32_PiskunovT1 (523111), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Точно так же функция у=- х' (рис. 102) при х = = 0 имеет производную, равную нулю: у !х=е = Зх (х=е = О, но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, как бы ни была близка точка х к точке О, всегда х' <0 при х < 0 и х' > 0 при х> О.
Рис. 1ОЗ. Рис. 104. Рис. 105. Мы исследовали тот случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех точках, где производная не существуетР Мы покажем на примерах, что в таких точках может быть или максимум, или минимум, ио может и не быть ни того, ни другого. П р и ме р 1.
Функция У=(х) не имеет производной в точке х=О (в этой точке кривая не имеет определенной касательной), но в этой точке данная функция имеет минимум: У=О при х=О, тогда как для всякой точки х, отличной от нуля, имеем у > 0 (рис. 1ОЗ). (гл. и ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 150 Пример з. Функция у=(1 — хз/3) 3/з не имеет производной при х=О, так как у'= — (1 — хз/з) !/зх !/3 обрапзается в бесконечность при х=О, но в этой точке функция имеет максимум: /(0)=1, /(х) < ! при х, отличном от нуля (рис.
104). з.— П ример 3. Функция у=к х не имеет производной при х=О(у'- чо при х- 0). В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума: /(О) =О; /(х) < 0 для х < 0; / (х) > 0 дли х > 0 (рис. 105). Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит р аз ры в. Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.
Из предыдущего следует, что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой-либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума. Исследование функции в критических точках опирается на следующие теоремы.
Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция /(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку хз, и ди4и//еренцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х,).
Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при х=х, функция имеет максимум, Если же при переходе через точку х, слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то 4ункция имеет в этой пиике минимум. Таким образом, если а) /' (х) ) О при х < хн /' (х) < О при х > х„ то в точке х! функция имеет максимум; если б) г' (х) < О при х < х„ /'(х) ) О при х>х„ то в точке х, функция имеет минимум. При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполняться для всех значений х, достаточно близких к х„ т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки х,.
Доказательство. Предположим сначала, что производная меняет знак с плюса на минус, т.е. что для всех х, достаточно МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ близких к точке х„ имеем 1'(х) >0 при х<х„ 1'(х) <0 при х>х,. Применяя теорему Лагранжа к разности 1(х) — 1(хз), получим Г" (х) — 1 (х,) = 1' (С) (х — х,), где $ — точка, лежащая между х и х,. 1) Пусть х< х,; тогда ь<х„('©>О, ~'($)(х — х,) <О и, следовательно, )".
(х) — 1(х,) < О, или ~(х) < 1(х1) ° 2) Пусть х> х,; тогда ь>х,, 1'(ь) <О, 1'(ь) (х — х,) <0 и, следовательно, 1(х) — 1(х,) < О, или 1(х) < 1 (х,). (2) Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений х, достаточно близких к х„ значения функции меньше, чем значения функции в точке х,. Следовательно, в точке х; функция 1 (х) имеет максимум. Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума. Рис. 106 наглядно иллюстрирует смысл теоремы 2. Пусть в точкех=х, имеем 1' (х,)= = 0 и для всех х, достаточно близких к точке х„выполняются неравенства 1'(х) >0 при х<х„ г'(х) <0 при х>х„.
Тогда при х<х, касательная к л Х~ Я ХА З кривой образует с осью Ох острый угол — функция возрастает, а при х > Рас. 306. > х, касательная образует с осью Ох тупой угол — функция убывает; при х=х; функция переходит от возрастания к убыванию, т. е. имеет максимум. Если в точке х, имеем ~'(х,) =0 и для всех значений х, достаточно близких к точке х„выполняются неравенства )'(х) <О при х<х„ (х) > 0 при х>х„ 1гл. ч исследовкние поведения Функций !52 то при х<х, касательная к кривой образует с осью Ох тупой угол — функцйя убывает, а прн х > х, касательная к кривой образует с осью Ох острый угол — функция возрастает. При х=х, функция переходит от убывания к возрастанию, т.
е. имеет минимум. Если при х = х, имеем 1"'(х,) = 0 и для всех значений к, достаточно близких к х„ выполняются неравенства 1'(х) >0 при х<х„ 1'(х)>0 при х>х„ то функция возрастает как при х<х„так и при х>х,. Следо- вательно, прн х = х, функция не имеет ни максимума, нн минимума. Именно такой случай имеет место для функции д=х' при х=.О.
Действительно, производная д' = Зх', следовательно, д~„,=О, д(,,>О, д~„„>О, а это значит, что при х=О функция не имеет ни максимума, нн минимума (см. выше рис. 102). $4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной На основании предыдущего параграфа можно сформулировать следующее правило для исследования дифференцируемой функции д=- ~(х) на максимум и минимум: 1. Ищем первую производную функции, т.е. 1'(х). 2. Находим критические значения аргумента х; для этого: а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни полученного уравнения 1' (х) =0; б) находим значения х, при которых производная Г' (х) терпит разрыв.
3. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа, например; от критической точки х, (рис. 106) достаточно определить знак производной в точках а и (1 (х, < и < х„х, < р < х„где х, и х, — ближайшие критические точки).
4. Вычислясм значение функции 1(х) при каждом критическом значении аргумента. Таким образом, имеем следующее схематическое изображение возможных случаев: СХЕМА ИССЛЕДОВАИИЯ ФУНКЦИИ Знаки производной д !к) при переходе через критическую точку к, Характер критической точки к<к, х>х, «=к /' (хт) =О или разрывна Точка максимума 1' (хт) =О или разрывна Точка минимума 7' (к,) =О или разрывна Нет ни максимуиа, ни мини- ыума (функция возрастает) 7' !кт)=О или разрывна Нет ни максимума, ии мини- мума (функция убывает) Пример 1.
Исследовать на максимум и минимум функцию хз д = — — 2хз+ Зк+ 1. 3 Решение. 1) Находим первую производнуюз д' =ха — 4х+3. 2) Находим действительные корни производной; хз — 4х+3 = О. Следовательно, х, = 1, х, = 3. при к < ! имеем д'=( — ) ( — ) > О; при к > 1 имеем д'=(+).( — ) < О.
Значит, при переходе (слева направо) через значение кт= 1 производная меняет знак с плюса иа минус. Следовательно, прн х= 1 функция имеет максимум, а именно: д) „, =7!3. Исследуем вторую критнческую точку ха=3: при х < 3 имеем д'=(+) ( — ) < О; при х > 3 имеем д'=(+) (+) > О, Производная всюду непрерывна. Значит, других критических точек нет. 3) Исследуем критические значения и результаты исследования фиксируем на рнс.
!07. Исследуем первую критическую точку кг=!. Так как д'=(х — !) (х — 3), то исслпдовднип новпднния функций 154 1гл. и Значит, при переходе через значение х=З производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при х=З функция имеет минимум, а именно: У ) х = з = 1. На основании проведенного исследования строим график функции (рис, 107). Пример 2. Исследовать на максимум и минимум функцию зг— у=(х — !) 1' хз. Решение, 1) Находим первую производную: з 2(х — 1) 5х — 2 у ~/ха+ з 3 х Зух 2) Находим критические значения аргумента: а) находим точки, в которых производная обращается в нуль: 5х — 2 2 3 ~Гх б) находим точки, в которых производная терпит разрыв (в данном случае обращается в Рис.
108. Рис. 107. бесконечность), Такой точкой будет, очевидно, точка хе=О. (Отметим, что при х,=О рассматриваемая функция определена и непрерывна.) Других критических точек нет. 3) Йссаедуем характер полученных критических точен. Исследуем точну к!=215. Заметив, что У ~,<з1з С О, У ~,>згз > О, заключаем, что при х=2/5 функция имеет минумум. Значение функции в точке минимума равно 1х=з1з ( 5 ) р 25 5 у~г 25 Исследуем вторую критическую точку х=О. Заметив, что у'(„<о>О. у'(„>о СО, заключаем, что прн х= 0 функция имеет максимум, причем у ~„о — — О, График исследуемой функции изображен на рис. 108.
а 51 ИССЛВДОВАНИР ФУНКЦИИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ 155 $5, Исследование функция на максимум и минимум с помощью второй производной Пусть при х=х, производная функции у=)".(х) обращается в нуль, т. е. ~' (х,) = О. Пусть, кроме того, вторая производная )" (х) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки хг. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть 1' (х,) = О; тогда при х= ха функция имеет максимум, если 1""(х,) < О, и минимум, если )" (х,) > О.
Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть 1' (х,) =О и 1" (х,) < О. Так как, по условию, )" (х) непрерывна в некоторой окрестности точки х =х„ то, очевидно, найдется некоторый малый отрезок, окружающий точку х= х„ во всех точках которого вторая производная 1"(х) будет отрицательна. Так как 1"(х) есть первая производная от первой производной, ~'(х) = ()" (х))', то из условия (1' (х))' < О следует, что 1' (х) убывает на отрезке, содержащем точку х=х, (~ 2). Но 1'(ха) =О; следовательно, на этом отРезке пРи х < хт имеем 1' (х) ) О, а пРи х > ха имеем 1' (х) < О, т. е.
производная )' (х) при переходе через точку х = х, меняет знак с плюса на минус, а это значит, что в точке хт функция 1(х) имеет максимум. Первая часть теоремы доказана. Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы, а именно: если 1"(х,) ) О, то 1"(х) > О во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку х„ но тогда на этом отрезке 1'(х) = = (1' (х))' > О и, следовательно, 1' (х) возрастает. Так как ~' (хт) =О, то, значит, при переходе через точку хг производная 1'(х) меняет знак с минуса на плюс, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
