32_PiskunovT1 (523111), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теорема. Пусть функции )" (х) и ~р(х) непрерывны и дифференцируемы при всех к~ а в окрестности точки а, причем производная ~р'(х) не обращается в нуль; пусть, далее, 1ип 1'(х) = оо, 1!ш 5р (х) = оо 13Р НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ !ГЛ.!У а ( с < а, будет выполняться неравенство !' с)-А!< или А — е « —, А+в, Г (с) ф' (с) Далее рассмотрим дробь (б) 1 —— ф (а) ф (х) 1 —— 1(а) Г (х) Закрепив а так, чтобы обеспечивалось выполнение неравенства (Б), будем х приближать к а.
Так как 1(х) — оо и ср (х) — оо при х — а, то ф (а) Ит '(') =1 х-~а 1 1(а) Цх) ф (а) ф(х) 1 )(а) 1 —— 1 (х) (е или ф (а) 1 — е ( Р( (1+е. 7 (а) 1 —— ) (х) Перемножая соответствующие члены неравенств (6) и (7), получим ч (а) (А — е) (1 — е) ( —,' ф( - < (А+с) (1+е), ф' (с) / (а) 1 (х) или на основании равенства (5) (А — е) (1 — з) « — (А+а) (1+а). ) (х) ф (х) Так как е — произвольно малое число при х, достаточно близком к а, то из последних неравенств следует, что 1!гп — = А, 1(х) „, с ф(х) и, следовательно, при ранее выбранном е > 0 для х, достаточно близких к а, будем иметь Фы ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ 133 или на основании (1) 7(х) р (х) с~(х) х,п юр'(Х) 1пп —.= 1нп, = А, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Если в условии (1) А = по, т. е. р (х) ср' (х) то равенство (2) остается справедливым и в атом случае. Действительно, из предыдущего выражения следует 1пп —,=О. ~' (х) ~' (х) Тогда по доказанной теореме <р (х) . ~р' (х) , г(х),, т" РО 1пп — = 1пп, =О, откуда 7 (х) . ч (х) 1пп — = оо. Замечание 2. Доказанная теорема легко распространяется на случай, когда х оо. Если 1нп р" (х)=по, 1нп р(х)=оп и х а х а р (х) Ч' (х) 1нп, существует, то )РО Р (х) а ~р(х) „~ ~р'(х) ' 1пп — = !Ип —, (8) Замечание 3.
Отметим еще раз, что формулы (2) и (8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный нли бесконечный), существует. Может случиться, что предел, стоящий слева, существует, в то время как предел, стоящий справа, не существует. Приведем пример. Пусть требуется найти х+и!и х !пп х Ф Зтот иредел существует и равен 1. Действительно, х а хаа Т Доказательство проводится путем замены х = 1)г, как зто делалось прн аналогичных условиях в случае неопределенности вида — „(см.
$ 4, замечание 4). о П р и м е р 1. 1вп — = 1пп —,= ПШ вЂ” = со. ех (ех) ех х х-- (х)' х- ) 134 некоторые теоремы одиэоеренциргемых огнкциях 1гл.пг Но отношение производных (х+а!пх)' 1+соах (х)' 1 =1+соз х при х оо не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2. оха+Ь, 2ах а Пример 2. 1пп = Иа сха — П х 2сх с ' Пр имер 3. 1 !Кх .
соса х 1 соз'Зх . 1 2 ЗсозЗхз!пЗх Иа — = Иа — = Па — = Иа „. а!а!яЗх „„„~а 3 х а!а 3 созах х и1е 3 2созхз!пх ;а Зх Иа — Па — Иа сое Зх . иа Зх 3 з!и Зх ( — 1) ( — 1) ( — 1) — 3 3. а-~х(а соех х-~аа и!пх х а!а а!пх ! 1 1 Пример 4. Иа — = Иа — „=О. Вообще, при любом целом п>О к 1 х сх х ех х" аха-! . п(п — 1) ... ° 1 Па — = Иа =...= Иа =О.
а Сх х- Сх х сх и смысл которых состоит в следу!ощем. а) Пусть 1пп((х) =О, 1пп !р(х) = оо; требуется х-~ а х-~а 1пп [1(х) !р(х)1. Это — неопределенность типа 0 оо. а а Если искомое выражение переписать в виде 1пп [~ (х) !р (х)1 = 1пп— а-а а х-1 а Ч (х! найти или в виде 1пп [)(х) !р (х)1= 1пп —, а-~ а х-~а ! (х) О оа то при х- а мы получим неопределенность вида — или вида —. О ° а ! 1пк, х П р и м е р 5.
оп х" 1п х= Па — = 1пп а а а а 1 х а и Ха хаак = — 1нп — = О. а ам б) Пусть 1!шг(х)=0, !1ш!р(х)=0; требуется найти х-~ а х а 1!сп [):(хне !х>, или, как говорят, раскрыть неопределенность вида 0', К предыдущим случаям сводятся случаи других неопределенностей, которые символически записывают так: а) 0 оо, б) Оа, в) ооа, г) 1", д) оо — оо, ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Положив у=!!" (х))ем', прологарифмируем обе части полученного равенства: !пу =гр (х) ((п((хЦ. При х — а получим (справа) неопределенность вида О оо.
Найдя (пп (и у, легко получить !(ш у. к-~а к а Действительно, в силу непрерывности логарифмической функции, )пп!ну= (п)пид, и если !п(!т у=Ь, то, очевидно, )нп у=ее. Если, к а х а х 'а » а в частности, Ь=+ оо или — оо, то, соответственно, !(шу=+ оо нли О.
Пример 6. Требуется найти 1!а х". Положив р=х», находим; к о 1п 1йп у= 1!в 1пу= 1!и» 1п(хк) = 1!пч (х!пх)1 К в.е х а х->О х 0 1 !их, х 1йп (х !и х) = 1!и» вЂ” = 1пп — = — Ъа х= О, к- 0 к- О ! х- 0 ! »ко х хе следовательно, !и Ип» у=о, откуда 1пп у=ее = 1, т. е.
х-к 0 к 1йп к" = 1. к- Анвлогичнын приемом находятся пределы и в других случаях. 5 6. Формула Тейлора Предположим, что функция у = ((х) имеет все производные до (и+1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х= а. Найдем многочлен у=Р„(х) степени не выше и, значение которого в точке х=-а равняется значению функции ((х) в этой точке, а значения его производных до и-го порядка в точке х = а равняются значениям соответствующих производных от функции 1(х) в этой точке: Р„ (а) = !' (а), Р;,(а) = !" (а), Р"„ (а) = у" (а), ..., Р„'"~ (а) = ~(»' (а). (!) Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции ! (х).
Будем искать этот миогочлен в форме многочлена по степеням (х — а) с неопределенными коэффициентами: Р„(х) = = С,+С,(х — а)+Се(х — а)'+С, (х — а)'+... +С„(х — а)". (2) Неопределенные коэффициенты фф..., С„определим так, чтобы удовлетворялись условия (!). 136 некОтОРые теОРемы ОдиФФеРенциРуемых Функциях [Гл.!у Предварительно найдем производные от Р„(х): Р„'(х) = С,+ 2С,(х — а)+ЗС, (х — а)'+... + лС„(х — а)' ', Р"„(х) = 2 1 С,+3 2С, (х — а)+...+л (л — 1) С„(х — а)" ', Рй'(х) = л(л — 1) °....2 1С„. Подставляя в левые и правые части равенств (2) и (3) вместо х значение а и заменяя на основании равенств (1) Р„(а) через 1(а), Р„'(а) через 1'(а) и т. д., получим 1(а) =С„ 1' (а) = С„ 1'(а) =2 1С„ 1"."' (Р) = 3 2 1С„ ~'"' (а) =л(л — 1) (л — 2) ...
2 1С„, откуда находим С,=1(а), С,=)" (а), С,= — 1" (а), С 1". (а) С ~ы1 (а) Подставляя найденные значения фф..., С„в формулу (2), получим искомый многочлен Р. (х) = ~(~)+" ) 'Г(~)+',,'~'Г (о)+~',—,'з'Г (о)+... ... + ~'ы (а) (5) Обозначим через )с„(х) разность значений данной функции 1(х) и построенного миогочлена Р„(х) (рис. 96): 11„(х)=)(х) — Р„(х), откуда 1(х) = Р„(х)+ Р„(х), или в развернутом виде р ) 1(х) = ~(а) + — „Г (а) + —, Г (а) +... ... + , 1'"' (а) + Р„ (х). (6) )с„(х) называется остаточныи члонохн Для тех значений х, для которых остаточный член 1с„(х) мал, многочлен Р„(х) дает приближенное представленйе функции 1(х). Рис. 96. Таким образом, формула (6) дает возможность заменить функцию д = 1 (х) многочленом у = Р„(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена )с„(х). ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Дальнейшая наша задача — оценить величину )т„(х) при различных значениях х.
Запишем остаточный член в форме (7) где (1 (х) есть некоторая функция, подлежащая определению, и в соответствии с этим перепишем формулу (6): х) 7 (й) + ! ! (й) + 2' !" (й) + ' ' " + 'х ' ) " (й) + ' '"!' ~ (х) (6') При фиксированных х и а функция Я (х) имеет определенное значение; обозначим его через Я.
Рассмотрим, далее, вспомогательную функцию от г (! заключено между а и х): Р(!) =М-Ю вЂ” =',' ~'(!)) — — ' "„' ~'(г) - " 1 " (!) (л ! !)! (х — !)" „(х — !)"+т где (1 имеет значение, определенное соотношением (6'); при этом считаем а и х определенными числами. Найдем производную Р' (!): ()+) () ! ) ()+ 2! — ' "'Г (!)+ "— '" "" '~"(!)+"(" "" '~'"'(!)— 2! ''' (л — !)! л! (' О" 1 + (Г)+(л+!)(х О" (), л! (л+ !)! или после сокращения Р' (!) (х ) Т(л+т! (!) ) (х ) () л! л! (8) Итак, функция Р (!) имеет производную во всех точках ), лежащих вблизи точки с абсциссой а (а(Г <х при а(х и а) ! )х при а ) х).
Далее, замечаем, что (на основании формулы (6')) Р (х) = О, Р (а) = О. Поэтому к функции Р(т) применима теорема Ролла, и, следовательно, существует такое значение т= с, заключенное между а и х, при котором Р' ($) = О. Отсюда на основании соотношения (8) получаем ',')")- (р+(х„,~)" а=о, )38 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О дИФФЕРЕНЦИРУЕМЪ|Х ФУИКЫИЯК 1ГЛ.
1л откуда ц )(лл.н (Вл) Подставляя это выражение в формулу (7), получаем (х о)л+ 1 В.(х)= („+,), 1'"'О6). Это — так называемая форма Лагранжа для остаточного члена. Так как е заключено между х и а, то его можно представить в форме л) 5=а+0(х — а), где 9 — число, заключенное между 0 и 1, т. е. 0 < 0 < 1; тогда формула остаточного члена примет вид )с„(х) = ( ), )'л+» 1а+ 9 (х — а)1. Формула 1(х)=) (а) +":„')" (а)+ "," )л(а)+... +(х ") 1'л'(а)+(х л) 1|л+м(а+0(х — а)) (9) и! (и+ 1)! называется форл|улой Тейлора для функции ) (х).
Если в формуле Тейлора положить а=О, то она запишется в виде ) (х) =1(0)+ 1 1 (О)+ — )л(0)+... + — 7'"'(О)+ 1'"~м (0х) (10) где 0 заключено между числами 0 и 1. Этот частный случай формулы Тейлора иногда называют формулой Маклорена. 0 7. Разложение по формуле Тейлора функций и", з(пх, созх 1. Разложение функции )(х)=е .
Находя последовательные производные от ) (х), получим ) (х) = е", 1 (0) = 1, Г (х) = е", 1| (0) = 1, )|л) (х) = ех, )|л) (0) = 1. Подставляя полученные выражения в формулу (10) 0 О, будем и||еть х хл хл хл хлл| е"=1+ — + — + — +...+ — + . е'" 0<9<1. ! 2! 3! ' ' ' и| (и + 1)1 ") См. конец й 2 настоящей главы.
рлзложвнне оункцнн ., ыа х, 139 Если ~х ~ ( 1, то, взяв и=8, получим оценку остаточного члена: )Р < 9 3 < 10 При х=1 получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа е: + + 2! + 31 + ' ' ' + 31 ' 1 ! ! производя вычисления в десятичных дробях с шестью е) десятичными знаками, а затем округляя результат до пяти десятичных знаков, найдем е = 2,71828. Здесь погрешность не превосходит числа — или 0,00001, 3 9! Отметим, что, каково бы ни было х, остаточный член х"+г )т'„= 1, ее' — 0 при и- оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
