1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Видно, что напряжение трения падает сростом X.Для пластинки ширины b и длины по потоку I вычислимсуммарное сопротивление, испытываемое пластинкойIW = 2£a(ppU3)1/2 | dx/Vx = 1,328 й(ррШ3)1/2.оВводя коэффициент сопротивления cwпо формулеW = pU2S • cw/2,где S = 2Ы, получаемcw= 1,328 Е(14.4)\ /(7VReЗдесь Re = AJ/v - число Рейнольдса. Полученное значение cwхорошо согласуется с коэффициентами, найденными изэкспериментов над гладкими пластинками для чисел Рейнольдса, непревосходящих 3-105.80Толщина вытеснения.
Определим толщину пограничногослоя. Толщина вытеснения 8' определяется условиемJ(U - u)dy = 5*U.(14.5)Геометрический смыслможнопояснить на рисунке. Если прямая АВпересекает кривую распределенияскорости OKL так, что площадь ОАКравна площади KBL, то ясно, чтоб = ОА. В общем случае 8* будетзависеть от х и /. Вычислим величинуб , определенную формулой (14.5), дляслучая обтекания пластинки:, Х = 1/U J (U - щ)dy = (vx/U)12J [1f,'(Si)№.
4 ,так как \j/v /U = fi'(^i), a dy = (vx/U)12dt,i.Следовательно, толщина вытеснения 5 увеличивается как Vx .Отрыв пограничного слоя. Установим условия отрывапограничного слоя. Ясно, что в точке отрыва происходит сменапрямого течения на возвратное. Обозначим через хо координатуточки отрыва. На самом контуре и = 0, вблизи же контура и > 0 длях < х0и и < 0 для х > X,;. Поэтому на контуре (у = 0)иу > 0 для х < х0 и иу < 0 для х > Хо.Ясно, что место отрыва слоя должно определяться формулойиу = 0 при у = 0.(14.6)Уравнения Прандтля выведены в предположении, что впограничном слое составляющая скорости и велика по сравнению снормальной к поверхности тела компонентой v (v « и).
Это значит,что жидкость движется вдоль поверхности тела, практически неотклоняясь от нес, так что никакого отрыва течения произойти неможет. Мы приходим к выводу, что отрыв может произойти лишьна той линии, точки которой являются особыми для решенияуравнений Прандтля.81Действительно, на линии отрыва течение отклоняется,переходя из области пограничного слоя в глубь жидкости. При этомкомпонента v перестает быть малой по сравнению с тангенциальнойи становится, по крайней мере, одного с нею порядка. Впограничном слое выполнено отношение v/u ~ 1/ Vr ё , так что v ~ иозначает увеличение v в Vr ^ раз. Поэтому при достаточнобольших числах Рейнольдса можно считать, что V—»со. Тогда вточке отрываv(x,y)-> ад при х —> хо и vy-> со.(14.7)Из уравнения неразрывности ux+ vy = 0 следует, что их-» °о илидх/ди | u=u0 = 0.(14.8)Здесь х = x(u,y), Uo(y) = u(x0,y).
Вблизи точки отрыва разности и - и0и х - х0 мшш и можно разложить х - х0 в ряд по степеням и - и0(при заданном у). В силу условия (14.8) член первого порядка вэтом разложении нулевой х - х0 = f(y)(u - u0)2 + ... илиU = Uo(y) + Э(у) (х о -х ),/2.Из уравнения неразрывности определяемvy = Р(у)/(х0 - х)1/2/2.Интегрируя это равенство, находимv = a(y)/(x0-x )1/2,где« /(у) = Р(у У2.Рассмотрим первое уравнение системы (13.2), определяющейустановившееся течение жидкости в пограничном слое:uux + vuy = - рх/р + vuyy.(14.9)Производная иуу не обращается при х = х0 в бесконечность. То жесамое относится и к величине рх, определяемой движением внепограничного слоя.
Оба слагаемых в левой части уравнения (14.9)обращаются в бесконечность. В первом приближении оникомпенсируют друг друга и, следовательно, в области вблизи точкиотрываuux + vuy = 0.С учетом уравнения неразрывности преобразуем данное уравнениек видуuvy - VUy = tl2(v/u)y = 0.82Отсюда следует, что, с одной стороны, отношение v/u не зависит оту. С другой стороны, из разложений и и v имеем с точностью дочленов более высокого порядка малостиv/u = |a(y)/u0(y)]/(хо -х )1/2.Для того чтобы это выражение было функцией только от х.необходимо, чтобы а(у) = 1/2Аи0(у), где А - постоянная.
Такимобразом.u " и0(у) + Аи0(у)(х0-х )ь'2; v = l/2Au0(y)/(x0-x )’/2.(14.10)Формулы (14.10) определяют характер зависимости функций и и vот х вблизи точки отрыва. В силу граничных условий наповерхности тела из соотношений (14.10) получаем, чтоио(0) = 0, un'(O) = 0.(14.11)Таким образом, приходим к важному результату, что в самой точкеотрыва (х = х0, у = 0) обращается в нуль не только скорость и, но иее первая производная по у (это результат Прандтля).Установим еще одно условие, которое должно выполнятьсядля того, чтобы отрыв слоя был возможен.
В точке контура х0должно бытьUyy > 0,(14.12)ибо профиль скоростей обращен в этой точке своей вогнутостью внаправлении течения. Во внешней части пограничного слоя знаккривизны меняется, и, следовательно, в какой-то из точек профилискоростей должны иметь точку перегиба. Условие (14.12) имеетпростое динамическое истолкование. На стенке u = v = 0 и изуравнения движения получаем на контурерч/р = VUyy,поэтому условие (14.12) дает в точке контура х0 неравенство рх > 0.Это означает, что вблизи точки отрыва жидкость движется от болеенизкого давления к более высокому.
А так как во внешнемпотенциальном потоке давление р и скорость U связаны формулойр + pU2 /2 = const, то Ux < 0 и вблизи точки отрыва скорость Uуменьшается в направлении течения.Из полученных результатов следу ет, что при обтекании телсложной формы возможен отрыв потока от его поверхности.83Библиографический списокКочин Н.
Е. и др. Теоретическая гидромеханика /Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. М.: Физматгиз, 1963.Ч. 1, 2.Милн-ТомсонЛ.М.Теоретическаягидродинамика.М.: Мир, 1964.Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир,1973.Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука,1973.Т. 2.ЛойцянскийЛ.Г.Механикажидкостиигаза.М.: Наука, 1987.ЛандауЛ.Д.,ЛифшицЕ.М.Гидродинамика.М.: Наука, 1988. Т. 6.Овсянников Л.В. Введение в механику сплошнойсреды: Учеб, пособие. Новосибирск: МГУ, 1977.
Ч. 1,2.Пухначев В. В. Движение вязкой жидкости сосвободными границами: Учеб, пособие. Новосибирск: НГУ,1989.Горелов Д. Н. Теоретическая гидродинамика. Краткийкурс: Учеб, пособие. Омск: Омский гос. ун-т, 2000,Рябченко В.П., Карабут Е.А. Задачи по гидродинамике:Учеб, пособие.
Новосибирск: НГУ, 2002.84ОглавлениеВведение........................................................................................... 3Глава 1. Уравнения движения несжимаемой жидкости........ 5§ 1. Интегральные законы сохранения массы, импульса имомента импульса для жидкого и фиксированного объема.....6Жидкий объем. Силы, действующие на жидкий объем.Теорема переноса. Законы сохранения.§ 2. Уравнения Навье-Стокса. Уравнения Эйлера. Начальныеи граничные условия..................................................................
10Аксиомы Стокса. Система дифференциальных уравнений.Начальные условия. Условия на твердой (жесткой) границе.Условия на границе раздела несмешивающихся жидкостей.Поверхностное натяжение. Условия на свободнойповерхности.§ 3. Уравнения для вихря и функции тока................................15Уравнение Гельмгольца переноса вихрей. Функция токадля плоского течения.
Функция тока для осесимметричного течения.§ 4. Уравнения движения в безразмерных переменных............17Гидродинамическое подобие. Критерии подобия течений.Условия равновесия жидкости. Закон Архимеда. Равновесиена границе раздела двух жидкостей.Глава 2. Течения идеальной жидкости...................................... 21§ 5.
Вихревые и потенциальные движения...................................21Кинематические и динамические свойства вихрей. ТеоремаТомсона о циркуляции скорости. Теорема Лагранжа.Первая теорема Гельмгольца. Вторая теорема Гельмгольца.Третья теорема Гельмгольца Интегралы уравнений Эйлера.Интеграл Бернулли. Интеграл Коши—Лагранжа.§ 6. Особенности потенциального поля скоростей......................26Комплексная скорость, комплексный потенциал. Источникии стоки.
Диполь. Точечный вихрь. Движение системыточечных вихрей. Определение расхода и циркуляции.§ 7. Плоская задача потенциального обтекания..........................32Постановка задачи. Обтекание кругового цилиндра.Теорема Милн-Томсона. Парадокс Даламбера.Обтекание контура произвольной формы. ПостулатКутга-Жуковского. Гидродинамические реакции приустановившемся течении. Обтекание эллиптическогоцилиндра.§ 8. Обтекание с отрывом струй...................................................43Метод Кирхгофа. Обтекание пластинки.§ 9.
Пространственная задача потенциального обтекания........47Формулы Грина. Потенциальное обтекание сферы.Неустановившееся движение тела в безграничнойжидкости. Силы, действующие на движущееся тело.Тензор присоединенных масс. Нестационарное обтеканиесферы.§ 10. Волновое движение идеальной жидкости.......................... 56Постановка задачи Коши-Пуассона. Линейное приближение.Прогрессивные волны. Групповая скорость. Стоячие волны.Капиллярные волны. Импульсивное движение жидкости.Направленный взрыв.Глава 3.
Механика вязкой жидкости...................................... 65§11. Течение вязкой жидкости. Силы, действующие в ней.....65Одномерное движение. Течение Пуазейля. Течение Куэтта.Течение Куэтта между вращающимися цилиндрами.Течение жидкости по наклонной плоскости. Диссипацияэнергии.§ 12. Обтекание сферы вязкой жидкостью..................................71Приближение Стокса. Формула Стокса.§ 13. Теория пограничного слоя....................................................74Вывод уравнений плоского пограничного слоя. УсловиеПрандтля.
Стационарное течение. Преобразование Мизеса.§ 14. Пограничный слой на полубесконечной пластине.............79Задача Блазиуса. Формула для силы сопротивления.Толщина вытеснения. Отрыв пограничного слоя.Библиографический список...............................................................84Ждан Сергей Андреевич, Рябченко Валерий Павлович,Тешуков Владимир МихайловичЛЕКЦИИ ПО ГИДРОДИНАМИКЕУчебное пособиеРедактор С. Д.
АндрееваПодписано в печать 10.12.2002 г.Формат 60x84 1/16. Офсетная печать.Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 400 экз.Заказ № 6 1 7ЛицензияЛР№021285 от6 мая 1998 г.Редакционно-издательский центрНГУ630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
