1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В итоге получаем интеграл Н = const.Пример, Рассмотрим движение двух (п = 2) точечных вихрей.Согласно доказанному выше, система уравненийd z j d t = —~—Г2/( z\ —z2),2лдопускает три интеграла:a) F,z,(/) + T2z 2(t) = const;с)dz2/d t = — Г]/( z2- z()."2л(6.12)b) Г,jz,(/)|2 + r 2|z2(/)|2= const;Г,Г’2 lnjz, ( t ) - z 2(t)[ = const.При Ц + Г2 ф 0, первое равенство дает интеграл движения центраинерции системы двух вихрей( Г,д, (/) + Г2г2i t ) )/(Г, + Г2) = zc= const.Он показывает, что точка zc, называемая центром инерции системывихрей, остается неподвижной во время движения.Интеграл b означает, что сумма моментов инерции « м а с с »Г/ относительно начала координат не меняется с течением времени.30Третий интеграл дает равенство |z,(/) —z2(t)j = const, изкоторого вытекает, что в процессе движения двух вихрейрасстояние между ними остается постоянным. В итоге заключаем,что два точечных вихря вращаются вокруг центра инерции ссохранением расстояния между ними.Рассмотрим два вихря одинаковой интенсивности Г] = Г2 = Г,расположенных в начальный момент времени в точках z, = - z, нарасстоянии |z2 - z, j = 2 .
Эти равенства выполняются и при t > 0, и,следовательно, вихри движутся по окружности радиуса 1 вокругначала координат. Полагая z2= е'0, из выражения для комплекснойскорости второго вихряc/zn / dt = — r/(z2 - z{),Ъйполучаем дифференциальное уравнениеdO I dt= 174л.для определения 0(t) и как следствие закона движения вихрей.Покажем, что два вихря с одинаковыми по модулю, нопротивоположными по знаку интенсивностями Г, = — Г2 будутдвигаться параллельно друг другу. Действительно, так какZj -Z2= const,\zx{t)\ —|z2(/)| = const, то выбором системыкоординат можно добиться, чтобы xj - х2 = 0 при у, - у2 - 8 = const.Интеграл b дает равенство yj + у2 = const. Переносом системыкоординат вдоль оси у можно получить у] + у2 = 0.
Из уравненийдвижения системы двух вихрей (6.12) следует, что вихри движутсяпараллельно друг другу с одинаковыми скоростями.dxx/ dt = dx2 1dt = Гi/lnh, dyx/ dt = dy21dt = 0.Определениерасходаициркуляции.Дляплоскопараллельноготеченияжидкостискомплекснымпотенциалом w(z) выведем формулы для циркуляции Г и расхода Qжидкости через замкнутый контур L.
По определению,Г= (j" vdl = (judx+vdy,Q = cj" v-n dl = cj"~ vdx + u dy.Вычисляя интеграл от комплексной скорости v = dw/dz позамкнутому контуру L, получаем связь Г, Q и dw/dz:<j'vdz = (j(u -h ’jidx+id)) = <j"udx+vdy +i <j”- vdx + ady = Г + /Q././.LLЕсли dw/dz имеет регулярные особые точки во внутренностиконтура L, то по теории вычетовп'vdz = 2ni ^ Ак .4=1iЗдесь А,: - вычеты функции v внутри контура L. Выделяявещественную и мнимую части каждого вычета АК = ак + /pk,находим выражение циркуляции скорости Г и расхода Q черезвычеты комплексной скорости:Г = - 2 7 г£ А ,Q =2п^ак.4=1(6.13)4=1В частности, для комплексного потенциала системы пвихрей и источниковw(z) =2тгEqk /n(z-Zk) + - - т ЕГК1п(/ - zk)2,7Пполучаемг - i n ,4= 1q=ё*4=1§ 7.
Плоская задача потенциального обтеканияПостановка задачи. Пусть задано конечное тело Q сграницей а. Требуется найти аналитическую вне Q функцию w(z)(комплексный потенциал), удовлетворяющую условиямlim dw/dz = U « , Im w | a = const.Z-»QOЗдесь U« = и» + /vM, a v„ = (uM, v j - заданный постоянный векторскорости жидкости на бесконечности. Второе из сформулированных32условий эквивалентно выполнению условия непротекания жидкостиv„ = 0 через поверхность о.Обтекание кругового цилиндра. При решении плоскойзадачи об обтекании кругового цилиндра безграничной жидкостьюбудет использоваться следующаяТеорема Милн-Томсона (об окружности). Пусть во всейплоскости задано течение, описываемое потенциалом f(z), всеособые точки которого лежат за пределами круга \г \ - а . Если в этотечение внести твердый круговой цилиндр радиуса а с центромz = 0 кругового сечения, то комплексным потенциалом новоготечения будетw(z) = f(z) +7 0 2/z),где7 (z) = / (z ).Доказательство.
На поверхности цилиндра z = ае'°, z - ас ,0 == a2/z, поэтому 1пт(ае'в) = Im[f(z) + f ( z ) ] = ip = 0, ибоf( z )+ /(z ) = f(z) + / (z) = 2Ref( z ).Поэтому окружность - линия тока. Поскольку все особыеточки функции f(z) лежат вне круга | z | = а, то особые точки f(o2/z)лежат внутри круга \z \= а, поэтому f(z) и f(z) + / (a2/z) имеютодни и те же особые точки.Применим эту теорему к течению жидкости с заданнойпостоянной скоростью Уоо —(Uoo ,Voo) и комплексным потенциаломГ(/) = V, z. После внесения кругового цилиндра радиуса а в поток,согласно теореме Милн-Томсона, комплексный потенциал новоготеченияw(z) = f(z) + / (a2/z) = vx z + vX!rT/zудовлетворяет условиям на бесконечности и на поверхностицилиндра.
Композиция равномерного потока и диполя задаетбесциркуляционное обтекание цилиндра (циркуляция скоростивокруг цилиндра равна нулю по теореме о вычетах). Если к немудобавить чисто циркуляционное течение с потенциаломГWi(z)= — Inz,2т33то, очевидно, условие на бесконечности и граничное условиенепротекания жидкости vn = 0 на границе тела не нарушатся.Комплексный потенциал—,Гw(z) =vMz +/z + ---- Inz(7.1)2mописывает циркуляционное обтеканиецилиндра потокомнесжимаемой жидкости, имеющей на бесконечности постояннуюскорость ту .
Рассмотрим для простоты случай, когда vm = туявляется вещественным числом (этому условию всегда можноудовлетворить за счет поворота системы координат). Найдемсопряженную скорость течения V, дифференцируя потенциал w(z):Yv = dw(z)/dz = Voo - Voofl2/z2 + ----- .(7.2)2 rnzЧтобы проанализировать картину линий тока, найдем критическиеточки течения, в которых скорость потока равна нулю ( v= 0). Ихкоординаты определяются через корни квадратного уравнения9Гг2v*z" + ------- v„ а = О,2тВозможны три случая расположения корней34Z\ = /Т/(47iv№) ± л/ D . где /) = (F/47ivT)" - <r.1) D > 0. Оба корня мнимые (критические точкирасполагаются на мнимой оси). Так как | z\ | • | z21= </, то одинкорень лежит внутри цилиндра, другой - за его ггоеделами.
Линиитока имеют вид, изображенный на рисунке а2) D = 0 или | Г | = А%ау „. Тогда единственная точка, вкоторой v= 0 принадлежит окружности, а линии тока имеют вид,изображенный на рисунке б3) D < 0. Оба комплексных корня лежат на окружностиI z 1з I = а. Исходящие из них линии тока разделяют верхнюю инижнюю части потока (рисунок в ).В общем случае скорость жидкости в верхней и нижнейчастях будет различной, а значит, различно давление. Вычислим Xи Y - составляющие результирующей силы, действующей нацилиндр.х =- |р cos(n, x)ds = -р cosGds,Y=- |р cos(n, y)ds = -р sinGds.где п - направление внешней нормали, 0 - центральный угол,удовлетворяющий соотношениямcos(n, х) = cosQ, cos(n, у) = sinG, ds = nd0.35a ds - элемент дуги кругового контура.Давление р на поверхности находим из интеграла Бернулли(5.6), который в отсутствие внешних сил примет видр - рос - pvs3/2 + pvx2/2.(7.3)Здесь рэд vK - постоянные давление и скорость жидкости набесконечности.
В силу формулы (7.3)2лХ = УграJ vs2cos0d0,2кY = УграоJ vs2sin0d0.(7.4)оНа поверхности цилиндра (z = ае‘°)dw/dz = vx, (1 - ехр(-2/0)) + Г ехр(-/'0)/2л/'а,поэтомуvs = | dw/dz | s = 2v„sin0 - Г/2па.Парадокс Даламбера. Подставляя найденное значениескорости vs на контуре в выражение (7.4) и интегрируя в пределахот 0 до 2п, получаем равенствоX = 0,(7.5)означающее, что на обтекаемое тело сила в направлении вектораскорости набегающего потока не действует. Отсутствиесопротивления при обтекании тел идеальной жидкостью называетсяпарадоксом Даламбера.Теперь вычислим Y-ю составляющую силы.
Поскольку2п|02пsin20d0sin0 = -|2к(1 - cos20)d(cos0) = 0;0J sin20d0 = л,отоY = - pVocT.(7.6)Мы показали, что поступательный циркуляционный потококазываетна телосиловоевоздействие,направленноеперпендикулярно к скорости потока в бесконечности. При Г > 0,Y < 0, а при Г < 0, Y > 0. В обоих случаях нужно повернуть напрямой угол навстречу циркуляции вектор скорости потока набесконечности, чтобы получить направление результирующего36вектора силы R = (X,Y). Возникающая сила R называется силойЖуковского или подъемной силой.Обтекание контура произвольной формы. Эту задачуможно свести к задаче обтекания кругового цилиндра применениемметода конформного отображения.В плоскости переменного z = х + /у рассматривается контур упроизвольной формы обтекаемый потоком, имеющим набесконечности постоянную скорость vOT.
Пусть D - внешностьконтура у. На вспомогательной плоскости переменного С, = 2, + ir\рассматривается Dj - внешность круга радиуса R с центром вначале координат.Области D, D| можно конформно отобразить одна на другуюс помощью аналитических функцийz = f(Q, C = F(z).По теореме Римана это отображение определяетсяединственным образом, если потребовать выполнения условийf(oo) = ОО и f ;(со) = К > 0.Функция f(Q голоморфна (т. е.
не имеет особых точек) вобласти D| всюду, за исключением бесконечности. Поэтому онаразлагается в ряд Лорана видаf(Q = k^ + k0+k1/C + k2/C2 + ...В окрестности бесконечно удаленной точки функция F(z) такжеразлагается в ряд Лорана37F(z) = lz + l0 + /,/z + /2/z2 + ...Этот ряд является обращением предыдущего ряда z = f(C) = f(F(z))= k(/z + /п + l\/z + /2/z2 + ...) + ко + + к]/( /z + /о + /]/z + /2/z“ + ...) + ...,поэтому его коэффициенты можно выразить через к, к0, к),....к/= 1, к/0 + к0 = 0, /] = - к ц .....В задаче о безотрывном обтекании контура у комплекснуюскорость на бесконечности представим в виде vOT = [ | е'а.( v M = I v®I е 'и ~ комплексно-сопряженная скорость).
Подставив вкомплексный потенциал теченияw(z) = ф(х,у) + др(х,у).(7.7)f(Q вместо zvv(z) = w(f(Q) = W(Q = Ф&Л) + ЛЩ,Л),получим потенциал течения в плоскости С,. Так какdW _ dw dz~dc ~~' ~cic ’TOdWKV.dCПолучаем, что с одной стороны, в бесконечно удаленных частяхплоскости ^ имеется поступательный поток со скоростьюkvoc = к | \'т| е'“.
С другой стороны, в соответствующих точкахплоскостей z и С, имеет место равенствоТ(х,у) = Т/(^(х,у),р(х,у)),и, в силу того что \|/1 у = const, на контуре кругового цилиндравыполняется условие 471yI = const. Поэтому W(Q задает потенциалобтекания круга радиуса R, расположенного в плоскости потокомжидкости, имеющим на бесконечности скорость к\'ю. Он намиполучен ранее с использованием теоремы Милн-Томсона обокружностиW(Q = k ^ C + kv»R2/C + ^ /H C 2тПодстановка £ = F(z) дает искомый потенциал обтекания профиля у:38(7.8)w(z) = к v MF(z) + kv,» R2/F(z) + —-—lnF(z).2mРешение уравнения (7.8) зависит от произвольной постоянной Г,определяющей циркуляцию по контуру у.
Для гладких профилей еенадо задавать дополнительно. Если радиус R задан, то копределяется однозначно и, наоборот, по заданному к находится R.Профили крыльев, применяющиеся в авиации, имеют оструюкромку. В общем случае при произвольных значениях циркуляцииГ скорость в точке А неограничена, за исключением одногосовершенно определенного значения Г, при котором скорость вост рой кромке конечна.Постулат Кутта-Жуковского. При стационарном обтеканиипрофиля острой кромкой реализуется значение циркуляции Г,обеспечивающее конечность скорости в острой кромке А.Определим это значение циркуляции Г для контура у,имеющего острую кромку А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
