1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Находим скачок нормальногонапряжения, умножая (2.4) слева на п,p = p0 + 2 p .n -D -n + 2аК.Умножая динамическое условие (2.4) слева на s,получаемравенство нулю касательных напряженийО= 2ps • D • п.а) Если жидкость идеальная (р = 0), то получаем формулуЛапласар = р0 + 2аК,(2.6)где 2стК - капиллярное давление;б) Если ст = 0, го динамическое условие на свободнойповерхности сводится к равенству давленийр = р0 .(2.7)14Отметим, что при решении задачи со свободной границей мыне определяем скорость газа.
Поэтому из трех условийнепрерывности вектора скорости при переходе через Гсодержательным является лишь одно: v ■ n = Vn, хеГ. В случаесвободной границы п обозначает единичный вектор нормали кповерхности Г, внешней по отношению к области, занятойжидкостью. Таким образом, кинематические условия на свободнойгранице в идеальной и вязкой жидкостях совпадают. Еслисвободная граница задается уравнением х3 = F(xi,x2,t), токинематическое условие имеет видv3 = 5F/3t + v,5F/5xi+ v2cT7<9x2.(2.8)§ 3. Уравнения для вихря и функции токаУравнениям Навье-Стокса6'v/ot + (v • V)v = - Vp /р + vAv + f,diw = 0,можно придавать другие формы,в частности формуГромеки-Ламба. Введем в рассмотрение вектор со = rotv, которыйназывается вектором вихря.
Воспользуемся формулами векторногоанализа(v • V)v = со х v + V(v2/2); Да = V(V • а) - rot rot а,тогда получаемdv/dt + V(v2/2) + fflxv = - Vp /р - v rot со + f.Вводя функцию FI = р/р + v272, получаем уравнения Навье-Стокса вформе Громеки-Ламба:dv/dt + со х v = - VH - v rot со + f,diw = 0.(3.1)Уравнение Гельмгольца переноса вихрей. Вычислим rot отобеих частей этого уравнения. Тогдаdco/dt + rot(co х v) = - v rot rot со + rot f,ибо rotVH = 0.
Поскольку diw = 0 и div rotv = 0, то формулавекторного анализаrot (a x b) = a div b - b diva + (b • V)a - (a • V)bдает равенствоrot (со x v) = (v ■V)co - (со • V)v.15Используя соотношение rot rot® = - Лео, получаем уравнениеГельмгольца переноса вихрейda/dt + (v • V)co - (со • V)v = vAco + rot f.(3.2)Отметим, что если массовая сила f потенциальна, то rotf = 0.Функция тока для плоского течения. В случае двумерных(плоских) течений, когда вектор скорости имеет вид v= (vb v2, 0), аvu v2 не зависят от координаты х3, получаемI' jk|со = rot v = ! д/дх] д/дх2д/8х3 \ = (0,0, дх2/дх] -dv\/dx2).| vj v2 0 |Здесь ©з = ю = dv2/dxt - dv\/dx2 - единственная ненулеваякомпонента вектора вихря.
Уравнение неразрывности в плоскомслучае принимает видdvi/dxi +dv2/dx2= 0,поэтому можно ввести функцию тока у(хьх2Д):V! = дц)/дх2, v2 - -д\у/дх\.В результате преобразуем уравнение Гельмгольца к видуday/dt +/дх\ + v2dco /дх2 - vAco.Используя то, что со = д \2/дх\ -д\\/дх2 = - А\(/, уравнение дляфункции тока плоского течения вязкой жидкости записывается ввидеа д ^ + а Е а д ^ _ э Е ад»: = 1/ДД!1/(33)dtдх2 дх{дх] дх2Функция тока для осесимметричного течения. Функциютока вводят и при описании осесимметричного течения жидкости,когда картина течения одна и та же в любой плоскости, проходящейчерез ось z. Здесь удобно использовать цилиндрические координаты(r,0,z):Xj = г ■cosG, х 2 = г • s in 0 , х 3 = zи соответствующие компоненты скорости vr, v0, vz.
Течениежидкости осесимметрично, если v0= 0 и vr, vz не зависят от угла 0. Вэтом случае уравнения Иавье- Стокса имеют видdvjdl + v, 5vr/5r + vzdvjdz = - ( l/p)5p/5r + v (Arzvr - vr/r2) + fr,dyjdt + vr dvz/dr + \ zd\’Jdz = -(l/p)5p/0z + v Arzvz + fz,(3.4)16dvjdг + vr/r + dvjdz = 0.Здесь оператор Лапласа Arz = д2/д г + 1/г д/дг + (д/дт2. Используяуравнение неразрывности в дивергентном виде5(rvr)/3r + <9(rvz)/Sz = 0,вводим функцию тока vf/(r,z,t) осесимметрического теченияжидкости:1 ду/1 ду/г dzг drvr = ---- — , vz = ------- — .Уравнение Гельмгольца переноса вихрей в осесимметрическомтечении запишется в видедсоd(v со)dd{v,co)(vm )А , ч---- + ->- '+ - V г..—= у г 1А0(гео).(3.5)dzdtдгЗдесьdvr dvz(3.6)О) = СОоГ~ Ао Ц1,dzdrа А0 = д2/дг2 - 1/г д/дг + С'!д'Г.
Подстановка соотношения (3.6) вуравнение Гельмгольца (3.5) дает уравнение для функции тока~~~ +г(/-_2 ~ Л оИ - г ~ ( Г 2Д0^ ) = vA0А0у/ (3.7)отordzdzдгпри осесимметрическом течении вязкой несжимаемой жидкости.§ 4. Уравнения движения в безразмерных переменныхГидродинамическое подобие. Вопрос о подобии теченийжидкости в гидродинамике важен потому, что зачастуюэкспериментальные исследования могут быть проведены только смалыми моделями конструкций (например, гидродинамикакораблей, самолетов).
Оказывается, что, изучая движение жидкостиоколо геометрически подобных тел, мы при определенномсоотношении других параметров получаем гидродинамическиподобные течения. Геометрического подобия недостаточно дляполного моделирования явления. Необходимо еще выдержать ифизическое подобие, переходя к другой среде, имеющей другие17характерные физические параметры. Итак, модель должна бытьподобна натуре геометрически и физически.Интересующие нас важные характеристики течения, такие каксила сопротивления или подъемная сила, могут зависеть только откомбинации параметров задачи, достаточно просто вычисляемой спомощью преобразований подобия, если они известны для одноготечения из класса подобных.Введем характерную для течения скорость V и характернуюдлину L.
Тогда характерное время будет задаваться масштабомТ = L/V. Сделаем замену переменных, вводя безразмерныевеличиных = Lx', v = Vv', t = Тт, f = g f , p = pV2p',и запишем в безразмерном виде уравнения Навье-Стокса:dx'Idi' + (v'-V')v' = - V'p' + (v/VL)AV + (gL/V2) f .(4.1)Введем в рассмотрение Re = VL/v - число Рейнольдса, и Fr = V2/gL- число Фруда. Тогда система уравнений Навье -Стокса вбезразмерных переменных примет следующий вид:д\!д\ + (v-V)v = - Vp + ——Av + — f.(4.2)ReFrИз системы (4.2) следует, что с точностью до подобия течениеопределяется параметрами Fr и Re.Критерии подобия течений. FlycTb есть два течения,определяемые характерными размерными величинами V), Lb vb рьgi и V2, L2, v 2, p2, g2, характерными числами РейнольдсаRe, = V]Li/vb Re2 = V2L2/v2 и Фруда Fr, = Vf/giL,, Fr2 = V22/g2L2. Изсистемы (4.2) следует, что два течения весомой вязкойнесжимаемой жидкости около геометрически подобных телявляются подобными, если Re; = Re2, Frj = Fr2.Мы получили критерий подобия двух течений.Условия равновесия жидкости.
Если скорость жидкостиv = 0, то говорят, что жидкость находится в покое. Из уравненийдвижения (2.1) получаем условия равновесияVp/p = f,из которых вытекает, что внешняя массовая сила должна бытьпотенциальна f = -УП. Интегрируя, находим распределениедавления в жидкостир = - р П + const.(4.3)При f = 0 уравнения равновесия сводятся к закону Паскаляр = const.(4.4)С использованием условий равновесия выводитсяЗакон Архимеда. На тело, погруженное в покоящуюсятяжелую жидкость, со стороны жидкости действует выталкивающаясила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом:R= -JJ*Jр n dcr =рУП dQ = - g pdfi= - gpQ.innРавновесие на границе раздела двух жидкостей.Рассмотрим границу раздела двух несмешивающихся жидкостей.При равновесии в каждой из них выполнено условие (4.3):р, = - р,-П,+ С, (/ = 1,2)и условие (2.4) на границе раздела:[Р • п] = 2аКп.Так как при0 тензор скоростей деформаций обращается в нуль,а тензор напряжений совпадает с шаровым (Р, = - р, I), получаемравенство2аК = [рП].Из этого равенства, используя для К представление (2.5), получаемдифференциальное уравнение, определяющее форму равновесияповерхности раздела в потенциальном поле внешних сил:aV2-[V2F /(l+ 1V2F 12)‘/2] = PiII|(x,,X2,F ) +C2-p2n 2(xbx2,F ) -C,.
(4.5)Пример. Определить высоту поднятия h весомой жидкости,при ее контакте с вертикальной стенкой. Краевой угол междусвободной поверхностью и стенкой равен 8.Решение. Выбираем оси координат указанным на рисункеобразом. При этом у = О задает плоскость стенки, а z = Осоответствует положениюсвободной поверхности набесконечности. Интегрируяуравнение равновесия9p/9z = -pg,находимраспределениедавления в жидкостиv,=19p = C ,-p g z .(4.6)На границе раздела справедлива формула Лапласа (2.6)р = р0 + 2стК = p 0- a ( l / R 1+l/R2),(4.7)где Ri и R2 - главные радиусы кривизны поверхности.Из формул (4.6) и (4.7) получаем соотношениеРо = С, - pgz + c (1/R i+ 1/R2),где С] = ро в силу условий при у-->оо .Если z = z(y) - уравнение свободной поверхности, токривизна К вычисляется по формуле (2.5) в виде2К = (z7(l + z/2),/2y = z/y/( 1+ z/2)3/2.Уравнение равновесия (4.6) сводится к обыкновенномудифференциальному уравнению относительно z(y);pgz = az'7(l+ z,2)3/2.(4.8)Умножая соотношение (4.8) на -ъ и интегрируя его в пределах оту до со, понижаем порядок уравненияpgz2= 2a ( l - ( 1+ z V 2).В точке у = 0, используя заданное значение краевого угла, имеемpgh2= 2a(l - (l+ctg20)'1/2),В итоге определяемh2 = 2ст(1 -sin0)/pg.(4.9)20Глава 2.
ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОМ ЖИДКОСТИ§ 5. Вихревые и потенциальные движенияОпределение 1. Движение идеальной жидкости называетсявихревым, если вектор вихря скорости о = rot v Ф0.Определение 2. Движение жидкости называется безвихревым,если в каждой точке среды выполнено условиесо = rot v = 0.(5.1)Условие (5.1) равносильно существованию потенциаласкоростей cp(x,t); Vcp = v.Определение 3.
Кривая, касательная к которой совпадает снаправлением векторного поля, называется векторной линией.Определение 4. Векторная линия поля скоростей называетсялинией тока и находится из дифференциальных уравненийdx|/vj = dx2/v? = dx3/v3.Определение 5. Векторная линия поля вихрей называетсявихревой линией и находится из дифференциальных уравненийdx)/coi = dx2/ffl3 = dx3/©3.Кинематические и динамические свойства вихрей.Циркуляцией скорости по замкнутому контуру у называетсявеличина Г = q vdx.гЗдесь vdx = udx +vdy + wdz. Величина циркуляции /"характеризуетинтенсивность вихрей в жидкости. По формуле СтоксаГ = (j* vdx = JJVot v • nds,Гcrгде a - поверхность, натянутая на контур у.
Отсюда видно, что еслитечение безвихревое и rotv = 0, то циркуляция Г - 0.Вихревые линии, проведенные через замкнутый контур,образуют вихревую трубку. Интенсивностью вихревой трубкиназывается ||г о / v-nds. В силу формулы Стокса, эта величина(721совпадает с циркуляцией скорости по контуру, лежащему наповерхности трубки и охватывающему ее.Теорема Томсона о циркуляции скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
