1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для мелкой воды эти скоростисовпадают:co = ( g- h)1/2-k,c = U = (g -h )1/2.Стоячиеволны.Рассмотримвзаимодействие двуходинаковых прогрессивных волн,распространяющихсявпротивоположных направлениях. Сумма потенциалов(pi = A(z) • sin(kx - cot), (f>2 = A(z) • sin(kx + cot)также является решением уравнения Лапласаср = ф] + Ф? = A(z)[sin(kx - cot) - sin(kx + cot)] = 2A(z) • sinkx • coscot.Свободная поверхность задается уравнениемг| = -ф/g | z=0= 2А(0)со • sincot-(sin kx)/g,(10.11)где постоянная 2A(0)co/g - амплитуда колебаний. Из формулы( 10.11) следует, что в каждый момент времени свободнаяповерхность представляет синусоиду, которая пересекает ось Ох вточках с координатами кх = птг.
Эти точки называются узлами.Волны вида (10.11) называются стоячими.Перейдем к рассмотрению скоростей и траекторий различныхчастиц жидкости. Вычислим проекции скоростиvx = 2A(z) • k • coskx • coscot, vz = 2A'(z) • sinkx ■coscot.Тогда уравнения движения частиц жидкости записываются в видеdx/dt = 2A(zo) • k • coskxo • coscot, dz/dt = 2A'(zo) • sinkx0 • coscot.Проинтегрировав эти уравнения, найдемх = Хо+ D • sincot, z = Zo + Е • sincot,где D = 2A(z0) ■k • coskx0/co, E = 2A'(zo) • sinkx0/co.Исключив время t, получим равенство(x - x0)/D = (z - Zo)/E,показывающее, что частицы движутся по прямым линиям.61Капиллярные волны.
Для учета силы поверхностногонатяжения изменим условия на свободной поверхности. Согласноформуле Лапласа (2.6), на границер= р0-2оК ,где К = 0,5г| хх/[1+(г|х)2]1,“ - кривизна поверхности. В случае малыхотклонений от прямой г| = 0 имеем г\ = sp' и К = 0.5г|хх. С учетомэтих равенств условие на границе примет вид р = р0- сгг|хх.Сформулируем постановку задачи о линейных волнах.Потенциал скорости (р в полосе 0 > / > -h удовлетворяет уравнениюАф = 0.На днефг I z=-h = 0,v (10.12)а на невозмущенной свободной поверхности (при z = 0)выполняются граничные условияЛ = ф/,ф( + gn - с^Лхх/р = 0.Исключая Г|, приходим к граничному условию видаФи + gфz ~ сгф/хх/р =0.(10.13)Уравнению Лапласа и граничному условию (10.12) удовлетворяет,как было установлено выше, функция (10.8).
Подстановка этойфункции в граничное условие (10.13) дает дисперсионноесоотношениео)2 = g • к • th(kh) + а • к3 • th(kh) /р.Из этой формулы получим выражение для квадрата скоростипрогрессивных волнс2= (ro/k)2 = (g/k + а • кУр) • th(kh).Предельный переход h->co дает фазовую скорость волны вбесконечно глубокой жидкости. С учетом того, что th(kh) -> 1имеемс2 = g/k + ст ■к/р.Используя связь между волновым числом и длиной волны к = 2п/Х,получаем с как функцию X:с2 = g/J2n + 2лст/р?уИсследуем последнюю формулу. Как при очень малых, так и приочень больших X скорость с весьма велика.
Производнаяdc2/dX = g/27t -2тю/рХ262обращается в нуль при А,* = 2ic(CT/pg)l/2. При А < А* производнаяотрицательна; при А, > А,» производная положительна. Скоростьраспространения волны с при возрастании А сначала убывает доминимума с„„ а потом возрастает до бесконечности. Минимум стдостигается при А = А. и определяется по формулеС2,,, = 2(CTg/p)1/2.Таким образом, в общем случае одной скорости распространениясоответствуют две волны. Длинная волна (А > А*) называетсягравитационно-капиллярной, короткая (А < А») - капиллярной илирябью. Используя то, что для воды а = 74 дин/см, р = 1 г/см3, g =981 см/с2; находим А» = 1,78 см, сга = 23,5 см/сек.Импульсивное движение жидкости.
Рассмотрим ситуацию,когда к жидкости в момент t = 0 прилагаются поверхностные силы,действующие в течение короткого промежутка времени т, нодостигающие больших величин. Запишем уравнение движенияидеальной жидкости, выделив явно мгновенное давление р :dv/dt = - Vp/'p - Vp/p .Интегрируя его от t = 0 до t = т и замечая, что импульсами обычныхсил можно пренебречь ввиду их малости по сравнению симпульсами мгновенных сил, получаем выражение скорости черезвеличину П-импульс мгновенных давлений:Гv - v(0) = - У(П/р),П = J p7dt.ОЭто соотношение показывает, чтодействие мгновенныхповерхностных сил вызывает изменение скоростей в каждой точкеполя. Причем если начальное поле скоростей v(0) былопотенциальным, то и поле v, также является потенциальным v = Vcp.В частности, если в начальный момент времени жидкость быланеподвижна v(0) = 0, тоv = -У(П/р) (или ф = ф0 - П/р).(10.14)Из этой формулы вытекает, что в области, занятой жидкостью,Д(П/р) = 0.Как правило, импульсное воздействие на объем жидкостиосуществляется на его границе.
В частности, если на объемдействуют продукты взрыва, то в экспериментах обнаруживается63пропорциональность толщины слоя взрывчатого вещества (ВВ)величине П/р. Поэтому при известном распределении зарядов награнице объема можно найти П/р и v решив задачу Дирихле дляуравнения Лапласа.Направленный взрыв. Рассмотрим задачу о направленномметании грунта при помощи взрыва. Примем следующие гипотезы:1) движение грунта можно описывать уравнениями движенияидеальной несжимаемой жидкости; 2) действие взрыва будемГо п и с ы в а т ь м гн о в е н н ы м и м п у л ь с о м П = J* p (t)d t, гд е p (t) - д авл е ниеОпродуктов детонации, т - время их действия; 3) на границе сжидкостью импульс, сообщаемый В В, пропорционален еготолщине. Поэтому известное распределение плотности ВВ задаетраспределение импульса на границе.Требуется найти распределение ВВ на поверхности идеальнойнесжимаемой жидкости, занимающей произвольный объем, прикотором в результате подрыва жидкость мгновенно приходит впоступательное движение в заданном направлении.Сиспользованиемрассмотреннойвышемоделиимпульсивного движения жидкости ответ находится сразу же.
Здесьфактически решается обратная задача: задается потенциал ср,отвечающий движению с постоянной скоростью в заданномнаправлении и по его граничным значениям восстанавливаетсятолщина воздействующего слоя ВВ на границе. Так как припоступательном движении жидкости со скоростью и вдоль оси Охпотенциал имеет вид ср = и ■х, то можно определить импульс изсоотношения (10.14):ср = - П/р.Так как на границе импульс пропорционален толщине ВВ, то ВВдолжно быть распределено на поверхности выбрасываемого объематак, чтобы его толщина убывала в направлении выброса полинейному закону, обращаясь в нуль в точке области с наибольшимX.64Глава 3. МЕХАНИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ§ 11.
Течение вязкой жидкости. Силы, действующие в нейВ вязкой несжимаемой жидкости тензор напряжений имеетвидР = -pi + 2pD,где D = \12{д\1дх +(9v/5x)*) - тензор скоростей деформаций.Движения вязкой несжимаемой жидкости описываютсяуравнениями Навье-Стокса (2.1)dv/dt + Vp /р = vAv + f, divv = 0.(11.1)На твердой границе Г требуется выполнение условия прилипанияv I г = Vo I г(И-2)По определению Р, величина Р<и> задает вектор сил,действующих на площадку с нормалью и; касательнаясоставляющая Р<и> • т - задает силу трения, действующую наплощадке с нормалью и в направлении касательного вектора т.Одномерное движение.
Движение жидкости называетсяодномерным, если вектор скорости v = (и, 0, 0). Из уравнениянеразрывностиЩ= 0следует, что u = и(у, z, t). Уравнения движения (11.1) в случаеодномерного движения примут видщ + рх/р = v(uyy + U zz) , Pv = 0, р2= 0.(11.3)Из второго и третьего уравнений вытекает, что р = р(х, t). Так как, всвою очередь, и не зависит от х, то из первого уравнения системы( 11.3) следует, что рх не зависит от х, тогда давление являетсялинейной функцией х: р = a(t)x + Ъ{t). В итоге одномерноедвижение жидкости описывается уравнениямиu, + a(t)/p= v(uyy + иш), р = a(t)x + bit), v = 0, w = 0.(11.4)Рассмотрим примеры одномерного движения вязкой жидкости.Пример 1.
Течение Пуазейля (течение между пластинками).Рассмотрим стационарное течение жидкости между двумянеподвижными параллельными плоскостями при наличииградиента давления. В силу стационарности ut = 0, а = const,b = const.65/ / / / / / z/ t / / /h-------0-hP1////~/р///Л\у У/ //ьp2//На границах выполняются условия прилипанияu IZ = h = О, и | z=.h = 0.(11.5)Будем искать решение задачи, не зависящее от координаты у.Уравнение одномерного движения (11.4) упрощается и приобретаетвида/р = vu7Z.Интегрируя его, находим скоростьи = a z2/2vp + cz + d.Постоянные с и d определяем из граничных условий (11.5).Решение, удовлетворяющее уравнениям и граничным условиям,имеет видu = «(z2 - h2)/2vp.(И .6)Мы видим, что скорость в жидком слое меняется попараболическому закону.
Учитывая, чтоо = рх = (р2-р,)//,где р2 и pi - давления на правой и левой границе объема жидкости,а / - расстояние между этими значениями давлений, получаем изуравнения (11.4), что жидкость течет в сторону меньшего давления.Если р2 < рь тогда я < 0 и жидкость течет вправо. Из решения (11.6)видно, что минимум скорости umjn = 0 достигается на границе,максимум umax= - a/(2vp)h2- на плоскости симметрии.Найдем расход жидкости в полосе ширины к по у:Q = 2VP _■J (z2- h2)dz;~ ~kct2 vp(z2/3 •h2z)h-h'2 ka , ,h.3vpПо заданному расходу вычисляется средняя скоростьucp = Q/2kh = - ah2/3vp.66Пример 2.
Течение Куэтта (течение, вызванное движениемпластины). Пусть жидкость заключена между двумя параллельнымиплоскостями, нижняя из которых неподвижна, а верхняя движетсявправо с постоянной скоростью V. Пусть градиент давления рх = 0.Z ,///////////, ///„ - VоIIS-////0//////wПри z = 0 и z = h задаются граничные условияu | z=o = 0, u ! z=h = V.(П.7)Уравнение (11.4) в рассматриваемом случае принимает вид vuzz = 0.Интегрируя его, находим скоростьu = Az + В.Используя условия (11.7), находим В = 0, А = V/h. В результатеполучаем решение задачи:u = Vz/h.( 11.8)Мы видим, что при движении верхней пластины с постояннойскоростью распределение скоростей в жидкости линейно.Найдем расход жидкости в полосе ширины к по направлениюоси у:Q=kVhj zdz:kVhUcp = Q/(kh) = V/2.Определим силу трения на верхней поверхности:Го]n = I 0 | , т = (1,0,0), Р<и> ■т = pi3, рп= puz= pV/h.lljПример 3.
Течение Куэтта между вращающимисяцилиндрами. Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкостимежду двумя коаксиальными цилиндрами радиусами р и г2,вращающимися около общей оси с постоянными угловымискоростями <»! и о)2. Определим движение жидкости, считая егостационарным.67Вводя цилиндрические координаты (г, 0, z) исоответствующие компоненты вектора скорости vr, ve, vz, можемсчитать, что движение происходит по окружностям с центрами наоси Oz, так чтоVz= V,-= 0, vG= v(r), р = р(г).У ‘X = r-eo s0у=,07 V \ wl \7\IхZ=ZVУравнения движения вязкой жидкости в цилиндрическихкоординатах в данном случае сильно упрощаютсяpr/p = v2/r, Vn- + vr/r - v /r = 0.(11-9)Граничные условия (прилипание жидкости к цилиндрам) имеют видVIг=г1= СО,Гj, V| г=г2 = С02г2.(11.10)Второе уравнение системы (11.9) для v есть обыкновенноедифференциальное уравнение Эйлера, поэтому его частныерешения можно искать в виде v = г .
Подстановка этого значения v вуравнение даетk(k-l) + к -1 = 0,откуда находим два значения к : к = 1, к = -1. Общее решениевторого уравнения системы (11.9) имеет видv = Аг + В/г.Произвольные постоянные А и В определяются из условий (11.10).Окончательное выражение для v имеет видV = [(co2r22- o W )г + (СО! - оз2) г,2 г22/ г]/( г22 - Г]2).П р и м е р 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
