds’где n - внешняя нормаль к поверхности S. Полагая F = ср • Vvj/, где сри vjy - произвольные гладкие в области со функции, дляV • F = Vcp • V\|/ + ср • Aip получаем первое тождество Гринаду/Vq>-Vipdco +cp-Avpdco = | | Ф' —:—dS.(9.1)dnJIJJJJМеняя в нем ср и \р местами и затем вычитая из одного равенствадругое, получаем второе тождество Гринаду/д(р(9.2)v|/- — ]dS.JJJ [<р'Дч/ “ У-Аф^ю = | | [фдпдпПусть теперь ср - потенциал скорости, определяющий движениеидеальной несжимаемой жидкости (v = Vcp).
Из формулы (9.1) приср = ср находимH I (Vcp)2dco + H I ср • Acpdro = | | ср • - dS.сосоSОПУчитывая, что Аср = 0, получаем удобную формулу для подсчетакинетической энергии жидкости в объеме со:Б = Ир H IIv 12dco = 'Ар H I (Vcp)2dco = 'Ар | |ср-dS.(9.3)сосоSдпПотенциальное обтекание сферы. Рассмотрим движениешара радиуса а с постоянной скоростью V вдоль оси z вбезграничной несжимаемой идеальной жидкости, покоящейся набесконечности. Считая движение жидкости безвихревым (rotv = 0),вводим потенциал скорости ср, удовлетворяющий уравнениюЛапласа:48На поверхностинепротеканияшараДф = 0.S потребуемвыполнения(9.4)условияv ■n I s = V • п.(9.5)На бесконечности, где жидкостьпокоится, потенциал удовлетворяетусловиюVcp -> (0,0,0)(9.6)при г —» оо. Здесь г = (х2+ у2+ z2)l/2.Введем сферические координаты г, 0,X с помощью соотношенийх = г • sinG cosX,у = г • sinG sinX, z = г • cosG.УравнениеЛапласа(9.4)всферических координатах примет видdjd(p1 д .
. „дер.1 д1(р- (г --) + ------- (sir#--) + —-------(9.7)= 0.dr crsix'OdOдвsir? 0<ЭЯ2На поверхности шара г = а имеем условие Эср/Эп = vn, где vn = VcosG- проекция скорости V на направление нормали. Это даетграничное условиеdpldr = VcosG(9.8)при г = а. Во внешности сферы, где ге[д,оо]; 0е[О,л]; Хе[0,2л], всилу осевой симметрии течения ищется потенциал скорости ф, независящий от X. Если искать его в виде произведения ф = f(r)cos9,то из уравнения (9.7) получается обыкновенное дифференциальноеуравнение Эйлераd(r2df/dr)/dr - 2f(r) = 0.Полагая f(r) = rk, для определения к получаем уравнение к(к+1) = 2,откуда k] = 1, к2 = -2. Поэтому общим решением является функцияf(r) = Аг + В/г2, которой отвечает потенциалф = (Аг + B/r2)cos0.Из условия обращения в нуль скорости течения на бесконечностиследует, что коэффициент А = 0.
Коэффициент В определяется49граничным условием (9.8). Окончательно получаем потенциалтечения, создаваемого движущейся со скоростью V сферойф = - Va3/2r2cos9.(9.9)Налагая на это течение поступательное течение со скоростью V внаправлении отрицательной оси Oz, для которого потенциаломскорости являетсяф = - Vz = - Vr • cos0,получаем потенциал обтекания сферы поступательным потокомф = - V(r + tf3/2r2)cos9.(9.Ю)В этом установившемся течении давление р определяется изинтеграла Бернуллир + р | v | 2 /2 = ри + р ! V | 2/2 = рт.Компоненты вектора скорости задаются формуламиv, = Зф/Зг = - V(1 - <73/r3)cos0,v0 = 1/гЗф/Э0 = V(1 + a 3/2r3)sin0, v-t = 1/rsinG Зф/Эл. = 0.В частности, на поверхности шара г = а имеемv, = 0, v0 = 3 Vsin0/2, v>, = 0.Тогда давление на поверхности задается формулойр = рт - 9pV2sin20/8.Легко видеть, что распределение давления симметричноотносительно экваториальной плоскости 0 = п/2, перпендикулярнойк направлению потока на бесконечности.
Тогда давления,приложенные с разных сторон к поверхности шара, взаимноуравновешиваются и суммарная сила, действующая на шар,R=JJ pndS = 0.v - ... sМы показали, что при равномерном поступательномдвижении сферы сила сопротивления со стороны жидкости равнанулю (парадокс Даламбера).Неустановившееся движениетела в безграничнойжидкости.Рассмотримдвижениежидкости,вызванноеперемещением твердого тела в безграничной несжимаемойидеальной жидкост и, покоящейся на бесконечности.Известно, что распределение скоростей твердого тела вполнеопределяется заданием скорости v0 = vo(t) точки О этого тела и50угловой скорости со = 0)(t) вращения тела относительно этой точки.Имеем следующую формулу для скорости движения произвольнойточки L твердого тела:V = v () + со х г.Здесь г - радиус-вектор точки L относительно точки О.При безвихревом движении жидкости потенциал скорости (рудовлетворяет уравнению ЛапласаАср = О,а в каждой точке L поверхности тела S должно выполнятьсяусловие непротекания (условие Неймана)Гд<РV■n Is =Vo •П| S+(юх Г) П| s =Vo ■n Is+CO(r х п) | Ss-- (9.11)дпJУчитывая, что жидкость на бесконечности покоится получаемграничное условие(9.12)Уф-> (0,0,0)при гсо, где г = (Х]2 + х22 + Х;Г)1/2.
Будем считать, что притокмассы из бесконечности отсутствует. Тогда ф стремится к нулю приг —> со как величина порядка 1/г2. Решение уравнения Лапласаудобно искать в видеФ = v0• Ф 1 + со ■Фг •(9-13)Здесь Ф! = (фь ф2, фз), Ф2 = (Фь ф5, фб), а каждая функция ф,(/=1,...,6) удовлетворяет уравнению Лапласа, условию (9.12) иследующим граничным условиям на поверхности тела S:АФ] = 0, дФ\1дп | s = п; АФ2 = 0, 9Фг/9п | s = г х п. (9.14)В скалярной записи получаем 6 краевых задач для определениягармонических функций фь ...,ф6.
Из формул (9.14) видно, чтограничные условия для функций ф, уже не зависят от векторов v0(t)и ю(0, а определяются только формой поверхности S тела ивыбором системы координат. Следовательно, решение задачи (9.14)может использоваться при описании разных нестационарныхдвижений данного тела.Силы, действующие на движущееся тело. На элементповерхности dS будет действовать сила давления pndS. Здесь п-ортнормали к поверхности S, направленный внутрь тела.
Главный51вектор R этих сил и главный момент М относительно началакоординат вычисляются в видеR = | | pndS,М = | | р(г х n)dS.S(9.15)SЗдесь г есть радиус-вектор точки L поверхности S относительноточки О, принадлежащей телу, которая выбирается в качественачала координат. Давление р определяется с помощью интегралаКощи-Лагранжар = ро - pScp/dt - pv2/2 .Подставляя это значение р в формулу (9.15) можно найти R и М.Удобнее поступить иначе, а именно исходить из законовколичеств движения и моментов количеств движения.
Проведемпроизвольную неподвижную в пространстве поверхность Z,охватывающую поверхность S. Количество движения К жидкости,заключенной в объеме со между поверхностями S и Z, есть*-Я/ pvdco = JJ! pVcpdco.СОСОНо по теореме Гаусса-ОстроградскогоH I pVcpdco = | | pcpndS - | | pcpndS.шssИзменение за время dt количества движения частиц жидкости,заключенных в момент t между поверхностями S и Z, равноимпульсу сил давления, действовавших на эти поверхности запромежуток времени dt. Обозначим через R главный вектор силдавления, приложенных к поверхности Z, тогда импульс силдавления, приложенных к поверхностям S и S за время dt, будетравен (R -R)dt.
Так как через элемент dS поверхности Z за время dtпроходит масса жидкости pv„dSdt, несущая количество движенияpvvndSdt,тополноеизменениеколичествадвижениярассматриваемых частиц жидкости равноdK = d | | pcpndS —d | | pcpndS + | | p w ndSdt.SEE52Приравнивая это изменение количества движения импульсу сил( R - R)dt, получаем равенствоR - R = — IJ p(pndS - — j | pcpndS + | | p w ndS.dt sdt sx(9.16)Поверхность S считаем неподвижной в пространстве, поэтому— | | pcpndS = | | p5cp/5t ndS.dt 2iВоспользовавшись интегралом Коши-Лагранжа и(9.17)| | p0ndS = ро | | ndS = О,имеем равенствоR = | | р ndS = - р | | 3cp/3t ndS - р | | V^ndS.(9.18)isiПодставляя выражения (9.17) и (9.18) в равенство (9.16), получаемосновную формулуR = - ^ - | | pcpndS - | |р (!Лу 2п+ vvn)dS.(9.19)Если принять за Z сферу очень большого радиуса г, то на этойсфере скорость v будет величиной порядка 1/г\ поэтому величинаv 2/2 п + vvn будет порядка I!г\ а так как площадь поверхности Еравна 4иг2, то второй интеграл в формуле (9.19) будет порядка Mr .Поэтому, устремляя г->оо, получаем из уравнения (9.19)окончательную формулуR = - — [[ pcpndS.dt JSJ(9.20)Совершенно аналогично найдем формулу для момента М, применяязакон сохранения момента количества движения:ffМ =- —pcp(rxn)dS.dt J J(9.21)Величина pep представляет мгновенный импульс давлений,который, будучи применен к покоящейся жидкости, мог бы вызвать53рассматриваемое безвихревое движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
