1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Прибаротропном движении в потенциальном полевнешних силциркуляция по любому замкнутому жидкому контуру не зависит отвремени.Доказательство. Рассмотрим жидкий контур y(t): х = x(£,,t),^еу0 = у(0); у0 - контур при t = 0. Перейдем к лагранжевымкоординатам в интеграле, задающем циркуляциюГ =vdx =х(дх/дД)d^.оУУПосле дифференцирования по времени— cf v(5x/9^)d£, = cf (dv/dt)(3x/S^)d£, + cfх{дх/дД)d^d( JJJr«rоYuзамечаем, что последнее слагаемое равно нулю (так как контурзамкнут). Возвращаясь к старым переменным— - —- cf vdx = cf(dv/dt) • dx,dtdt JJуУв силу равенства р =р(р) и потенциальности поля внешних сил(f = -УП), из уравнений Эйлера (2.2) находим dv/dt = -V( jdp/p + П).Тогда7ТГ*— = —cfv (jdp/p + Il)dx - 0.(5.2)dtJУТеорема доказана.Следствие.
Теорема Лагранжа. Если при баротропномдвижении в потенциальном поле внешних сил движущийся объемидеальной жидкости не содержал вихрей, то он остаетсябезвихревым во все время движения.Доказательство. По условию при t = 0 со = 0 в указанномобъеме жидкости. Рассмотрим произвольный замкнутый контур у и.натянутую на него поверхность о, принадлежащие выделенномуобъему при t = 0. В начальный момент времени22Г-vdx = | | со - nds = О,так как со = 0.В момент времени С контуру у, будут принадлежать те жечастицы жидкости, что и контуру у. По теореме Томсонациркуляции скорости по контурам у и у] одинаковы, а тогда0 = <j" vdx =JJ со ■nds.В силу произвольности контура у (контур у можно взять малым)получаем, что со • п = 0 в любой частице.
Так как это соотношениевыполняется для любого n, | n | = 1, имеем равенство со = 0.Первая теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревойтрубки одинакова в любом ее сечении.Доказательство. Рассмотрим два произвольных замкнутыхконтура у! и у2, лежащих на поверхности вихревой трубки иохватывающих ее. Соединим их разрезами со сторонами ВС и ADпо вихревым линиям.С одной стороны по теореме Стоксаvdx =ABCDco n ds - 0,SAHC.Dибо со • n = 0 на поверхности вихревой трубки.
С другой стороны,q vdx = d vdx + cf vdx - cf vdx - cf v d x ,ABCD/,BCADy2если A^-B, C-»D, то получаем искомый результат.Вторая теорема Гельмгольца. При баротропном движении впотенциальном поле внешних сил частицы жидкости, образующие23в начальный момент времени вихревую линию, образуют ее во всевремя движения.Доказательство. Рассмотрим уравнение Гельмгольца вслучае идеальной жидкости (v = 0)dco/dt + oo-divv - (со-V)v = 0.(5.3)Из формулы (5.3) и уравнения неразрывности dp/dt + pdivv = Оследует соотношениеd(o)/p)/dt = ((co/p>V)v.Это уравнение может быть проинтегрировано.
Введем неизвестныйвектор с такой, что О) = рс(Эх/д<;). Тогда получаемd(pc(dx/SE,)/p)/dt = dc/dt(3x/9^) + c(dv/dE).Далее, ((ю/'р) • V)v = (с ■ дх/дЕ) ■ Vv = с ■ (dv/dt), отсюдаdc/dt(9x/9£,) = 0, так как | J | ^ 0, то dc/dt = 0, поэтомую/р = со0/ро • (дх/дЕ).(5.4)Сохраняемость вихревой линии означает, что образы точек,образующих при t = 0 вихревую линию, при преобразовании х ==x(£,,t) тоже образуют вихревую линию.
Достаточно показать, чтонаправление dr, касательное к жидкой линии, будет параллельновектору со в любой другой момент времени. Действительно, так какпо условию dr,_0= d£, = cond/, то в любой другой момент времениdr = dE, ■(дх/дЕ) = сОо • (dx/oE^dl = p0ft)/pd/.Третья теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревойтрубки постоянна во все время движения.(Этот факт является очевидным следствием теоремы Томсона.)Интегралы уравнений Эйлера. Пусть: а) жидкостьбаротропна: р = р(р); б) массовые силы потенциальны f = -УП.Тогда, вводя функцию ДамбаН = | v | 2/2 + Jdp/p + П,можно записать уравнения Эйлера в форме Громеки-Ламба (3.1)d\/dt + ft)xv = -VH.(5.5)ИнтегралБернулли.Еслитечениежидкостиустановившееся (dv/dt = 0), жидкость баротропна, а массовые силыпотенциальны (f = -УП), то уравнения Эйлера имеют первыйинтеграл24H = | v | 2/2 + fdp/p + П = C(L).(5.6)Здесь C(L) сохраняет постоянное значение вдоль линии тока иливихревой линии, но ее значение на разных линиях различно.Величина С тождественно постоянна во всей области течения вслучае потенциальных (ш = 0) и винтовых (v I |со) течений.Доказательство.
Умножим скалярно уравнение движения вформе Громеки-Ламба (5.5) на вектор dI, касательный к линии токаили к вихревой линии. Поскольку в этом случае( o > x v ) - d / = 0, дШ1 = 0,то величина Н постоянна вдоль линии тока либо вихревой линии.Выражение ю х v обращается в нуль при со = 0 либо v 11(0 во всейобласти течения, поэтому С постоянна всюду в этих случаях.Интеграл Коши-Лагранжа. В случае потенциальногонеустановившегосядвижениянесжимаемойжидкостивпотенциальном поле массовых сил из уравнения импульсов (2.2),представленного в видеV( dcp/dt + | Vcp 12/2 + p/p + П ) = 0,(5.7)вытекает, что выражение, заключенное в скобки, не зависит откоординат и является только функцией времени t:d(p/3t + 1Vcp 12/2 + p/p + П = F(t).(5.8)Здесь F(t) —произвольная функция времени.
Полученный интегралуравненийдвижения(5.8)называетсяинтеграломКоши-Лагранжа.Из уравнения неразрывности divv = 0 для потенциала1 скорости получаем уравнение ЛапласаdivV ср =Дср =0.(5.9)Здесь А = д2/5х2 + д2/ду2 + d2/dz2 - оператор Лапласа.Из уравнений (5.8) и (5.9) следует, что для описаниябезвихревого движения несжимаемой жидкости достаточно найтиодну функцию <р, удовлетворяющую уравнению Лапласа (5.9), атакже граничным и начальным условиям. Давление р определяетсяиз соотношения (5.8).25§ 6. Особенности потенциального поля скоростейДвижение жидкости называется тоскопараллельным, есливектор скорости имеет вид v = (u,v,0), а все параметры потоказависят только от координат х, у. Уравнение неразрывностиux + Vy = 0(6.1)показывает, что udy - vdx представляет собой полныйдифференциал функции 14/, такой чтои=сНд/5у, у=-<3ф/<9х.(6.2)Она называется функцией тока, так как на каждой линии токасохраняет постоянное значение vp(x,y) = С, различное дляразличных линий тока.В плоскопараллельном течении rotv = о>(0,0,1) и приусловии его потенциальности имееми = 5ф/Эх, v = Эф/Эу, со = vx - иу = 0.(6.3)Из формул (6.2) и (6.3) получаем условия Коши-Риманааналитичности комплексной функции w(z) = ср + /ф комплексногоаргумента z = х + г'уЭф/Эх = Эф/Эу, Эф/Эу = - Эф/Эх.(6.4)Мнимая и действительная части производнойdw/dz = w'(z) = фх + /фх = и - /Vопределяют компоненты вектора скорости несжимаемой жидкости.Комплекснаяскорость,комплексныйпотенциал.Функцию dw/dz называют комплексной скоростью, a w(z) комплексным потенциалом.
Заметим, что если рассматривать z какфункцию потенциала wz = х + iy = F(w) = Р(ф + i\\i),то производной этой функции dz/dw отвечает вектор, одинаковонаправленный со скоростью v и имеющий длину 1/1v | :dz/dw =l/w'(z) = l/(u —/V) = (u + cv)/'(u2 +v2) = v/1 v | 2.Каждая аналитическая функция w(z) = сp + /ф определяетсистему линий тока ф = const и изопотенциальных линий ф = constи тем самым устанавливает кинематическую картину некотороготечения жидкости.
Рассмотрим примеры комплексных потенциалов.1. Функция w(z) = а ■z, а - вещественное число. Так как26ср + /ф = ox + iay,то линиями тока являются прямые параллельные оси Ох. Данныйпотенциал описывает течение с постоянной скоростью u = a, v = О,направленной вдоль Ох.2. Функция w(z) = а ■z1, а е R.ф + /ф = а(х + /у)2 = а(х2~у2) +2а/ху.Линии тока есть ф = 2аху = const - гиперболы. Этот потенциалописывает потенциальное обтекание прямого угла.3. Источники и стоки. Рассмотрим течение с комплекснымпотенциаломw(z) =2 тсInz .(6.5)Для потенциала ф и функции тока ф имеем представленияЧ .Ф = —-//7г,ф = Ч—..argz,2п171где г = (х2 + у2)12, argz = arctg(y/x). Частицы движутся вдоль линийтока у = Сх с радиальной скоростью ur = Эф/Эг = q/2ra\ Здесьq = 2лшг - это расход жидкости через окружность радиуса г. Приq > 0 данный комплексный потенциал определяет течение отисточника, а при q < 0 - течение типа стока.
Величина q называетсятакже мощностью источника или стока. Если в точках плоскостиZ = Z\, Z = z2,..., z = z„, находятсяисточники или стоки смощностями q\, q2,..., дп, то комплексный потенциал течения, имисоздаваемого, выразится функцией1"Уw(z) = —qk К z - zk).(6.6)2л ых4. Диполь. Рассмотрим комбинацию источника и стока смощностью q и -q, расположенных в точках z\ и z2, соответственно.Тогда суммарный комплексный потенциал такого течения имеетвидw(z)= ~[ ln ( z - z i) - ln ( z - z 2)].2п27Пусть Iz2 - z\ | = 5s—>0, a q -» со таким образом, что произведениеq ■ 5s = М остается постоянным.
Переходя к пределу, получаемпотенциал диполя, находящегося в точке z t:М -е ‘аw(z) = (6.7)2n (z - z jВектор, соединяющий точки z2 и г, и направленный от стока кисточнику, называется осью диполя. Величина М называетсямоментом диполя, а а задает угол наклона оси диполя к осиабсцисс.Линии тока расположенного в точке z\ = 0 диполя с осью,направленной по оси абсцисс (а = 0), представляют собойсемейство окружностей, проходящих через точку 0 и имеющихцентры на оси ОуX2 + (у - с)2 = с2.При а Ф 0 картина линий тока получается из данной поворотом наугол а.Для нескольких диполей, расположенных в точках zK,потенциал течения имеет видw(z) = -У . м к-е '\/(z - zk).(6.8)2л- ш5. Точечный вихрь. Комплексный потенциал этого теченияимеет видw(z) = ---- Inz = -----(lm + i argz).2m2mЛегко видеть, что линиями тока являются окружности г = const, а Гсовпадает с циркуляцией вектора скорости, вычисленной поконтуру, охватывающему z = 0.
Потенциал системы п вихрей равенсумме соответствующих потенциалов1 ^w(z) = — X r K/« (z -z k).(6.9)2л/ t tВихри могут перемещаться в жидкости под влиянием другихвихрей.28Движение системы точечных вихрей. При описании этогодвижения постулируется, что каждый вихрь движется с той жескоростью, которую индуцируют остальные вихри в данной точке.Это дает систему уравненийd z ,/d t = ~ У r k/ ( z , - z k) (/ = 12т кыдля zi(t). Для комплексной скорости движения /-го вихря получаемсоотношениеd z j d t = — Y \ r k /(z i(t)-Z k (t) ) . (l= \,...,n )(6.
10)2я- t !Система уравнений (6.10) определяет движение п вихрей. В общемслучае она допускает интегралы:а)У / у , (/)= М = const;b) 's) ' r i\zl (/)| = I = const;/=i/=iс) ^ Г^Г) ln|zt (/) - zt (/)| = И = const.к *1Доказательство. Первый интеграл получается, если систему(6.10) умножим на Г/ и просуммируем по /. Имеем равенствоdz, / d t= —i2к i ыв правой части которого все слагаемые попарно сокращаются. Изполученного соотношения вытекает, чтоПУ r izl(t)= М = const./=iДля доказательства соотношения Ъумножим (6.10) на Г, z/(7)и просуммируем по /:27fdt - 2nf ,i(«■»)ы z ,- z kIn T ы z, - zkПоследнее равенство следует из того, что суммирование по I и кдает члены, отличающиеся только знаками. Поэтому29I - 1iziу у^Д2/ 2к)Л Шz, zki кф1 z, zkУчитывая го, что в правой части равенства (6.11) стоит чистоВ -, dz I,zt — } = 0, а в качестве/ ' dtследствия - соотношение Ь.Умножив (6.10) на T ,d zi(t)/d t и просуммировав по /,ту уполучим равенствоy j, dzj_ dz^ _idti у у 1, Г, (z, - zk) dz, _dt\ z , - z kfdt= _i_ y r kr i(zi ~ zk) i/(2л k*i jz , - z k\2dtЗаметим, что при вычислении действительной части обеих частейпоследнего равенства слева получается нуль, а справа производная от Н по t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
