32_PiskunovT1 (523111), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Замечание 1. Доказанная Рис. 92. теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка [а, Ь1 не обращается в нуль, но принимает равные значения 1(а) = 1(Ь) (рис. 92). Доказательство в этом случае проводится точно так же, как и ранее. Замечание 2. Если функция )(х) такова, что производная существует не во всех точках внутри-отрезка [а, Ь1, то утверждение теоремы может оказаться неверным (т.
е. в этом случае Рис. 94. Рис. 93. на отрезке [а, Ь1 может не оказаться такой точки с, в которой производная 11 (х) обращается в нуль). Так, например, функция у=1(х) =1 — ~хи (рис. 03) непрерывна на отрезке [ — 1, 11 и обращается в нуль на концах отрезка, однако производная 1 (х) = — = внутри промежутка в нуль / 2 — з г- не обращается. Это происходит оттого, что внутри промежутка существует точка х=О, в которой производная не существует (обращается в бесконечность). График, изображенный на рнс. 94, дает нам еще один пример функции, производная которой не обращается в нуль на отрезке [О, 21.
Для этой функции также не выполнены условия теоремы Ролля, так как в точке х=1 функция не имеет производной. й 2, Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) Теорема Лагранжа. Если функция )'(х) непрерывна на отрезке [а, Ь1 и дифференцируела во всех внутренних точках етого отрезка, то внутри отрезка [а, Ь1 найдется по крайней лере одна точка с, а(с<Ь, что ) (Ь) — ) (а) = (' (с) (Ь вЂ” а).
(1) Доказательство. Обозначим буквой Я число— У (Ь) — У (а) т. е. положим 7 (Ь) — 1(а) Ь вЂ” а (2) и рассмотрим вспомогательную функцию Р (х), определенную равенством Р (х) =1(х) — ~(а) — (х — а) Я. (з) Выясним геометрический смысл функции Р(х). Для этого напишем сначала уравнение хорды АВ (рис. 95), учитывая, что ее 1(Ь) — Г (а) угловой коэффициент равен ( ( ) = Я и что.
она проходит через точку (а; ( (а)). у — )'(а) = Я (х — а), отсюда у = ) (а) + Я (х — а). Но Р (х) =) (х) — [Г (а)+ Я (х — а)1. Следовательно, Р (х) для каждого значения х равняется разности ординат кривой у=((х) и хорды у= ((а)+Я (х — а) для точек с одинаковой абсциссой. Легко видеть, что Р(х) непрерывна на отрезке [а, Ь1, дифференцируема внутри этого отрезка и обращается в нуль на концах отрезка, т.
е. Р (а) =О, Р(Ь) =О. Следовательно, к функции Р(х) применима теорема Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка существует точка х=с такая, что Р'(с)=О. Но Р'(х) =Г'(х) -Я. Значит, Р'(с)=1'(с) — Я=О, откуда (е =('(с). Подставляя значение Я в равенство (2), будем иметь: (1') )26 ивкотогыа твогвмы о диФФвгвнцивтамых Фтикциях (гл. 1ч 333 теОРемА ОБ ОтнОшении НРиРАщенин дВух Функции (Р7 откуда непосредственно следует формула (1). Таким образом, теорема доказана.
Чтобы выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа, обратимся к рис. 05. Из рисунка непосредственно ясно, что величина — представляет собой тангенс угла сс наклона хорды, 1 (Ь) — 7 (а) проходящей через точки А и В графи- у ка с абсциссами а и Ь. )у ') С другой стороны, )" (с) есть тан- й гене угла наклона касательной к кри- н вой в точке с абсциссой с.
Таким об- у=Я разом, геометрический смысл равенства ] г~4 (1') нлн равносильного ему равенства (1) состоит в следующем: если во всех точках дуги АВ существует касательная, Я~ то на этой дуге найдется точка С меж- а ду А и В, в которой касательная о а а в Ь л п а р а л л е л ь н а х о р д е, соединяющей Рис. 95. точки А и В. Заметим, далее, следующее. Так как значение ", удовлетворяет условию а < с < Ь, то с — а < Ь вЂ” а, или с — а = 0 (Ь вЂ” а), где 0 есть некоторое число, заключенное между О и 1, т. е.
О < 0 < 1. Но тогда с=а+0(Ь вЂ” а), и формуле (1) можно придать следующий вид: Г(Ь) — )". (а) =(Ь вЂ” а) ~'(а+0(6 — а)], О < 0 < 1. (1') й 3, Теорема об отношении приращений двух фуинцнй (теорема Коши) Теорема Коши. Если ~(х) и у(х) — две функции, непрерывные на отрезке (а, Ь] и дифференцируемые внутри него, причем <р'(х) нигде внутри отрезка не обраи(ается в нуль, пв внутри отрезка (а, Ь] найдется такая точка х = с, а < с < Ь, что 7 (Ь) — ) (а) Р (с) Ф (Ь) — Ф (а) <~' (С) ' (1) Доказательство.
Определим число Я равенством 1(Ь) — ) ( ) (2) В (Ь) В (а) Отметим, что юр(Ь) — юр(а)~О, так как в противном случае ~р(Ь) равнялось бы ~р(а), и тогда по теореме Ролля производная ~р'(х) обращалась бы в нуль внутри отрезка, что противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию Р(х) =)'(х)-г(а) — Ц~<р(х) — д(а)]. [23 НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕИЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ..Ш Очевидно, что Р(а) =0 и Р(Ь) = 0 (это вытекает из определ«- ния функции Р(х) и определения числа Я). Заметив, что функция Р(х) удовлетворяет на отрезке 1а, Ь1 всем условиям теоремы Рояля, заключаем, что между а и Ь существует такое значение х=с (а <с <Ь), что Р'(с)=0.
Но Р'(х)=1'(х) — ([ф'(х), следовательно, Р' (с) = 1' (с) — фр' (с) = О, Г (с) с ф' (с) Подставляя значение () в равенство (2), получим равенство (1). Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, как это может показаться с первого взгляда, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби 1 (») — 1 (а) ф(») — р(а) ' Действительно, мы получили бы в этом случае (после сокращения дроби на Ь вЂ” а) формулу 1 (Ь) — 1 (а) 11' (сх) ф (») — ф (а) ф' (с ) 8 в которой а <с, <Ь, а<с, <Ь.
Но так как, вообще говоря, с[~с„то полученный результат, очевидно, не дает еще теоремы Коши. й 4, Предел отношения двух бесконечно малых величии ( з т «раскрытие неопределенностей вида — »~ з 3 Пусть функции 1(х) и ф(х) на некотором отрезке (а, Ь) удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х=а этого отрезка, т.
е. 1(а)=0 и ф(а)=0. Отношение — не определено при х=а, но имеет вполне 1(х) ф (х) определенный смысл при значениях хчьа. Следовательно, может быть поставлен вопрос о разыскании предела этого отношения при х- а. Вычисление пределов такого типа называется обычно о «раскрытием неопределенностей вида -». С такого рода задачей мы уже имели дело и раньше, например 8[8 Х при рассмотрении предела 1пп —, при нахождении производх -~ 8 «[а х ных от элементарных функций. Выражение — при х=О не 8ЫХ имеет смысла, т.
е. функция Р(х)= — „не определена при х=О, в41 ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 129 81п х но мы видели, что предел выражения — при х- 0 существует х и равняется 1. Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции /(х) и р(х) на некотором отрезке 1а, Ь) удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х=а, т. е. /(а)иа /' (х) =~р(а) =О; тоеда, если существует предел отношения, при ~р' (х) х- а, то существует и Вгп —, причем / (х) а~р(х) ' 1пп — = 1пп ', / (х) . р (х) юр (х) ~р'(х) Доказательство. Возьмем на отрезке (а, о) какую-нибудь точку х~а. Применяя формулу Коши, будем иметь /(х) — /(а) / (и) т (х) — т (а) ~' /Ц ' где Б лежит между а и х. Но по усяовию /(а) =~р(а) =О, значит (1) Если х — а, то и $ — а, так как з заключено между х и а.
При этом, если 1пп, =А, то 1(т —, также существует и /' (х) . /' ($) Ч' (х) ' , Ч' ($) равен А. Отсюда ясно, что / (х) ° /' (1) ° Р (з) /' (х) с~ (х) . <р' (Ц) в ср' (З) „~~ <р' (х) и окончательно 1нп — = п1 —, / (х) В /' (х) т (х) х -~ а т' (х) Замечание 1. Теорема имеет место н в том случае, если функции /(х) или ~р(х) н е о и р еде лен ы при х=а, но !Пп /(х)=0, х а 1пп ср (х) О. а-в а Для того чтобы свести этот случай к рассмотренному ранее, мы дооп редел яем функции /(х) и вр(х) в точке х=а так, чтобы они стали непрерывными в точке а. Для этого до- статочно положить /(а)=1(ш/(х)=0, <р(а)= 1(шгр(х)=0, так х а х -ва как, очевидно, предел отношения — при х — а не зависит / (х) т (х) от того, определены ли функции /(х) и Ч~(х) в точке х=а.
3 а меч ание 2. Если /' (а) =~р' (а) =0 и производные /' (х) и ~р' (х) удовлетворяют тем условиям, которые были наложены 5 Н. С. Пиаиуиав, т. 1 1ЗО нвкотоныи творимыодиээнрннциркимых финкциях (гл. ш з1п5х, (Мп 5х)',, 5 соз 5х 5 Пример 1. пайп — = 1пп = 1пп— х е Зх х о (Зх)' х о о 3 1 Пример 2. Па 1п(1+х) 1+ х 1 = Па — = — =!. х е к х е 1 ! Пример 3. е" — е "— 2х .
ек+е "— 2, ек — е-х, ек+е"х 2 Па =Па . =1ип =Па — = — =2. х е к — зшх к е 1 — соек к е з!их к о созх 1 Здесь три раза пришлось применить правило Лопиталя, так как отноше. ния первых, вторых и третьих производных при х=о приводят к неопреде- О ленности — .
О' 3 а меч ан не 4. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если 1пп /(х) =0 и 1пп <р(х)=0. к -~. а Действительно, полагая к=1/г, видим, что г — 0 при х — оо и, следовательно, Игп /" (1/г) =- О, 1пп !р (1/г) = О. г -~ о х о Применяя правило Лопиталя к отношению —, находим: /(1/г) О/(1/г) ' / (х) . / (! /г) . /' ( 1/г) ( — 1/г') . Г ( 1 /г) ° /' (х) к +ы Ф (к) г - о ~р (!/г) г - о Ф (!/г) ( 1/гз) г - о ~Р (!/г) к Ф (х) что и требовалось доказать.
й х / 8!ив /г соз — !1— х х Пример 4. Пш — = 1нп и 1 х~ ю хз) х = Па х сов — =/о. х х в условиях теоремы на функции /(х) и !р (х), то, применяя правило Лопиталя к отношению —,, приходим к формуле /' (х) ~р' (х) з 1пп /,() = 11ш „() и т. д. к а%'(х) к-~а%" 00 Замечание 3. Если <р'(а)=0, но ~'(х)~0, то теорема приложима к обратному отношению —, которое стремится к нулю а (х) /(к) ' при х- а.
Следовательно, отношение — стремится к беско/ (х) ~р (х) нечностн. $51 ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ 131 3 б, Предел отношения двух бесконечно больших величин ( «раскрытие неопределенностей вида — »11 00/ и пусть суи(ествует предел 1ип —, =А. р (х) а-~а к (к) Тогда сушествует предел 1ип — и 1 (к) е (х) 1(х) . р (х) о (х) х а е' (х) 1ип — = 1ип —,=А., (2) Доказательство.
В рассматриваемой окрестности точки а возьмем две точки а и х так, чтобы было а < х < а (или а < <х < а). По теореме Коши будем иметь Г (х) — 1 (а) р (с) 3 ~р (х) — е (а) е' (с) () где а <с < х. Левую часть равенства (3) преобразуем так: (~Ф) 1(х) — 1(п) 7 (к) 1(х) е (х) †<р(сс) <~ (х) <р(п) е (х) (4) Из соотношений (3) и (4) получаем ))(а) Р (с) Цх) 1 (к) е' (с) е (к) е е(и) ч (') Отсюда находим е (а) 7 (х) р (с) о (к) е(х) е'(с) 1(сс) 1(х) Из условия (1) следует, что при произвольно малом е > О можно а выбрать настолько близким к а, что для всех х=с, где Рассмотрим, далее, вопрос о пределе отношения двух функций )" (х) и ~р(х), стремящихся к бесконечности при х- а (нлн прн х — оо) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
