1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 11
Текст из файла (страница 11)
^ 7 7 7 , W 7 V 7 " , ъ /7 7 \Схематически картина течения вязкой жидкости при Re » 1представима следующим образом. Вся область течения разбиваетсяна две части: тонкий пограничный слой вблизи тела и областьвнешнего потока, в которой течение можно считать совпадающим спотенциальным течением идеальной жидкости.74Вывод уравнений плоского пограничного слоя. Перейдем квыводу дифференциальных уравнений Прандтля, определяющихтечение в пограничном слое, рассматривая течение вязкойжидкости вдоль плоской пластинки. Уравнения Навье-Стокса (2.1)в плоском случае имеют видГ U, + 1ШХ+ vuy = - рх /р + v(uxx+ uyy),i Vt + UVX+ vvy = - py /p + v(vxx+ vyy),(13.1)lux + vy = 0.Уравнения Прандтля получаются в результате упрощения системы(13.1).
В основе этого упрощения лежит сравнение величинразличных слагаемых уравнений (13.1). Пусть / - характерныйразмер по горизонтали; U - характерная скорость невязкогообтекания; 8 - толщина пограничного слоя, характерный размер повертикали; 8/ / « 1, //U - характерное время.Оценим характерные параметры. Компонента скорости и вслое толщиной 5 меняется от 0 до U. поэтому иу~ U/5, а их —13//.
Изуравнения неразрывности ux = - vy, следует что vy ~ U//, а тогдаv~ Ш//. Далее uyy~ U/52, uxx ~Ш 2. То есть uyy » ихх. Члены в левойчасти первого уравнения системы (13.1) имеют порядок U2//. Второеслагаемое справа имеет порядок vU/52. Отношение сил вязкости ксилам инерции имеет следующий порядок:vU/5 : U // =v£v.0 ,1■ (-Г = R e(5//') 2U82Ш 5Условие Прандтля. Внутри пограничного слоя силывязкости и силы инерции имеют одинаковый порядок. ТогдаRe(8//)2~ 1.Итак, получаем первый результат теории пограничного слоя:образующийся при течениях с большими числами Рейнольдса Reпограничный слой имеет толщину 5 ~ //Re1'2.Например, для воды (v = 10'6 м2/с) при / = 1 м и U = 1 м/сполучаем 8 ~ //Re1'2 = 1 мм. Как видно, толщина образующегосяпограничного слоя очень мала.Оставляя в первом уравнении системы (13.1) члены одногопорядка, приведем его к видуUt + UUX+ VUy = - рх /р + VUyy.75Перейдем к рассмотрению второго уравнения системы (13.1).Порядок его левой части равен U2S//2.
Оценивая слагаемые,описывающие действие сил вязкости, получаем выражение vU/(/5),имеющее по условию Прандтля тот же порядок, что и U28//2. Видим,что ру/р имеет порядок U25//2, в то время как рх/р имеет порядокU2//. Но это означает, что производная давления в направлениинормали к контуру очень мала в сравнении с обычными значениямиградиента давления.
Поэтому можно с большой степенью точностизаменить второе уравнение системы (13.1) простым уравнениемру = 0.Таким образом, получаем второй результат теориипограничного слоя: давление внутри пограничного слоя не меняетсявдоль нормали к контуру тела и равняется давлению на внешнейгранице пограничного слоя.Описание движений вязкой жидкости в пограничном слоесводится к решению следующей системы:f u, + UUX3 VUv = - рх/р + VUyy,1Ру = о,(13.2)Iux + vy = 0.Здесь и и v - неизвестные функции переменных х, у и t, а р естьзаданная функция от х и (, которая определяется из решения задачиневязкого обтекания вне пограничного слоя.Асимптотический вывод уравнений (13.2) основан навведении безразмерных переменных.
В уравнениях (13.1) сделаемследующее преобразование переменных:х = /X], u = Uui, t = /t]/U, р = pU2pi,у = 5У] = (v//U)1/2yb v = (vU//)'/2vb(13.3)где / и U - постоянные (характерный линейный размер тела ихарактерная скорость обтекания).
Выполнив это преобразование,получимf U], il “1“ UlUxl + VlUylPl.xlRs Ui x]xi 3 U1,y1yl,Re"'(viiti + U]VliX, + V |V i>yl) = - p 1>yl + Re"2vUIxl 3 Re']Vi,yiyi,l(13.I2)Ul,x| + V1;y! = 0,где Re = U//v - число Рейнольдса. Эти уравнения представляютсобойточнуюсистемуНавье-Стокса,записаннуювсоответствующих безразмерных переменных.76Предположим теперь, что при Re->co все величины с индексом 1 в(13.3) и (13.17) сохраняют конечные значения. После перехода кпределу при Re—ко из (13.17) получимf Uj tl Ч1Uх1+ V1Uy 1РI,хI "1 Ul.ylybiо = - р ,,Уь(13.27)IU],xl + Viy] = 0.Эти уравнения после обратного преобразования с помощьюпреобразования (13.3) переходят в уравнения Прандтля (13.2).Таким образом, уравнения пограничного слоя можно рассматриватькак предельную форму уравнений Навье-Стокса, когда числоРейнольдса Re = Ш/v стремится к бесконечности.
Заметим, чтоyi = 0 (1 ) при у = O(S) и yi = 0(8-1) при у = 0(1). Это означает, что васимптотическом пределе 8—>0 области, занятой пограничнымслоем, соответствует в безразмерных переменных слой 0 < yi < да.В задачах обтекания профилей необходимо решать систему(13.27) со следующими граничными условиями:а) на стенке должно выполняться условие прилипанияU[ = Vi = 0(13.4)при у, = 0;б) на внешней границе пограничного слояЩ = U,(xi,t[)/U(13.5)при у, = да;в) граничное условие на входеUl = UBX(yb tl),при X] = 0, yi > О, Т > 0 и начальное условиеUl = Uio(xbyi),при ti = 0.Стационарное течение. Преобразование Мизеса.
Дляслучая установившегося движения Мизес свел систему уравнений(13.2) к одному нелинейному уравнению в частных производныхвторого порядка типа уравнения теплопроводности. В основевывода уравнения Мизеса лежит введение новых независимыхпеременных и новой искомой функции.Используя последнее уравнение системы (13.2), вводимv|/(x,y) - функцию тока и = ц/у, v = —-vpx, выбирая ее так, что наконтуре С она обращается в нуль. Будем рассматривать х и \\j77(переменные Мизеса) как новые независимые переменные.Величины и и v, выраженные в новых переменных х и ц), обозначимчерез и и v :и(х,у) = и*(х, Ц1), v(x,y) = v*(x, vp).Преобразуем первое уравнение (13.2) к новым переменным.Рассматривая и и v как сложные функции от х и у, имеем формулыпреобразования производных:Ux^ х * П ,;ЛрхUyyU х — VU= u(uu*v)v =UyU xi/VPy — UUu (( u *)2/2)w,.Подставляя эти значения в первое уравнение (13.1), получимU*- U*x = - рх/р + vu*-((u*)2/2)vv .(13.6)Известная функция р(х) связана с U(x) интегралом Бернуллир + l/2pU2 = const, выполняющимся в потенциальном течении внепограничного слоя.
Тогда уравнение (13.6) преобразуется к виду(u*)2x = (U2)x+ vu‘-(u*)2w .Введем новую неизвестную функцию z(x,i|>) = (J2 - (и*)2. Тогдаи* = (U2- z)1/2 и уравнение принимает видzx = v(U2- z ) l/2zw .(13.7)Полученное уравнение Мизеса имеет параболический тип прии > 0.
Выпишем граничные условия, которым должноудовлетворять решение этого уравнения. На контуре, т. е. при = 0,составляющая скорости и обращается в нуль, поэтому имеемграничное условиеz = U2(x)при Ц1 = 0.На внешней границе пограничного слоя, т. е. при= °о,составляющая и должна стремиться к U(x), поэтомуz —» 0 при 1Д —> 00.По известной и(х,у) на входе х = 0 можно вычислить z(0,v|/) = U2(0)- и2(0,у(ц;)). Таким образом, решение уравнения (13.7) должноудовлетворять трем условиям:f z = U2(x) при = О,i z = 0 при \\1 =оо,(13.8)I z = z(0,i[/) при х = О,Задача (13.7), (13.8) корректна, если коэффициент и*> 0.78§ 14.
Пограничный слой на полубссконечной пластинеЗадача Блазиуса. Пусть полубесконечная плоская пластинка(линия у = 0, х > 0), обтекается равномерным потоком, имеющимпостоянную скорость U = const на бесконечности. Очевидно, что восновном потоке рх = 0, и поэтому, предполагая стационарностьламинарного пограничного слоя, получаем уравнение для функциитока ф(х,у) (и = ([/у, v = -т|/х) из первого уравнения системы (13.2):ф у - ф Ух -M VTyyVVj/yyy(1 4 .1 )Решение этого уравнения должно удовлетворять граничнымусловиямV)/ = 0, vpy = 0 при у = 0, фу -> U при у -> да.(14.2)Найдем преобразования растяжения, допускаемые уравнением(14.1). Применим растяжение переменныхх—> ах, у -> by, ф -> сфи потребуем, чтобы уравнение (14.1) оставалось инвариантным.Тогда необходимос = а/Ь.Нас интересуют инвариантные решения уравнения (14.1),удовлетворяющие граничным условиям (14.2).
Поэтому из условияv)/y -> U при у —> да следует, что Ъ= с. ТогдаЪ = с, а = Ъ1.Инвариантами этого преобразования являютсяСогласно общей теории построения решений, инвариантныхотносительно допускаемой группы преобразований, один инвариантесть функция от другого инварианта. Поэтому общий видинвариантного решения таков:ф = Vx • f( у / л/х ).Введя переменную £, = y /V x и подставляя \и в уравнение (14.1),получаем обыкновенное дифференциальное уравнение дляопределения f:2vf • f- Г • 0.Решение должно удовлетворять граничным условиям:a) f = 0, f = 0 при = 0;796) f(c) -> U при £,-> да.Сделаем замену независимой переменной и искомой функции:^ ,= (U /v )'%f,= f/(U v ),/2.тогда уравнение для определения функции f, примет видГ 2 f; ••- ().i f, = f / = 0, $, = 0,(14.3)I f / - * 1) 2,1“* 00•Обозначим f/(0) = а.
Асимптотический анализ решений (14.3)показывает, что предельный вид функции f](si) при малыхfi(£i) = а £,,2 /2+ 0(^]5), а ~ 0,332,членов с Д и Ъ,\ в этом разложении не может быть, в чем легкоубедиться из уравнения и условий (14.3).Предельный вид функции fi(£,i) при больших g :f, = 4 , - 1,72077+ Щ ,),где f2(^i) -> 0 приоо.Формула для силы сопротивления. Чтобы вычислитьсопротивление, испытываемое пластинкой, найдем касательнуюсоставляющую вектора напряжения на поверхности пластинкит0 = \iduldy | у=о- В рассматриваемой задачет„ = paV /ду2!>та0 = p(U7vx)1/2 ГДО),где fi'(O) = а « 0,332.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
