1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Течение жидкости по наклонной плоскости.Слой жидкости толщины h ограничен сверху свободнойповерхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной подуглом а к горизонту. Внешнее давление воздуха равно р0.68Определим движение жидкости, возникающее под влиянием силытяжести.Выберем систему координат так, что ось х направлена понаклонной плоскости, а ось z - перпендикулярно к ней.Будем искатьрешение задачи, зависящее только от координаты z.Будем считать, что в жидкости нет перепада давления,тогда рх = 0.
Уравнения движения (11.1) в данном случае имеют вид0 = vuzz+ g • sina;(11.11)pz/p = - g ■cosa.( 11.12)На твердой стенке выполняются условия прилипанияи= 0при г - 0, а на свободной границе условия непрерывности векторанапряженийРх/ = - р = - р0, Pxz = pvuz = 0 при z = h,илиР<п> = - р0ппри z = h.Интегрируя уравнение (11.12), находим давлениер - р0 = р • g ■(h - z)cosa.Найдем скорость и, интегрируя уравнение (11.11):u = - g- z2 sina /2v + Az + В.Из граничных условий определяем В = 0, А - g/v • sina ■h. Тогдарешение имеет видu = g- (h - z /2) • z sina N .Найдем расход жидкости в полосе ширины к по направлению оси уи среднюю скорость жидкости.690 =kg sin a2v/kg sin a , ,3v(2h-z)zdz = .......— Ir«ер = Q/(kh) =g sin a h 23vДиссипация энергии.
Наличие вязкости в жидкостиприводит к диссипации (рассеиванию) механической энергии,переходящей в конце концов в тепло. Вычислим скоростьдиссипации энергии в вязкой несжимаемой среде. Полнаякинетическая энергия несжимаемой жидкости определяетсявыражениемЕки„ = рЯ V | 2сЮ/2.Вычислим производную кинетической энергии по времени. Дляэтого умножим уравнение движения вязкой жидкости ( 11.1)dv/dt + Vp /р = vAv + fна вектор скорости v. Приведем уравнениеd(’/ 21v 12)/dt + (v ■Vp) /р = vv ■Av + v ■fк дивергентному видуд(У2р | v 12)/dt +div[v(‘/ 2p Iv i2 + p)] = pv • f +pv • Av.Проинтегрировав это уравнение по объему Q, получимд/д\ j р !v 12dQ/2 = - | [v(p !v | 2/2+ р) - 2ц (v • D)] • nda +ПсП+ р | V- fd Q - | EdQ,(11.13)nnгде E = ц[2их2+ 2vy2 + 2wz2 + (vz + wy)2+ (uy+ vx)2 + (wx+ uz)2].Первое слагаемое справа определяет изменение кинетическойэнергии жидкости в объеме Q благодаря наличию потока энергиичерез поверхность этого объема 3Q.
Второе слагаемое определяетработу внешних сил. Третье слагаемое (взятое с обратным знаком)представляет собой уменьшение кинетической энергии в единицувремени, обусловленное диссипацией. Величина Е называетсядиссипативной функцией. Из уравнения (11.13) следует, чтодиссипация приводит к уменьшению механической энергии.Применим это соотношение в примере 4. На поверхности сЮv • п = 0 в силу граничных условий, поэтому первое слагаемое вправой части уравнения (11.13) равно нулю. Диссипативная70функция для нашей задачи имеет вид Е = puz2, гак как остальныеслагаемые равны нулю. В ы ч и с л и м диссипацию энергии в объемедлины I по направлению оси х, ш ирины к по направлению оси у:klp“g sin ап22klP2g sin а•| (h - z)2dz :3ВвоМожно вычислить работу силы тяжести (второе слагаемоеуравнении (11.13)) в этом же объеме:ЕсЮklp2g2sin2a h 3р J v • fdfl = klpg ■since J udz =p3nКак и следовало ожидать, при стационарном течении вязкойжидкости по наклонной плоскости разность между работой силытяжести и диссипацией кинетической энергии за счет силы тренияравна нулю.
Это означает, что при стационарном движениикинетическая энергия в слое вязкой несжимаемой жидкостисохраняется.§ 12. Обтекание сферы вязкой жидкостьюВ рассмотренных примерах движение описывается точнымирешениями уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Однакоточное интегрирование нелинейных уравнений удается выполнитьсравнительно редко. Большинство важных с точки зрения практикизадач динамики вязкой жидкости не поддается точному решению.При невозможности точного решения какой-либо проблемыосновные усилия обращаются на поиск приближенных методов еерешения.Рассмотрим задачу об обтекании сферы радиуса а потокомвязкой жидкости, имеющим на бесконечности постоянную повеличине и направлению скорость U. В задаче обтекания требуется,чтобы скорость жидкости v-»U при | х | -д-со.
Данными задачиопределяется число Рейнольдса Re = Ua/v.Приближение Стокса. Если число Re достаточно мало, томожно применить приближенный метод решения задачи(приближение Стокса), отбросив в уравнениях движения (2.1)71инерционные члены (v ■ V)v. Такая аппроксимация оправдана вобласти, где движение происходит с малой скоростью. При этомквадратичные инерционные члены имеют второй порядок малости.Пусть внешние силы отсутствуют (f = 0), тогда уравнения движенияимеют видрх = цЛи, ру '-= pAv, pz = pAw, их + vy + wz = 0.(12.1)Па поверхности сферы I должно выполняться условие прилипанияv I v = 0.( 12.2)Для определенности будем считать, что на бесконечности потокимеет направление, параллельное оси Ox: v—» | U | • / при j х | -»оо.Решение задачи (12.1-12.2) удобно искать в сферическойсистеме координат (г, 0, А.).
Пусть vr, v9, v, - компоненты вектораскорости в данной системе координат. Очевидно, что вследствиесимметрии движения относительно оси Ох, от которойотсчитывается угол 0, справедливы соотношенияvr = vr(r, 0), v6= v 0(r, 0), vx= 0, р = p(r, 0).Уравнения Навье-Стокса после отбрасывания в них инерционныхчленов примут видpr = \x((j"\rldx2 + l/r2d2vr/302 + 2/r d\Jdг + ctg0/r2 dvJdQ - 2/r2 3v0/39 - 2vr/r2 - 2ctg0/r2vo),r ' ‘po = p(<32v0/Sr2 + ( 1/r2^ vq/SO2 + 2/r dvjdr ++ ctg6/r25ve/90 + 2/r25vr/39 - ve/(r2sin20)),(12.3)d\\ld r + 1/r 9ve/50 + 2vr/r + vectg0/r = 0.Преобразованные граничные условия (12.2) на сфере имеют видvr(n,0) = O, v0(п,0) —0.(12.4)Кроме того, требуем выполнения условия на бесконечностиvr -»Ucos9, v6-> -U sin0 приг->оо.(12.5)Стокс заметил, что решение данной задачи можно найти методомразделения переменных.
Ищем решение в формеvr(r,0) = f(r)cos0, v9(r,0) ——g(r)sin0, p(r,0) = ph(r)cos0.Подстановка v„ v0, p в систему (12.3) дает три обыкновенныхдифференциальных уравнения для f, g, h:f h' =. f ' + 2 f It- 4(f-g)/r2,i h/r = g" + 2 g'/r+ 2(f-g)/r2,( 12.6)l / f + 2(f —g)/r = 0.72Из условий (12.4) и (12.5) вытекают следующие граничные условия:f(fl) = 0, g(a) = 0, f(°o) = U, g(oo) = U.(12.7)Из третьего уравнения (12.6) находим g:g = rf /2 + f,а из второго уравнения ( 12.6) находим h:h = r2f '' /2+ 3 rf'+ 2 f.В итоге первое уравнение (12.6) дает дифференциальное уравнениедля определения f:r ¥ 4) + 8r f " + 8r f ' - 8f = 0.Мы получили уравнение Эйлера.
Ищем его частные решения в видеf = rk. Уравнение для показателя к легко раскладывается намножителиk(k-2) (k + 1) (к + 3) = 0,что позволяет найти общее решениеf = А/г3 + В/г + С + Dr2,g = -A/(2r3) + B/(2r) + С + 2Dr2, h = B/r2 + 10Dr.Постоянные А, В, С и D определяем из граничных условий (12.7):D = 0, C = U, В = - 3Ua/2, A = Ua3/2.В итоге найдено решение задачи обтекания сферы вязкойжидкостью в приближении Стокса:vr(r,9) = Ucos9[l - 3/2 а/г + 1/2 (а/г)3],v0(r,9) = - Usin0[l -3 /4 а/г - 1/4 (а/г)3],р(г,0) = -3 pUa cos0/2r2Вычислим силу, с которой поток воздействует на сферу. Для этогонайдем напряжения, действующие на поверхности сферы:Рп = - Р + 2p9vr/5r, рг0 = ц( 1/г 9vr/90 + 9v6/9г - v9/r).На поверхности сферы vr = ve = 0, поэтому 5vr/99 = 0, dvQld0 = 0.
Изуравнения неразрывности получаем dvjdг = 0 при г = а. Формулысильно упрощаются при переходе на поверхность сферыРгг = -■ р = 3pUcos9/2a,pr0 = p3v0/9r = - 3pUsin9/2a.Формула Стокса. Ясно, что направление равнодействующейвсех сил, приложенных к элементам сферы, совпадает снаправлением потока на бесконечности. Поэтому величина этойравнодействующей определится формулой73V>кw = j{(pITcos0 - presin0)dS = j (pncos0 - presin0)27ttf2sin0d0 =оn= 3 л ц ш | sinGdG = 6т:(ilia(12.8)оМы получили формулу Стокса (12.8) для силы сопротивления, приобтекании сферы вязкой жидкостью справедливую при малыхчислах Рейнольдса (Re < 1).§ 13.
Теория пограничного слояПри описании движений вязкой жидкости при большихчислах Рейнольдса (Re » 1 ) часто используются приближенныеметоды решения уравнений движения. Казалось бы, в этом случаеможно получить очень хорошее приближение, целиком отбрасываяв уравнениях Навье-Стокса (2.1) члены, связанные с силамивязкости, пропорциональные коэффициенту кинематическойвязкости V. Однако в этом приближении получаются уравненияЭйлера движения идеальной жидкости, решения которых не могутудовлетворить граничным условиям прилипания к стенкам. Анализсложившейся ситуации привел Прандтля (1904 г.) к приближенномуметоду решения уравнений движения, который получил названиетеории пограничного слоя.АииИ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
