1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эти силы наповерхности бсо, задают вектор напряжения р„. Поверхностныесилы, действующие на объем со со стороны окружающей жидкости,вычисляются в видеF е(со) = } pnda.<Эсо,Полные сила и момент сил, действующие на объем со, задаютсяформуламиF (со) = F i(co) + F е(со) =р fdco + \ p„da,J})S(fl>JG(co) =Gj(co) + G e(co) =Jp(xxf)dco + j (xxpn)da.Jf)3m>Перейдем к законам сохранения. Докажем важную теоремупереноса. Будем называть движение непрерывным, если v(x,t),p(x,t), p(x,t) и другие характеристики движения непрерывнодифференцируемы.Теорема переноса.
Пусть движение жидкости непрерывно,со, - произвольный жидкий объем, а F(x,t) - произвольная функция(скалярная или векторная). Тогда имеет место формула— J Fdco = j (dF/dt + F div v) dco.(1.2)dt в,о,,Доказательство.Винтегралеосуществимзаменупеременных переходя к лагранжевым координатам х01, х02, Хо3. Таккак det(5x/3x0) = J , то7I Fdw =JF Jdcoo(®0 = со, | ,=o).Тогдаd 'd— f Fdco =dt щdt \(JdF/dt + FdJ/dt)dro0 == [ J(dF/dt + Fdivv)dcoo = J (dF/dt + F divv) dco.®oи'Законы сохранения. Постулируем закон сохранения массы:масса жидкости в объеме со, неизменна во все время движения-г \ pdco =0.(1-3)dt и,В непрерывном движении, используя теорему переноса, получаем(F = р)J (dp/dt + р divv) doo = 0,и, в силу произвольности объема cot, приходим к уравнениюнеразрывностиdp/dt + р divv = 0.(1.4)Для модели однородной несжимаемой жидкости (р = const) этоуравнение упрощаетсяdivv = V*v = 0.Умножим уравнение (1.4) на J и воспользуемся формулойЭйлера.
Тогдаd(pJ)/dt = 0,откуда следуетpJ =РоЕсли р = р0 = const, то J = 1. Эго аналог уравнения неразрывности влагранжевых переменных.Из уравнения (1.3) вытекает закон сохранения массы дляфиксированного объема Q: скорость изменения массы вфиксированном объеме Q равна потоку массы через границу сЮ:— j pdco = - } pnvdcr,аеп(1.5)8где n - единичный вектор внешней к объему Q нормали.Закон изменения количества движения гласит, что скоростьизменения количества движения в жидком объеме ю, равнарезультирующей всех сил, дейс твующих на этот объем жидкости:d( 1.6)j pv dcodtИспользуя теорему переноса, для непрерывных движений получаемdI pv dco = } (dpv/dt + pv divv) dco j" pdv/dt dco.dt®tИз законов сохранения вытекает, что в области сосуществует такое тензорное поле тензоров 2-го ранга Р, что вкаждой ее точке вектор напряжений р„, действующий на любуюплощадку с нормалью п, дается формулой р„= Р(п).
Тогда из закона( 1.6), учитывая, чтоJ р„ da = J div Pdco, получаем5® to it)J pdv/dt dco = J (pf + divP)dco.“toXDВ силу произвольности cot, получаем дифференциальное уравнениеимпульсовpdv/dt = pf + divP.(1.7)Из уравнения (1.6) следует закон сохранения количествадвижения для неподвижного объема: скорость измененияколичества движения в фиксированном объеме Q равнарезультирующей всех сил, действующих на объем плюс скоростьпритока импульса через его границу:— | pvd© - { pf dco + J (p„ - p v (n v ))d a.( 1.8)^ nnsnНаконец, закон сохранения момента количества движениягласит, что скорость изменения момента количества движенияжидкого объема со, равна главному вектору моментов всех сил,действующих на этот объем:9d_dtJ p(x x v)do3 = J" p(x x f)dco + | (x x p„)dcj.® taXt)( 1.9 )5c° .Для фиксированного объема Q этот закон формулируется в видеJ р(х х v)dco = J р(х х f)dco + \ [(х х р„)-р(х х v)(n v)]da.
( 1. 10 )™пп8ПИтак, сформулировали интегральные законы сохранения.§ 2. Уравнения Навье-Стокса. Уравнения Эйлера. Начальныеи граничные условияТензор D = 1/2 (дх/дх + (дх/дх)*) или в покомпонентнойзаписи D,; = 1/2 (dxjdxs + дх1/дх,) называется тензором скоростейдеформации сплошной среды. Ньютоновские жидкости, поопределению, удовлетворяют приведенным ниже аксиомам.Аксиомы Стокса:1) среда однородна;2) среда изотропна, т. е. тензор напряжений Р - изотропнаяфункция тензора скоростей деформаций D;3) покоящаяся среда идеальна (Р = - pi);4 ) зависимость P(D) линейна.Из аксиом вытекает, чтоР = (- р + Xdivx)l + 2 liD,где А,, ц - постоянные коэффициенты вязкости, р - давление. Еслижидкость несжимаема (р = ро = const), тоdivx = 0.Система дифференциальных уравнений.
Используя этиравенства, преобразуем уравнение импульсов (1.7) к видуdv/dt + Vp/p = pAv /р + f.В итоге получаем систему уравнений Навье—Стокса, описывающуюдвижение вязкой несжимаемой жидкостиdv/dt + Vp/p = vAv + f,divx = 0.(2.1)Здесь v = yJp - кинематический коэффициент вязкости.10Неизвестными величинами являются компоненты вектора скоростиv и давление р, которые зависят от трех координат х и времени t.Модели движения идеальной жидкости соответствует v = 0.При этом уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлераdv/dt + Vp /р = f,divv - 0.(2.2)Начальные условия.
Для однозначного определениядвижения при t = 0 надо задать значение скорости во всем объеме,занимаемом жидкостьюV I t=o = v0(x).На границе этого объема задаются граничные условия. Будемрассматривать следующие три типа границ: твердая граница;граница раздела двух жидкостей; свободная граница.
Для моделейидеальной и вязкой жидкостей граничные условия на указанныхтипах границ различаются.Условия на твердой (жесткой) границе. В идеальнойжидкости (V = 0) на границе выполняется условие непротекания:v • n = V„,где Vn - скорость движения поверхности в направлении нормали п,а в вязкой жидкости - условие прилипания (скорость жидкостисовпадает со скоростью движения твердой границы):V|r = V0|r,где V0- скорость движения точки поверхности.Условиянаграницеразделанесмешивающихсяжидкостей. Рассмотрим границу раздела - поверхность Г,разделяющую две несмешивающиеся жидкости с параметрами рьVi, V;, fj, р2, v2, Vi , f? Предполагается, что Г является материальнойповерхностью (такие явления, как испарение или растворение,исключаются).
Отсюда получаем условия непротекания через Г:vr n = v2 n = Vrn.Это означает, что на поверхности раздела в случае идеальной ивязкой жидкости совпадают нормальные компоненты скорости. Длявязких жидкостей, кроме того, постулируется совпадениекасательных компонентvr s = vr s,11(s - любой касательный вектор). В последнем случае Vi = v2 на Г.2 гИспользуя закон сохранения количества движения, получаемусловия для напряжений на границе. При этом будем принимать вовнимание действие сил поверхностного натяжения. Выберемжидкий объем со, = coj U СО2 , содержащий участок границы у с Г.Пусть п - нормаль к Г, направленная из первой жидкости вовторую; ni - нормаль к £ 1; п2- нормаль к Z2; а вектор пг - внешняянормаль к линии ду, лежащей в плоскости, касательной к Г.Применим закон сохранения количества движения к объему сорd+dt 0)1(02cox0)2( I piV]doOi+ J p2v2dco2) = J pifidffl, + j p2f2d©2+J Pi ■ni d l| + J P2• n2 d£2 + J cr • nr d /.S2dyПоследнее слагаемое появилось из-за учета силы поверхностногонатяжения (капиллярная сила), сосредоточенной на ду иоказывающей сопротивление деформациям границы раздела; d/ элемент дуги кривой ду.
Коэффициент поверхностного натяженияобозначен через о. При обычных давлениях и температураха ~ Ю'МО'1н/м.12Поверхностное натяжение. Поясним природу силыповерхностного натяжения. На границе между двумя средами,находящимися в равновесии, можно определить поверхностнуюэнергию, пропорциональную площади поверхности раздела Г. Онасоответствует работе, произведенной силами на поверхности приизменении площади Г. Поверхностное натяжение проявляется втом, что на любую линию, проведенную на Г, действует вкасательной плоскости к Г сила величины о на единицу длины,направленная по нормали к этой линии.
Так как молекулыжидкости подвержены влиянию сил притяжения соседних молекул,то молекулы, находящиеся вблизи границ раздела, испытываютнесимметричное влияние молекул менее плотной и более плотнойжидкостей. На них действует сила, направленная от поверхностираздела в сторону более плотной жидкости, что равносильностягиванию поверхности Г. Поэтому искривленная поверхность всостоянии растяжения испытывает напряжение по нормали к ней.Будем для простоты считать, что а = const.
Теперь к уравнениюJ Р) • n dy и J Р2■n dy.импульсов прибавим и вычтем величиныГУПосле применения закона сохранения количества движения поотдельности к жидким объемам сщ и со2 получаем'\-J (Р| ■п - Р2• n) dy +| ст • пг d/ = 0.(2.3)удуПреобразуем интеграл по у к поверхностному по формуле Стокса| ст ■nr d/ = - J а ■nxd/ =дудуJ £//vr(cGr)dy.УЗдесь divr - поверхностная дивергенция, полученная изповерхностного градиента: Vr = V - n(n-V), а Gr = I - n®n фундаментальный тензор поверхности.
Напомним определениетензорного произведения векторов а, Ь:(а<8>Ь) - с = а • (Ь • с).Пример. Пусть Г - плоскость Ох,х2, п = (0,0,1), n V = 5/5х3,Vr = (Э/дхь б/3х2, 0), п с = с3, п (п • с) - (0,0,с3),13fan a]2 aI3] fcil fo 1fOOO]f 1 ОO](n®n) ■с = I а21a22 a2311c21 = I 0 \ n®n = | ОО ОI => Gr = I О 1 ОI .U3] a32 a33J fc3J fc3Jfo 0 ijfo 0 OjТаким образом, динамическое краевое условие перепишется в виде[Р • n] = a divrGr,где divrGr = Vr(I - n ®n) = - Vr (n ®n) = 2Kn, где К - средняякривизна поверхности Г.
В итоге получено динамическое условиена границе раздела[Р • п] = 2аКп.(2.4)Поверхность раздела находится в равновесии тогда, когда сила,вызванная поверхностным натяжением, компенсируется равной ейпо величине и противоположно направленной разностью междувекторами напряжений по обе стороны от поверхности раздела. Вобщем случае вектор напряжений при переходе через границураздела двух несмешивающихся жидкостей претерпевает скачок.Только при а = 0 обеспечивается условие непрерывности векторанапряжений.Если граница раздела задается уравнением х3 = F(xbx2,t), тосредняя кривизна границы вычисляется по формуле2К = V2 ■[V2F/( 1+1V2F 12)ш],(2.5)где V2 - градиент по переменным Х ],х 2.Условия на свободной поверхности (граница разделажидкость-газ). В газе давление считается равным р0, поэтомуР = —pol, а в жидкости Р = - pi + 2рЕ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
