1625914516-29564bd0035e0b626179a9ef4cd3b88d (532977), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть точке А с координатой zAсоответствует в плоскости точка А7 круга:Со = Rexp(/0o).(7.9)Пусть касательные к контуру у в точке А образуют угол S. Вмалой окрестности точки А рассматриваемое отображение близко котображению угла 8 на полуплоскость задаваемому формулойz - z A= C(С- СоУ27^ .Так как при 5 < л имеем (2л8)/л > 1, тоДлякомплексно-сопряженной скорости получаем представлениеdwdW.
dz/' /d cdz - - А9=9,(=Soиз которого вытекает, что величина dw/dz в точке z = zA конечна,только в случае, когдаdW= 0.(7.10)dC с<»Подставив в правую часть равенства39= kv^ - kvx R2/ ^ + Г/2Я/;dc,С = Со (см. формулу (7.9)) и приравняв результат к нулю, найдемГ = 2n/kR[va3exp(“ /0o) - v K exp(z'0o)] = - 4nkR | vx,! sin(a - 0О). (7.11)В рассмотренном случае задача потенциального обтеканиярешается однозначно.Гидродинамическиереакцииприустановившемсятечении. Выведем формулы для главного вектора и главногомомента сил, приложенных к неподвижному контуру у прибезотрывном обтекании его установившимся потоком несжимаемойжидкости.
Представим в комплексной форме силу dR и момент силыdM, действующие на элементарную площадку ds контура у:dR = dX + z'dY = - pdy + /pdx = /pdz,dM = xdY - ydX = xpdx + ypdy = Re(pzd z ).Отметим, что вектор момента силы направлен по нормали кплоскости течения. При установившемся обтекании тела вотсутствие массовых сил из интеграла Бернулли находимdw d wp = pC - V2p | v | 2 = pC - ‘/гpdz d z(C = const). Проинтегрируем d R = - z'pdz по контуру у, используято, что на линии тока у - ip = const, и поэтому dw = d w :- i p r dw■dw IP j ( ^ ) 2dz.R = X - iY = - (j* zpd z = — (j*dz2гуАналогично получаем выражение для момента силыМ = cf dM = Re[cf pzd z ] = Re[-!/2pcf ( — )2zdz],JJJ dz/Г(7.12)(7.13)УФормулы (7.12), (7.13), позволяющие найти гидродинамическиереакции потока на тело, если известен комплексный потенциал,называются формулами Блазиуса-Чаплыгина.Заметим, что при вычислении сил и моментов можнопроизводить интегрирование не только по контуру тела у, но и по40любому другому контуру, окружающему этот профиль, если междууказанными контурами нет особых точек.Проведем вычисления, используя комплексный потенциалтечения (7.8).
Дифференцируя его по z, находим~ = (kv7 - k\V; R2/C2 + T!2iuQ- Ц - .dzdzПроведем разложение функций f(Q и F(z) в окрестности бесконечноудаленной точки Q= qo, z = оо с точностью до членов порядка z"2, ф 2:z = кф + ко +кфф + к2/ф2 + ...; ф = /z + ф + ф/z + /2/z2 + ...Используя равенства к/ = 1, к/0 + ко = 0, /, = - к ь находим1/ф = l/(/z + /о + /,/z + /2/z2 + ...)= l//z/(l+ /0//z + /,//z2 + ...)*« l//z - /0/(/z)2 +...
= k/z + k0k/z2+...1/ц2= J/(/z + /0 + /,/z + /2/z2 + ...)2« l/(/z)2+... = k2/z2+...^ = / - /,/ z 2+... = 1/k + kj/'z2 + ... .dzТак какdw—, , ,П1,— =[k v TO- kvJR.2(k2/z2+ ...) + ---- (k/z +k0k/z2+ ...)](1 /k+k,/z2 + ...)=dz2m__p—=+ ----- +C/z2+..., где C = - k2vOTR2+kk] v w + Гк0/2ш,2mz1t( - j - ) 2= VM( ^ + — ) + ( 2 ^ C - r / 4 7 i 2)/z2+...dzmzто после подстановки в формулы Блазиуса-Чаплыгина на основетеоремы о вычетах находим—•R -= ]£_— cf ( — )2dz = — 2?t/Res L = /рГ22 Jdz2М;R e[-‘/ 2pcf ( ^ ) 2zdz] = R e[-p n i(2 v 00 C -Г/4тг)].J dz(7.14)(7.15)Соотношения(7.14),(7.15)называютсяформуламиKymma-Жуковского.
Из соотношения (7.14), в частности, вытекает,что при Г Ф 0 на контур действует сила, направленнаяперпендикулярно вектору скорости потока на бесконечности.41Пример. Обтекание эллиптического цилиндра. Используяметод конформных отображений, находим решение задачиобтекания эллипса: (Па)2 + (уlb)2 = 1, где а > Ь.При конформном отображении, задаваемом функцией Жуковскогоz = '/<(£, +1/Q, окружность С, - R • ехр(/0) переходит в эллипс:z = Уг [R - ехр(/0) + R’1• ехр(” /0)] = AcosQ + /BsinG,полуоси которого АУг (R +1/R), В = Уг (R - 1/R) связанысоотношением А"2 - В"2 = 1. В композиции с преобразованиемрастяжения z/= у./(а2- /г )1/2 получим отображениеz = Уг(а2 - b2)V2 +1/Q,а+ Ъпереводящее круг радиуса R = ()|/2 в плоскости С, в эллипс ва■плоскости z с заданными полуосями а и Ъ.
Комплексный потенциалбесциркуляционного обтекания кругового цилиндра имеет видw(C) = Уг(а1 - b2)h2 ( v M^ + v=0 R2/Q ■Вычисляя комплексно-сопряженную скорость, имеемdw/d£= Уг(а2 - b2)m ( ^ - vMR2/^2) .Посколькуdz/d£= Уг(а2 - b2)V2 (1 —1/С2) ,тоdw/dz = (dw/dC) ■(d£/dz) = ( \Г _ Vi0R2/ ; 2)/(1- 1/(;2).Используя формулу геометрической прогрессии, находим первыечлены разложения“ - v” + ( V» - v„R2)/C2 * v~ + C/z2.
С = ( - vMR2)(o2 - b2)/4.dzЗдесь мы использовали, что z » Уг(а2 - /г)1/2<^ при С,—> со. Подставляянайденную производную dw/dz в формулы Кутга-Жуковского,находим силу и момент силы, действующие на эллиптическийцилиндр при бесциркуляционном обтекании:R = О, М = Re[-pra'(2С)] = - '/2рл(а2 - /г) Re( v M2) . (7.16)Из формул (7.16) вытекает, что течение стремится повернуть эллипспоперек потока.42§ 8. Обтекание е отрывом струйИз формулы Кутта-Жуковского (7.14) следует, что приотсутствии циркуляции (Г = 0) на тело не действует силасопротивления со стороны движущейся жидкости. Для разрешенияэтого парадокса Кирхгоф предложил схему обтекания собразованием зон отрыва потока.Метод Кирхгофа.
Область течения делится на две части: взоне I определено потенциальное движение жидкости, а в зоне II(каверне) считается заданным постоянное давление. Точка Вявляется критической, где v = 0. Линии тока CD и CD7являютсясвободными границами, на которых давление постоянно.Кинематические условия выполняются автоматически на линияхтока, а динамическое условие с использованием интегралаБернулли дает постоянство модуля скорости на свободныхграницах | v | = | vOT| = const.
Отметим, что такие каверны образуютсяпри высокоскоростном движении тел в жидкости.Комплексный потенциал w = ф + г'ф в области течения I приэтом можно выбрать, добавляя, если нужно, постоянную с = сД /с2так, что ср | в = 0 и \(/1 ав = 0. Так как вдоль линии тока \\) = 0скорость не имеет, кроме точки В, других критических точек, тоvs = Эф/ds > 0, причем Пт vs = | v„ I при удалении в бесконечностькак по линии АВ, так и по линиям CD и C D7.
Поэтому при | v* | ^0потенциал скорости ф меняется монотонно вдоль линии ф = 0 от -оодо 0 при движении по АВ и от 0 до +со при движении по BCD.43Рассмотрим изменение функции тока 9 вдоль эквипотенциальной линии 9 = const. 'Гак как d\\ildx = - v, д\\)/ду = и, тоd y = - vdx + udy = | v | (-sinGdx + cosGdy) == Iv | ( cos(tt/2 +G)dx + sin(rc/2 +G)dy) = | v | da,где da - элемент эквипотенциальной линии. Поэтому при движениивдоль эквипотенциальной линии вверх от границы 9 = 0 функциятока 9 будет меняться от 0 до да, а при движении вниз 9 меняетсяот 0 до -да.
Параметризуем плоскость течения с помощьюкомплексного переменного z = х + /у, приняв за начало координаткритическую точку В. Область, занятая жидкостью, отображаетсяна плоскость комплексного потенциала w = ср + /9 с разрезом вдольвещественной оси от 9 = 0 до ф = да.Решение задачи обтекания тела сводится к отысканиюаналитической функцииw = f(z),(8.1)конформно отображающей область I на плоскость с разрезом, или котысканию обратной функцииz = F(w),(8.2)отображающей плоскость с разрезом на область I.Заметим, что производная аналитической функции F,dz1F(w) = — = = ,dwvтакже аналитична на плоскости w с разрезом по положительнойдействительной полуоси.Кирхгоф предложил искать отображение плоскостей dz/dw иw вместо отображения (8.2). Если решена задача о конформномотображении плоскости w с разрезом на ту часть плоскостипеременной 1/ v = (и + Ы)! Iv | 2, которая соответствует области 1плоскости z, то функция F(w) восстанавливается интегрированием.Определение границ области течения в плоскости 1/vупрощается в случае, когда обтекаемый контур в плоскости гсостоит из прямолинейных отрезков.Обтекание пластинки.
Пусть прямолинейная пластинкаширины 2а обтекается потоком несжимаемой жидкости, скоростькоторого на бесконечности направлена перпендикулярно пластинке.44Если v = | v | e'0, то 1/ v = e'6/ 1v I , поэтому заданные и свободныеграницы переходят в отрезки прямых (0 = ±л/2) и окружностей(1 / 1v |= const). Области I плоскости z соответствует праваяполуплоскость за вычетом полукруга в плоскости 1/ v .Эффективно построить отображение можно с помощьюметодаЖукове кого-М итчеля.ВведемвспомогательнуюпеременнуюС, = %+ Щ = 1п( | Voo | / v ) = 1п( | Voo | — ).(8.3)dwВвиду симметрии достаточно рассмотреть верхнюю полуплоскость\(/ > 0. В плоскости С линии CD соответствует линия с = 0, линииВС - линия г] = л/2, а точка С переходит в точку £, = 0, т| = п/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
