32_PiskunovT1 (523111), страница 23

Файл №523111 32_PiskunovT1 (Пискунов Н. С. - Дифференциальное и интегральное исчисления) 23 страница32_PiskunovT1 (523111) страница 232013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Теорема. Пусть функции )" (х) и ~р(х) непрерывны и дифференцируемы при всех к~ а в окрестности точки а, причем производная ~р'(х) не обращается в нуль; пусть, далее, 1ип 1'(х) = оо, 1!ш 5р (х) = оо 13Р НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ОДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ !ГЛ.!У а ( с < а, будет выполняться неравенство !' с)-А!< или А — е « —, А+в, Г (с) ф' (с) Далее рассмотрим дробь (б) 1 —— ф (а) ф (х) 1 —— 1(а) Г (х) Закрепив а так, чтобы обеспечивалось выполнение неравенства (Б), будем х приближать к а.

Так как 1(х) — оо и ср (х) — оо при х — а, то ф (а) Ит '(') =1 х-~а 1 1(а) Цх) ф (а) ф(х) 1 )(а) 1 —— 1 (х) (е или ф (а) 1 — е ( Р( (1+е. 7 (а) 1 —— ) (х) Перемножая соответствующие члены неравенств (6) и (7), получим ч (а) (А — е) (1 — е) ( —,' ф( - < (А+с) (1+е), ф' (с) / (а) 1 (х) или на основании равенства (5) (А — е) (1 — з) « — (А+а) (1+а). ) (х) ф (х) Так как е — произвольно малое число при х, достаточно близком к а, то из последних неравенств следует, что 1!гп — = А, 1(х) „, с ф(х) и, следовательно, при ранее выбранном е > 0 для х, достаточно близких к а, будем иметь Фы ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ 133 или на основании (1) 7(х) р (х) с~(х) х,п юр'(Х) 1пп —.= 1нп, = А, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если в условии (1) А = по, т. е. р (х) ср' (х) то равенство (2) остается справедливым и в атом случае. Действительно, из предыдущего выражения следует 1пп —,=О. ~' (х) ~' (х) Тогда по доказанной теореме <р (х) . ~р' (х) , г(х),, т" РО 1пп — = 1пп, =О, откуда 7 (х) . ч (х) 1пп — = оо. Замечание 2. Доказанная теорема легко распространяется на случай, когда х оо. Если 1нп р" (х)=по, 1нп р(х)=оп и х а х а р (х) Ч' (х) 1нп, существует, то )РО Р (х) а ~р(х) „~ ~р'(х) ' 1пп — = !Ип —, (8) Замечание 3.

Отметим еще раз, что формулы (2) и (8) справедливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный нли бесконечный), существует. Может случиться, что предел, стоящий слева, существует, в то время как предел, стоящий справа, не существует. Приведем пример. Пусть требуется найти х+и!и х !пп х Ф Зтот иредел существует и равен 1. Действительно, х а хаа Т Доказательство проводится путем замены х = 1)г, как зто делалось прн аналогичных условиях в случае неопределенности вида — „(см.

$ 4, замечание 4). о П р и м е р 1. 1вп — = 1пп —,= ПШ вЂ” = со. ех (ех) ех х х-- (х)' х- ) 134 некоторые теоремы одиэоеренциргемых огнкциях 1гл.пг Но отношение производных (х+а!пх)' 1+соах (х)' 1 =1+соз х при х оо не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2. оха+Ь, 2ах а Пример 2. 1пп = Иа сха — П х 2сх с ' Пр имер 3. 1 !Кх .

соса х 1 соз'Зх . 1 2 ЗсозЗхз!пЗх Иа — = Иа — = Па — = Иа „. а!а!яЗх „„„~а 3 х а!а 3 созах х и1е 3 2созхз!пх ;а Зх Иа — Па — Иа сое Зх . иа Зх 3 з!и Зх ( — 1) ( — 1) ( — 1) — 3 3. а-~х(а соех х-~аа и!пх х а!а а!пх ! 1 1 Пример 4. Иа — = Иа — „=О. Вообще, при любом целом п>О к 1 х сх х ех х" аха-! . п(п — 1) ... ° 1 Па — = Иа =...= Иа =О.

а Сх х- Сх х сх и смысл которых состоит в следу!ощем. а) Пусть 1пп((х) =О, 1пп !р(х) = оо; требуется х-~ а х-~а 1пп [1(х) !р(х)1. Это — неопределенность типа 0 оо. а а Если искомое выражение переписать в виде 1пп [~ (х) !р (х)1 = 1пп— а-а а х-1 а Ч (х! найти или в виде 1пп [)(х) !р (х)1= 1пп —, а-~ а х-~а ! (х) О оа то при х- а мы получим неопределенность вида — или вида —. О ° а ! 1пк, х П р и м е р 5.

оп х" 1п х= Па — = 1пп а а а а 1 х а и Ха хаак = — 1нп — = О. а ам б) Пусть 1!шг(х)=0, !1ш!р(х)=0; требуется найти х-~ а х а 1!сп [):(хне !х>, или, как говорят, раскрыть неопределенность вида 0', К предыдущим случаям сводятся случаи других неопределенностей, которые символически записывают так: а) 0 оо, б) Оа, в) ооа, г) 1", д) оо — оо, ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Положив у=!!" (х))ем', прологарифмируем обе части полученного равенства: !пу =гр (х) ((п((хЦ. При х — а получим (справа) неопределенность вида О оо.

Найдя (пп (и у, легко получить !(ш у. к-~а к а Действительно, в силу непрерывности логарифмической функции, )пп!ну= (п)пид, и если !п(!т у=Ь, то, очевидно, )нп у=ее. Если, к а х а х 'а » а в частности, Ь=+ оо или — оо, то, соответственно, !(шу=+ оо нли О.

Пример 6. Требуется найти 1!а х". Положив р=х», находим; к о 1п 1йп у= 1!в 1пу= 1!и» 1п(хк) = 1!пч (х!пх)1 К в.е х а х->О х 0 1 !их, х 1йп (х !и х) = 1!и» вЂ” = 1пп — = — Ъа х= О, к- 0 к- О ! х- 0 ! »ко х хе следовательно, !и Ип» у=о, откуда 1пп у=ее = 1, т. е.

х-к 0 к 1йп к" = 1. к- Анвлогичнын приемом находятся пределы и в других случаях. 5 6. Формула Тейлора Предположим, что функция у = ((х) имеет все производные до (и+1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х= а. Найдем многочлен у=Р„(х) степени не выше и, значение которого в точке х=-а равняется значению функции ((х) в этой точке, а значения его производных до и-го порядка в точке х = а равняются значениям соответствующих производных от функции 1(х) в этой точке: Р„ (а) = !' (а), Р;,(а) = !" (а), Р"„ (а) = у" (а), ..., Р„'"~ (а) = ~(»' (а). (!) Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции ! (х).

Будем искать этот миогочлен в форме многочлена по степеням (х — а) с неопределенными коэффициентами: Р„(х) = = С,+С,(х — а)+Се(х — а)'+С, (х — а)'+... +С„(х — а)". (2) Неопределенные коэффициенты фф..., С„определим так, чтобы удовлетворялись условия (!). 136 некОтОРые теОРемы ОдиФФеРенциРуемых Функциях [Гл.!у Предварительно найдем производные от Р„(х): Р„'(х) = С,+ 2С,(х — а)+ЗС, (х — а)'+... + лС„(х — а)' ', Р"„(х) = 2 1 С,+3 2С, (х — а)+...+л (л — 1) С„(х — а)" ', Рй'(х) = л(л — 1) °....2 1С„. Подставляя в левые и правые части равенств (2) и (3) вместо х значение а и заменяя на основании равенств (1) Р„(а) через 1(а), Р„'(а) через 1'(а) и т. д., получим 1(а) =С„ 1' (а) = С„ 1'(а) =2 1С„ 1"."' (Р) = 3 2 1С„ ~'"' (а) =л(л — 1) (л — 2) ...

2 1С„, откуда находим С,=1(а), С,=)" (а), С,= — 1" (а), С 1". (а) С ~ы1 (а) Подставляя найденные значения фф..., С„в формулу (2), получим искомый многочлен Р. (х) = ~(~)+" ) 'Г(~)+',,'~'Г (о)+~',—,'з'Г (о)+... ... + ~'ы (а) (5) Обозначим через )с„(х) разность значений данной функции 1(х) и построенного миогочлена Р„(х) (рис. 96): 11„(х)=)(х) — Р„(х), откуда 1(х) = Р„(х)+ Р„(х), или в развернутом виде р ) 1(х) = ~(а) + — „Г (а) + —, Г (а) +... ... + , 1'"' (а) + Р„ (х). (6) )с„(х) называется остаточныи члонохн Для тех значений х, для которых остаточный член 1с„(х) мал, многочлен Р„(х) дает приближенное представленйе функции 1(х). Рис. 96. Таким образом, формула (6) дает возможность заменить функцию д = 1 (х) многочленом у = Р„(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена )с„(х). ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Дальнейшая наша задача — оценить величину )т„(х) при различных значениях х.

Запишем остаточный член в форме (7) где (1 (х) есть некоторая функция, подлежащая определению, и в соответствии с этим перепишем формулу (6): х) 7 (й) + ! ! (й) + 2' !" (й) + ' ' " + 'х ' ) " (й) + ' '"!' ~ (х) (6') При фиксированных х и а функция Я (х) имеет определенное значение; обозначим его через Я.

Рассмотрим, далее, вспомогательную функцию от г (! заключено между а и х): Р(!) =М-Ю вЂ” =',' ~'(!)) — — ' "„' ~'(г) - " 1 " (!) (л ! !)! (х — !)" „(х — !)"+т где (1 имеет значение, определенное соотношением (6'); при этом считаем а и х определенными числами. Найдем производную Р' (!): ()+) () ! ) ()+ 2! — ' "'Г (!)+ "— '" "" '~"(!)+"(" "" '~'"'(!)— 2! ''' (л — !)! л! (' О" 1 + (Г)+(л+!)(х О" (), л! (л+ !)! или после сокращения Р' (!) (х ) Т(л+т! (!) ) (х ) () л! л! (8) Итак, функция Р (!) имеет производную во всех точках ), лежащих вблизи точки с абсциссой а (а(Г <х при а(х и а) ! )х при а ) х).

Далее, замечаем, что (на основании формулы (6')) Р (х) = О, Р (а) = О. Поэтому к функции Р(т) применима теорема Ролла, и, следовательно, существует такое значение т= с, заключенное между а и х, при котором Р' ($) = О. Отсюда на основании соотношения (8) получаем ',')")- (р+(х„,~)" а=о, )38 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О дИФФЕРЕНЦИРУЕМЪ|Х ФУИКЫИЯК 1ГЛ.

1л откуда ц )(лл.н (Вл) Подставляя это выражение в формулу (7), получаем (х о)л+ 1 В.(х)= („+,), 1'"'О6). Это — так называемая форма Лагранжа для остаточного члена. Так как е заключено между х и а, то его можно представить в форме л) 5=а+0(х — а), где 9 — число, заключенное между 0 и 1, т. е. 0 < 0 < 1; тогда формула остаточного члена примет вид )с„(х) = ( ), )'л+» 1а+ 9 (х — а)1. Формула 1(х)=) (а) +":„')" (а)+ "," )л(а)+... +(х ") 1'л'(а)+(х л) 1|л+м(а+0(х — а)) (9) и! (и+ 1)! называется форл|улой Тейлора для функции ) (х).

Если в формуле Тейлора положить а=О, то она запишется в виде ) (х) =1(0)+ 1 1 (О)+ — )л(0)+... + — 7'"'(О)+ 1'"~м (0х) (10) где 0 заключено между числами 0 и 1. Этот частный случай формулы Тейлора иногда называют формулой Маклорена. 0 7. Разложение по формуле Тейлора функций и", з(пх, созх 1. Разложение функции )(х)=е .

Находя последовательные производные от ) (х), получим ) (х) = е", 1 (0) = 1, Г (х) = е", 1| (0) = 1, )|л) (х) = ех, )|л) (0) = 1. Подставляя полученные выражения в формулу (10) 0 О, будем и||еть х хл хл хл хлл| е"=1+ — + — + — +...+ — + . е'" 0<9<1. ! 2! 3! ' ' ' и| (и + 1)1 ") См. конец й 2 настоящей главы.

рлзложвнне оункцнн ., ыа х, 139 Если ~х ~ ( 1, то, взяв и=8, получим оценку остаточного члена: )Р < 9 3 < 10 При х=1 получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа е: + + 2! + 31 + ' ' ' + 31 ' 1 ! ! производя вычисления в десятичных дробях с шестью е) десятичными знаками, а затем округляя результат до пяти десятичных знаков, найдем е = 2,71828. Здесь погрешность не превосходит числа — или 0,00001, 3 9! Отметим, что, каково бы ни было х, остаточный член х"+г )т'„= 1, ее' — 0 при и- оо.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,09 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее