32_PiskunovT1 (523111), страница 35
Текст из файла (страница 35)
заться, что точка пересечения касательной с осью Ох находится вне интервала (х„ ха). Из рис. 158 и 15о следует, что касательную нужно проводить в том конце дуги, в котором знаки функции и ее второй производной совпадают. Так как на отРезке (хо ха] втоРаЯ пРоизводнаа, по условию, сохраняет знак, то это совпадение знаков функции и второй производной на одном из концов обязательно имеет место. Это правило остается верным и для случая, когда 1'(х) ( О.
Если касательная проводится в левом коих це интервала, то в формуле (3) вместо х, нужно подставить х,: а =х — —,. (3') 1 (х~) У (а) ° ат В случае, когда внутри интервала (х„ х,) есть точка перегиба С, способ касательных может дать приближенное значение корня, лежащее вне интервала (х„ х,) (рис. 160). Пример 2. Применим формулу (3') к вмчислению корня уравнения 1(а) =ха — ба+2 = О, заключенного в интервале (О; !). Имеем 1(0) =2, УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ У1 203 /' (0) =(Зхе — 6) (х=е= — б, /" (х) =бх)0, поэтому по формуле (3') получаем 2 1 ах = 0 — = — = 0,333.
— б 3 3. Комбинированный способ (рис. 161). Применяя на отрезке [хо кз) одновременно способ хорд и способ касательных, мы получаем две точки а! и а„лежащие по разные стороны от искомого корня а (так как /(а,) и ~(а,) имеют разные знаки). Далее, на отрезке [аы аД применяем снова метод хорд и метод касательных. В результате получаем два числа: а, и а„еще более близких к значению корня. Продолжаем таким образом до тех пор, пока разность между найденными приближенными значениями не станет меньше, чем требуемая степень точности.
Заметим, что при комбинированном методе мы приближаемся к искомому корню одновременно с обеих сторон (т. е. мы находим одновременно как приближенное значение корня с избытком, так и приближенное значение корня с недостатком). Так, в рассмотренном нами примере путем подстановки убеждаемся, что /(0,333) > О, /(0,342) < О. Следовательно, значение нория заключено между найденными приближенными значениями: 0,333 < х < 0,342.
Упражнении к главе !/1 Найти кривизну кривых в указанных точках: 1. Ь'х'+а'у'=а'Ь' в точках (О, Ь) и (а, 0). Отв. Ь/а' и точке (О, Ь); а/Ьз в точке (а, 0). 2. ху= !2 в точке (3, 4). Оте. 24/126. 3. у=ха вточке (хх, ий. Отз. е . 4. !Вуз=йхе — хезточке(2,0). Ота, —. б. хпз+хзIз=аме бхх ! ' (!+Охах)з1з ' ' ' ' 2 ' в произвольной точке. Отв.
!/(3 ух~ аху !). Найти радиус кривизны нижеследующих кривых в указанных точках; вычертить каждую кривую и построить соответствующий круг кривизны: 6. уз=хе в точке (4, 8). Ота. /7 =80У!О/3. 7. хз=4ау в точке (О, О). (Ьех,+а у,)М' Отз. /7=2а, 8. Ь'х' — а'у'=азйз и точке (хг, у,). Отз. /с= аеЬе В. у=!и х в точке (1, 0). Отз.
/7 =2)/ 2 . 1О. у=з!п х в точке (я/2, 1). х = а соз' 1, ! Отз. /! =1. 11. ' 1 при 1=/ь Оаы. /7=3азйз 1! сов Ьп ' у=ае!пз/ Найти радиус кривизны кривых: х=ЗО, 12. 31 ' 1, ( при !=!. Отв. /ч =6. 13. Окружность р=аз!пб. Отв. у=3/ — 1 (,а+аз) з1з /с =а/2. 14. Спираль Архимеда р=аб. Отв. /7=. з з .
18. Кардиоида 2 р=а(1 — соз8). Отв. /7= — ВГ2ар. 1В. Лемниската рз=азсоз20. Оте. 3 /(=аз/Зр. 17. Парабола р=азесз(8/2). Отв. /1=2азесз —. 1В. р=азйзз —. 0 .,0 2' ' 3' 3 0 Оте. /1= — а з!пз —. 4 3' Найти точки кривых, в которых радиус кривизны имеет наименьшее значение: КРИВИЗНА КРИВОЙ 19. у=-1пх. Отв. ~ —, — — !п 2) . 20.
у=-ех. Отз. ~ — — 1п2, — ). Гу'2 1 Х Г 1 Зг2т lа аг / хз! 21. )г х+)Гу=у а. Ото. 11 —, — ) . 22. у=а 1п(1 — — ) . Отв. В точке '!4' 4)' ' 1 аз)' (О, 0) )(=а!2. Найти координаты центра кривизны (а, !)) и уравнения зволюты для каждой из следующих кривых: 23. — У =1. Отв. а= '; (!=в хз з (аз+ Ьз) хз (аз+в') уз У 24 з/з ! уз/з а' Ьз аз Ье ае+ 15уе =а т Оте. а=х+Зхь~укш ()=у+Зхз~~ущ~ 25.уз=азх.Оте.а= + базу азу — 9уз ( х=31, 4 3 28. 1 ' О, = Гз; й — Згз 2ае ' ' ! у=(з — 6. 3 2 27.
~ ' Отз. у= — (ех!з+е-хгз) (трактриса). Г х9 91псгй(П2) — Ьсоз(, й !у=Аз!п И 2 х=а(соз(+ганг О, ~ х=асозз1, 28. Оте. а=асов Г; 5 =анги К 29. у=а(з!п1 — 1созг). у=панга ц Отз. а=а созе!+За созга!па Й В=аз!и' (+За соззгз!п К 30. Вычислить с точностью до 0,001 корни уравнения хз — 4х+2 =О. Отз. ха=1,675, хе=0,539, хз= — 2,214.
31. Для уравнения Г (х) =хз — х — 0,2=0 определить приближенное значение корня, заключенное в интервале (1; 1,!). Оте. 1,045. 32. Вычислить корни уравнения х'+2хй — бх+2=0 с точностью до0,01. Отв. 0,38 < х, < 0,39; 1,24 < хз < 1,25. 33. Решить приближенно уравнение хз — 5=0.
Оте. х, ш 1,71, =1 71 2 34. Найти приближенное значение корня уравнения х — !их=0, который находится между 0 и Зк!2. Олы. 4,4935. 35. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения з!пх=! — х. Указание. Привести уравнение к виду г'(х)=0. Отз. 0,5110 < х < 0,5111. Разные задачи 36. Показать, что в каждой точке лемнискаты рз=азсоз29 нривизна пропорциональна радиус-вектору ягой точки. 37.
Найти наибольшее значение радиуса кривизны кривой р=ав!пз —. зт 3' Отз. )7 =3а74. 38. Найти координаты центра кривизны кривой у=х!пх в точке, где у'=О. Отв. (е-', 0). 39. Доказать, что для точек спирали Архимеда р=агр при ~р — ~ее величина разности между радиус-вектором и радиусом кривизны стремится к О. 40. Найти параболу у=ахз+Ьх+с, имеющую с синусоидой у=з1пх в точке (и!2, 1) общие касательную и кривизну. Сделать чертеж.
Отз. у= хз лх пз 2 2 8' = — — + — +1 —. 41. Функция у=!'(х) определена так: 1(х)=хз в интервале — ее < х~1, 7(х)=ахз-(-ах+с в интервале 1 < х <+ее. Каковы должны быть а, Ь, с для того, чтобы линия у=!(х) имела везде непрерывную кривизну) Сделать чертеж. Оте. а=З, Ь= — 3, с=1. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ У! 42. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке. 43. Написать уравнение окружности кривизны параболы у=ха в точке 7 та 125 (1, 1).
Отв. (х+4)з+ (у — 2 ) = —. 44. Написать уравнение окружности кривизны кривой у=16х в точке ( —,1) . Отв. (х — — ) +(у — ) = —. 46. Найти длину всей эволюты эллипса, полуоси которого равны а н Ь. Отв. 4 (а' — Ьз)/аЬ. 46. Найти приближенное значение корней уравнения хая=2 с точностью до 0,01. Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень хт0,84. 47. Найти приближенное значение корней уравнения х1пх=0,8 с точностью до 0,01.
Оаы. Уравнение имеет единственный действительный корень хи!,64. 48. Найти приближенное значение корней уравнения хзаго16х=! с точностью до 0,001. Отв. Уравнение имеет единственный действительный корень хт 1,096, ГЛАВА Ч!! КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ ф 1. Комплексные числа. Исходные определения Комплексным числом г называется выражение г=а+!Ь, где а и Ь вЂ действительн числа; ! †т называемая мнимая единица, определяемая равенством 1= $' — 1 или !е = — 1; (2) а называется действительной или вещественной частью, Ь вЂ” мнимой частью числа г.
Их обозначают так: а = Ке г, Ь = 1т г. Если а=о, то число О+!Ь=(Ь называется чисто мнимым; если Ь=О, то получается действительное число: а+!О=а. Два комплексных числа г=а+1Ь и г=а — (Ь, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряжен(а) ными. Принимаются два основных определения. 1. Два комплексных числа г, = а, + 1Ь, !л и г,=а,+!Ь, считаются равными: г,=г„ 0 если а,=-а„Ьг — Ь„т.
е. если равны в отдельности их действительные и мнимые части. Рис. 162. 2. Комплексное число г равно нулю: г=а+1Ь=О, тогда и только тогда, когда а=О, Ь=О. 1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Всякое комплексное число г=а+!Ь можно изобразить на плоскости Охи в виде точки А(а, Ь) с координатами а и Ь. Обратно, каждой точке плоскости М (х, у) соответствует комплексное число г=х+(у. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексной переменной г (рис.
1б2) (на плоскости ставить символ г в кружке). Ф!1 комплвксныв числл. исходныв опьедвлвния 207 Точкам плоскости комплексной переменной г, лежащим на оси Ох, соответствуют действительные числа (Ь= О). Точки, лежащие на оси Оу, изображают чисто мнимые числа, так как в этом случае а= — О. Поэтому при изображении комплексных чисел на плоскости комплексной переменной г ось Оу называют осью мнимых чисел или мнимой осью, а ось Ох — действительной осью. Соединив точку А (а, Ь) с началом координат, получим вектор ОА.
В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа г=а+(Ь вектор ОА. 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Обозначим через ~р и т (г)0) полярные координаты точки А(а, Ь), считая начало координат полюсом, а положительное направление оси Ох — полярной осью. Тогда (рис. 162) имеют место следующие равенства: а=гсоз~р, Ь=гз!п~р, а следовательно, комплексное число г можно представить в форме а+(Ь=гсозср+(г з!пср или г = г (сов ~р+(з!п<р).
(3) Выражение, стоящее справа, называется тригонометрической формой записи комплексного числа г=а+(Ь; г называется модулем комплексного числа г, ц — аргументом комплексного числа г; они обозначаются так: г=!г!, Ч=агн (4) Величины г и ф выражаются через а и Ь, очевидно, так: г=) "а'+Ь', ~р=Агс1н —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
