32_PiskunovT1 (523111), страница 31
Текст из файла (страница 31)
18. у= ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ !гл. ч 1 (х — 2)з (2х+1). Отв. дм!в ш — 8 24 при х=1/8. 19. д=х+ —. Отв. Миних мум при х=1; максимум при х= — 1, 20. д=хз(а — х)з. Оше. дма„=аа/16 а Ьз при х=а/2; умы=О при х=б и при х=а. 21. двв — + —. Отв. Максих а — х' аз аз мум при х= —; минимум при х= —,. 22. д х+ Г' ! —.х. Олы.
умах=5/4 а — Ь! ап 9 2 /Т Прн Х=З/4; ум!в=1 При Х=1. 23. У=Х?/1 — Х (Х~1), ОШЭ. дм„,= — аГГ ЗК' 3 2 х при хме —. 24. д= . Оше. Минимум при х= — 1; максимум при х=1. 3 ' 1+ха' 26. д =х 1п х. Отв. Минимум при х=!/е. 26. д=х (пз х. Отз. д,„=4е-а прн х=е-з, д„!а=б при х=1. 27. д=1пх — агсгйх. Оща. Функция возрастает. 28. д=з!пЗх — Зашх. Оте.
Минимум при х=п/2; максимум при х=Зп/2. 29. д=2х+агстйх. Оте. Нет экстремумов. 30. д=а1пхсоз'х. Олм. Минимум при х=п/2; два максимума: при х=агссозд' 2/3 и при х=агссоз ( — йг2/3). 31. д=агсв!п (в!и х). Отв. Максимум при х=(4т+1) я/2; минимум при х= 4га+3) и/2. айти наибольшие и наименьшие значения функции на укаэанных от- резках: 32. д= — Зха+бхз — 1 ( — 2а х~2). Оглв. Наибольшее значение д=2 при хз х=ч- 1, наименьшее д= — 25 при х=~ 2. 33. д= — 2ха+Зх+1 ( — 1~хи-б). 3 Отв.
Наибольшее значение у=23/3 при х=5, наименьшее значение д= — 13/3 х — 1 при х= — 1. 34. д= — (О~х~4). Оглв. Наибольшее значение д=З/5 при х+1 х=4, наименьшее значение д= — — 1 при х=О. 35. д=з!и 2х — х ( — и/2~х~п/2). Оаы. Наибольшее значение д=я/2 при х= — и/2, наименьшее значение д= — и/2 при х=п/2.
36. Из квадратного жестяного листа со стороной а желают сделать откры- тый сверху ящик возможно большего объема, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать бока ящика. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов? Ота. а/6, 37. Доказать, что из всех прямоугольников, которые могут быть вписаны в данный круг, наибольшую площадь имеет квадрат. Показать также, что у квадрата и периметр будет наибольший. 38.
Показать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник. 39. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, имеющий гипотенузой отрезок /ь Осле. Длина каждого катета равна А/д 2. 40. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшим объемом, который может быть вписан в шар радиуса /?. Ота. Высота равна 2/?/)/ 3. 41.
Найти высоту прямого цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который может быть вписан в данный шар радиуса /?, Ошв, Высота равна /?'д' 2. 42. Найти высоту прямого конуса с наименьшим объемом, описанного около данного шара радиуса /?.
Отв, Высота равна 4/? (объем конуса равен двум объемам шара). 43. Резервуар, который должен иметь квадратное дно и быть открытым сверху, нужно выложить внутри свинцом. Каковы должны быть размеры ре- зервуара емкостью 32 л, чтобы выкладка требовала наименьшего количества свйнца? Ота. Высота 0,2 м, сторона основания 0,4 м (т. е. сторона основания должна быть вдвое больше высоты).
44. Кровельщик желает сделать открытый желоб наибольшей вместимости, у которого дио и бока были бы шириной 10см и бока были бы одина- УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч !8! ково наклонены ко дну. Какова должна быть ширина желоба наверху? Олы. 20 см. 46. Доказать, что коиический шатер данной вместимости требует наимень- шего количества материи, когда его высота в ?г 2 раза больше радиуса ос- нования. 46. Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют данную толщину. Каковы должны быть размеры цилиндра, чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала? Олы. Если ?? †внутренн радиус основания, о †внутренн объем цилиндра, то з ~„~„ 47. Требуется построить котел, состоящий из цилиндра, завершенного двумя полусферами, со стенками постоянной толщины так, чтобы при данном объеме о он имел наименьшую наружную повеипхность.
Отз. Котел должен иметь форму шара с внутренним радиусом ?? = ~,l Зо?4п. 48. Построить равнобочную трапецию, которая при данной площади 3 имела бы наименьший периметр; угол при основании трапеции равен а. Отв. Длина боковой стороны равна Зг Б?еюц. 40. Вписать в данный шар радиуса ?? правильную треугольную призму наибольшего объема. Олы. Высота призмы равна 2???Зг 3. 50. Около полушара радиуса ?? требуется описать конус наименьшего объема; плоскость основания конуса совпадает с плоскостью основания полу- шара; найти высоту конуса. Отз.
Высота конуса равна ?? уг 3. 51. Описать около данного цилиндра радиуса г прямой конус наимень- шего объема, полагая, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. Огиз. Рчдиус основания конуса равен Зг?2, 52, Из листа, имеющего форму круга радиуса ??, вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости. Олы. Цент- ральный угол сектора равен 2пТ? 2!3. 56. Из всех круглых цилиндров, вписанных в данный куб с ребром а таким образом, что оси их совпадают с диагональю куба, а окружности ос- нований касаются его граней, найти наибольшей по объему. Олы. Высота цилиндра равна луг 3/3; радиус основания равен а/Зг б, 54. В прямоугольной системе координат дана точка (хе, уз), лежащая в первом квадранте.
Провести через зту точку прямую так, чтобы она обра- зовала с положительными направлениями осей координат треугольник наи- меньшей площади. Озы. Прямая отсекает на осях отрезки 2хе и 2уе, т, е. х у имеет уравнение — + — = !. 2хе 2уз 55. На оси параболы уз=2рк дана точка на расстоннии а от вершины; найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой. Отв, к=а — р, 56. Принимая, что прочность бруска с прямоугольным поперечным сече- нием прямо пропорциональна ширине и кубу высоты, найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна диаметром 1бсм.
Ота. Ширина равна 8 см. 67. Миноносец стоит на якоре в 9 км ст ближайшей точки берега; с мино- носца надо послать гонца в военный лагерь, расположенный в !5 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если гонец может делать пешком по 5 км в час, а на веслах по 4 км в час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы поспеть в лагерь в кратчайшее время. Олы.
В 3 щи от лагеря. 68. Точка перемещается прямолинейно по плоскости в среде, расположен- ной вне линии МУ со скоростью ог, а по линии МУ со скоростью оз. По какому пути она переместится в наименьший промежуток времени из точки А в точку В, расположенную на линии МУ? Расстояние точки А от линии МУ равно й, расстояние проекции ц точки А на линию МУ от В равно а. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ (гл. и аС о, аВ о, Отв. Если АВС вЂ” путь точки, то — = — при — ) — и саС=ИВ прн АС о, АВ оз аВ оз — < —. АВ о, 59. Груз с массой в подымают рычагом, причем сила г приложена к од- ному концу, а точка опоры находится на другом конце рычага. Если груз прииешен к точке, находящейся на расстоянии асм от точки опоры, а масса стержня рычага равна ог на каждый сантиметр длины, то какова должна быть длина рычага, чтобы сила, потребная для поднятия груза, была наи- меньшая? Оав.
х= зг 2ав/осм. 60. При и измерениях неизвестной неличины к получены числа: «г, х„..., х„. Показать, что сУмма квадРатов погРешностей (х — хг)з+ +(к — ха)а+... +(х — х„)з будет наименьшей, если за х принять число (ха+ха+...+х„)/а. 61. Чтобы по возможности уменьшить трение жидкости о стенки канала„ площадь, смачинаемая водой, должна быть возможно меньшей. Показать, что лучшей формой открытого прямоугольного канала с заданной площадью попе- речного сечения является такая, при которой ширина канала вдвое превышает его высоту. Определить точки перегиба и интервала выпуклости и ногнутосги кривых: 62.
у=ха. Оте. Прн х < О кривая выпукла; при к > О кропая вогнута; при х=О точна перегиба. 63. у= 1 — хе. Отв. Кривая всюду выпукла. 64. у = = ха — Зхз — 9х+9. Отв. При х=! точка перегиба. 65. у=(х — Ь)а. Оита, При х=Ь точка перегиба. 66. у=ха. Ота. Кривая всюду вогнута. 67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
