1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Обозначим через Вглавный вектор этих импульсов, а через I - их главный моментотносительно начала координатВ = | | pcpndS, I = | | pcp(rxn)dS.SSПолученным формулам можно дать следующее истолкование. СилаR и момент М определяют воздействие со стороны жидкости натвердое тело. Если тело находится под действием внешних сил,приводящихся к силе R7, приложенной в начале координат и кмоменту М;, то его движение будет определяться формуламиd_dddG ------- В + R , — Q =I+M .dtdtdtdtгде G - количество движения твердого тела, Q - главный моментколичества движения тела относительно начала координат. Написавпредыдущие формулы в виде~~ (G + В) = R7, 4 -(Q + I ) = M7,(9.22)dtdtможем истолковать их так: при движении твердого тела в жидкостивнешние силы должны изменять не только количество движениятвердого тела, но еще и систему количеств движения,распределенных вдоль поверхности S, причем на каждую единицуповерхности приходится количество движения, равное рерл.Вычислим векторы В и I, используя условия (9.14):в/ =||уРФ ~on■ds , I==уff РФonO'=1,2,3).(9.23)Тензор присоединенных масс.
Для удобства дальнейшихвыкладок введем 6-мерный вектор скоростии = (V oi, V02 , V03, СОь ® 2, СОз),включив компоненты поступательной и вращательной скорости.6Тогда потенциал (9.13) можно записать в виде ф = ^ Г и кфк . Еслик=1ввести 6-мерный вектор J такой, что J = (Вь В2, В3, 1Ь 12, 13), торавенства (9.23) приводятся к единообразной форме54А=1ВеличиныXlk\Jk . (г - 1,...,6)называются коэффициентамиприсоединенных масс тела.
Матрица {А,,*} тензор присоединенныхмасс тела. Докажем его симметричность:Х,к- Х к1.(9.24)Применим к области оз, заключенной между поверхностями Sи Z, формулу Грина (9.2):Я (<р'д<РкдпJJJ (Ф,-Аср* - фл-А(р,)с4со =д<РкФ -м . )dS - JJ (Ф,дпдпа■Ф а- .M )dдпЛевая часть равенства равна нулю, так как Дф, = Дф* = 0.Если S есть сфера радиуса г с центром в начале координат, топодынтегральная функция в правой части будет иметь порядок 1/г3(ф, и Фа- - величины порядка 1/г, а оф/оп и офГГп имеют порядок1/г). Следовательно, интеграл имеет порядок 1/г и стремится кнулю при г—> со.
Получаем равенствоЯ3% _ (p ^ . M ) d s = o)дпдправносильное равенству (9.24). Итак, из 36 коэффициентов X,*независимы только 21. В системе координат, неизменноскрепленной с телом, величины Х,к не зависят от времени, аопределяются только геометрическими свойствами тела.Пример. Нестационарное обтекание сферы. Рассмотримдвижение сферы вдоль оси z с переменной скоростью V = V(t). Всистеме координат, связанной со сферой, согласно формуле (9.9),потенциал вектора скорости имеет видФ = - V(t)a3/2r2cos0.Вычислим кинетическую энергию жидкости по формуле (9.3):55Е= Рjj= ряУ2а 3Ф■dS /2 = рjjV2«cos20dS/4 =J cos20 sin0d0 /2= ртш 3V2/3= Я]\V2/2огде Яц = 2рла3/3.Для шара массы m полная кинетическая энергия системышар-жидкость имеет видЕр = Еш+ Е = (m + X] 1)V2/2Если на тело действует сила F (вдоль оси z), то, согласно законусохранения энергии, Fdz = (m + Яц)Ус!У.
Учитывая, что dz = Vdt,получаем равенствоF = (m + Л-! i)dV/dt.Мы видим, что поступательное движение шара в жидкостиэквивалентно поступательному движению в пустоте, но при этоммассу шара m нужно увеличить, добавив присоединенную массуЯн = 2p7ia3/3. Последняя равна половине массы жидкости,вытесненной шаром.§ 10. Волновое движение идеальной жидкостиРассмотрим волновые движения идеальной жидкости поддействием силы тяжести.Волновые движения вызываются, как правило, начальнымвозмущением свободной поверхности, ее отклонением от56равновесного положения. (Такое отклонение можно вызвать ударомтвердого тела о поверхность, смещением массы воды и т. п.)Математическое описание волновых движений дается решениемзадачи Коши-Пуассона.
Движение жидкости будем считатьбезвихревым, а давление во внешней среде постоянным: р = р0.Постановка задачи Коши-Пуассона. Пусть z = r|(x,y,t) уравнение свободной поверхности, a z = h(x,y) - уравнение днаводоема. В области, занятой жидкостью,х,(у, t) < х < да, -да < у < со, -h(x, у) < z < Г|(х, у, t)потенциал вектора скорости ср удовлетворяет уравнению ЛапласаАср = 0(10.1)и следующим граничным условиям:а) условию непротекания на днедцудп = 0 при z = h(x,y);( 10.2)б) кинематическому условию на свободной поверхностиГЬ +ф хЛ х+ ф у 'П у “Ф*>О 0 '3 )означающему, что на свободной поверхности z = Г|(х, у, t) скоростьдвижения жидкости по нормали равна нормальной скоростидвижения границы;в) динамическому условию на свободной поверхностиz = р(х, у, t)ф, + | Уф !2 /2+ gr| = 0 .(Ю-4)При выводе этого условия использовались интеграл КошиЛагранжа ф, + | Уф | 2 /2+ gz + р/р = f(t), условие на свободнойгранице р = р0 и, кроме того, произвол в выборе потенциаласкорости ф, который определяется с точностью до произвольнойфункции времени.Начальные условия.
При t = 0 задается форма свободнойповерхности и потенциалЛ(х,у,0) = т|°(х, у) и ф(х,у,0) = ф°(х, у).(10.5)В общем случае задача (10.1-10.5) является нелинейной. Вдальнейшем рассматривается более простая постановка задачи оплоских волнах в линейном приближении.Линейное приближение. Рассмотрим плоскопараллельноетечение, в котором движение каждой частицы жидкостипроисходит параллельно плоскости Oxz, скорость v и давление р не57зависят от координаты у, а дно является плоским z = - h = const.Пусть невозмущенная свободная поверхность совпадает сплоскостью Оху. Будем полагать, что амплитуда волн и скоростьжидкости малы, поэтому ищем решение плоской задачи в видеФ = ф0 + е cp7, rj = ег|7, р = р0 + sp7 (ф= ф0, р = ро, Ц = 0 - основноерешение, е - малый параметр).
Считаем, что фо = 0. Подставляя этопредставление решения в уравнения и отбрасывая члены порядка е2и выше, получаем линеаризованную задачу. Возмущениепотенциала ф7удовлетворяет уравнениюЛф7= 0и следующим условиям:а) условию непротекания на дне9ф7/Эг Iz=-h ~ 0;(a) vб) условиям на свободной границе.Отметим, что можно перенести граничное условие с возмущеннойсвободной границы z = ер7 на прямую z = 0, допустив ошибкупорядка б2. Получаем граничные условия на z - 0:Vt = ф;г I z-o,ф' + gp7= o | z=0.Продифференцируем последнее уравнение по t и исключим р7:ф7« + gф7z = 0 1z=0.(b)Таким образом, надо найти решение уравнения Лапласа в полосе[- h,0] с граничными условиями « а » и « Ь » .
Если эта задачарешена, то отклонение свободной границы находится из уравненияр7= -V ,/g [z=o.( 10.6)Далее, штрихи в обозначениях искомых возмущений опускаем ибудем искать решение уравнения Лапласа методом разделенияпеременных. Пусть ф= ффг) • ф2(хД), из уравнения Лапласа получимф7/1(z)Api(z) + ф'72(хр)/ф2(хД) = О, ф/72/ф2 = -к 2, ф/71/ф! = к2,где к - постоянная.Прогрессивныеволны.Рассмотрим прогрессивные(бегущие) волны, потенциал которых ф2 = sin(kx - cot) описываетвозмущения, распространяющиеся вдоль оси Ох со скоростьюс = со/k. Здесь к - волновое число.
Решая однородное линейноеуравнениевторогопорядка с постоянными коэффициентамицг2ф' i(z) - к"ф](г) = 0, определяем58cpi(z) = А • ек/ + В ■e'kz.Используя граничное условие на дне9(pi/3z | z=_h = А ■к ■e'kh - В • к • ек|’ = О,находим связь между А и В:А = С • ек|1/2, В = С • е'к172.Подставляя найденный потенциал(р = С • (ek(z+,l) + e‘k(z+h))/2 • sin(kx - cot) = С • ch(k(z + h)) ■sin(kx - cot)в граничное условие на свободной поверхности- со2 ■ch(kh) • sin(kx - cot) + g • к • sh(kh) • sin(kx - cot) = 0,получаем дисперсионное соотношениесо2 = g • к • th(kh).(Ю-7)Введем X = 2л/к - длину волны, т = 2л/со - период волны. Обратноечисло 1/т представляет число колебаний в единицу времени, егоназовем частотой колебаний, очевидно, 1/т = со/2л.
Между длинойволны X и периодом т существует связь, выражаемая формулой(10.7), которая может быть переписана следующим образом:1/т = (th (27th/A,)- g /2лХ)У2.Найдем уравнение свободной поверхности из уравнения (10.6):р = С ■ cos(kx - cot) co/g ch(kh) = a • cos(kx - cot).Здесь введена постоянная a - амплитуда колебаний на свободнойповерхности. Выразив через нее С, получим следующее выражениедля потенциала скорости:ср = а ■g- ch(k(z + h)) ■sin(kx - cot) /(со ■ch(kh)).( 10.8)Перейдем теперь к рассмотрению скоростей и траекторийразличных частиц жидкости.
Проекции скорости частиц на осикоординат определяются по формулам vx= dx/dt = Эср/Зх, vz= dz/dt ==9cp/3z. В силу равенства (10.8)vx= а ■gk- ch(k(z + h)) • cos(kx - cot) /(со • ch(kh)),vz= a • gk- sh(k(z + h)) • sin(kx - cot) /(со - ch(kh)).Так как рассматриваются малые возмущения скорости svx, svz, топри интегрировании вдоль траекторий мы получим малыеотклонения координат х = х0 + sx7, z = z0 + ez' от некоторых среднихзначений. В уравненияхdx/dt = evx(x, z, t) = evx(x0, z0, t) + r,2....,dz/dt = evz(x, z, t) = svz(x0, zo, t) + s2....59пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости по е и полагаемв правой части уравнений х = х0, z = z0. После интегрирования,получим уравнения движения частицых = х0 - А ■sin(kx0 - cot), z = zo + В • cos(kx0 - cot),где A = H • ch(k(z0+ li)), В = H • sh(k(z0 + h)), H = a • gk/(co2 ■ch(kh)).Исключая время t, получаем формулу((x - x0)/A)2 + ((z -Z o)/B)2 = 1,из которой вытекает, что траекториями частиц являются эллипсы.На дне (zo = - h) частицы движутся только в горизонтальномнаправлении.
Рассмотрим предельные случаи.Глубокая вода. При h—>оо (th(kh)—>1) в пределе получаем9 = а ■g/co • ekz ■sin(kx - cot), со2 = g • k.Фазовая скорость волны имеет видс = to/k = (gth(kh)/k)12—> (g/k)1/2.Мелкая вода. При kh—>0, когда либо глубина мала, либоволны являются длинными можно использовать приближениеth(kh) ~ kh. Из дисперсионного соотношения0)2 = g -k 2-h,вытекает, что фазовая скорость с = (gh)1/2 не зависит от длины волн.‘Групповая скорость. Рассмотрим две волны с различными,но близкими параметрами к, со и к', со'. Уравнение, определяющеевид свободной поверхноститр= Р + р' = а ■(cos (кх - cot) + cos (к'х - co't)),(Ю.9)преобразуется к видутр = 2a-cos[ (к + к')х/2 - (со + co')t/2] • cos[ (к - к')х/2 - (со - co')t/2J.При близких к и к', со и со' возникает модуляционная волна: поосновному фону коротковолновых колебаний (А, = Ап/ (к + к')),распространяется длинная волна изменения их амплитуды.Переменная амплитуда имеет вид2а ■cos[ (к - к')х/2 - (со - co')t/2].Фазовая скорость основной волныс = (со + со')/(к + к ')« со/кменяется мало.
Изменение амплитуды модуляционной волныперемещается со скоростью(со - co')/(k - k' ) » d<a/dk = U.(10.10)60С такой же скоростью будут перемещаться группы волнопределенной длины. Поэтому скорость U называют групповойскоростьюволн.В общемслучаефазоваяскоростьраспространения волн с = со/k отлична от групповой скорости U.Например, для волн в глубокой воде имеем следующиесоотношения:C0 = (g .k )1/2, c = (g/k)1/2, U = (g/k)1/2/2.В данном случае групповая скорость распространения волн в двараза меньше фазовой скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
