32_PiskunovT1 (523111), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Из рис. 88 видно, что $271 ПРОИЗВОДНАЯ РАДИУС-ВЕКТОРА б~р Р г(8 1К гр= — =— а!х ~1х ' лΠ— О зпг 8+ О соз 0 или (К гр= ЛР (3) ЛΠ— соз 8 — Р вгп 0 Обозначим через р угол между направлением радиус-вектора и касательной. Очевидно, что р,=гр — О, (я р — 180 'К Р=1+1ятгав. Подставляя сюда вместо 1Кгр его выражение (3) и производя преобразование, получим (Р'з(п О+рсоа 8) созе — (Р'сов 8 — рзгп О) зги О Р (р' созе — рвгп О) сова+(р' вьге+р созе) вы О Р' з или ре = р с1 К )в.
(4) Таким образом, производная радиус-вектора по полярному углу равна длине радиус-вектора, умноженной на котангенс угла между радиус-вектором и касательной к кривой в данной точке. П р имер. Показать, что касательнаи к логарифмнчесиой спирали р=еее пересекается с радиус-вектором под постоянным углом.
Решен не. Из уравнения спирали находим р'=авве. На основании формулы (4) получаем с(яр= — =а, т, е. Р=агсс1яп сопз1. Р Р $ 27. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу Пусть имеем уравнение кривой в полярных координатах; р=у(9). (1) Напишем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым: д=рсоз9, у=рз)ПО. Подставляя сюда вместо р его выражение через О из уравнения (1), будем иметь: ,и ггг х=((9) созО, у=1(9) з)ПО. (2) Р Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями данной кривой, причем Р 12 параметром является полярный угол О вв (рис. 91). Если через гр обозначим угол, состав- Рис. 91. ленный касательной к кривой в некоторой точке М(р, 9) с положительным направлением оси абсцисс, то будем иметь !ГЛ.
П! !16 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ У ну аж неви я к главе РП а — Зх уз 2«з — 1 у= «У 1+х' Оав. у' = 2«+ . 37. „[1+ ~~l „)' О Найти производные функций, пользуясь непосредственно определением производной; 1. у =хз. Отв. 3«з. 2. у = 1/х. Отв. — 1/х'. 3. у= ]г х. Оав. 1/(2 у' -х). 4. У=1/у х. Оав. — 1/(2«]/ х), 5. у=з!пах. Оли. 2в!их сов«. 6. У=2хз — х. Оав, 4х — 1. Определить тангенсы углов наклона касательных к кривым: 7. У=х!. а) Прн х=1. Оли.
3. 6) Прн х= — 1. Оав. 3; сделать чертеж. 6. У=1/х. а) Прн х=!/2. Отв. — 4. 5) При х=1. Отв. — 1; сделать чертеж. 9. У=]/ х при х=2. Отв. $Г 2/4. Найти производные функций: 16. У=хв+Зхз — 6. Отв. у'=4хз+бх. !1. У=бхз — хз. Оав. у'=13хз — 2«. х' хз, 5хз 2х х' — ха+ 1 12. у= — — — х. Отв. у'= — — — 1. 13. у= а+Ь а — Ь ' ' а+Ь а — Ь ' ' 5 Зхз — 2« хз 2« Отв.
у'звг 14. у = 2ахз — +с. Оав. у' = бах' —. 16. У=бхтгз+4«зГз+2«. Отв. у'=21хза+10«з/з+2. 16. у= — УЗ«+ У х+ ° х Ови. у'==+ з — — з, 17. у= —. Оав. у'= зг 3 1 1 (х+1)з, З(х+1)з(х — 1) 2]Г х Зуз, «з .г хауз ' ' 2«згз ° х т хз лз, 1 и 2х 2лз 16. у = — + — + — + —, Отв. у' = — — — + — †. 16. у = УЗГ«у т х лз хз' ' т хз лз хз ' 1 ахз Ь у' « — 2у х+5, Оли. у'= — —, —, 20. 3 Рь.Г рг —,, ' ' з~- у— 5, 3 1 Отв. у'= — ах 'з — — Ьх-з~з+ —.г-из 21. У=(1+4«т)(1[-2«з), Отв, у' 3 2 б =4х(1+Зх+1Охз). 22.
У=х(2х — 1)(Зх+2). Отв. у'=2(9«з [-х — П, 23. у= (2х:1) (хз — бх+ 3). Отв. у' = бх' — 26х+ 12, 24. у = 2хв Ьз — «з 4хз (2Ьз — хз) а — х, 2а Оли. у'= . 26. у= †. Оав. Уз= — . 26. /(1)- (Ьз — хз)з ' ' а+х' ' (а-[-х)з' = — з ° Оав. /'(1) = 1 з з . 27. /(з) = — . Отв. /'(з) = 1, П(3+1*) (,+4)з 1+1 (1+Г ) ' з+3 (в+2) (в+4) 6 «в+2 хз — 2хз — бхз — 4х-[-2 (з+3) У хз — х — 2 ' (хз — х 2)з ху, хР ~ [(р — а) хж — раи] 29. у= —, Отв. у'вл . 36. у (2«з З)з аа ' (Хж — аа)з О .
у =3 (2« — 3). 31. У=('+а). О . у=!0«(ха+а*). 32. У=~в +а~. Ови. у'=, 33. У=(а+х)ф~а — х, ]г' хе+аз Оав. 34. у= гзг —. Оа, у = г 1+«, 1 1 — х (1 — х)]/ ! '1' 1+ 4«з 36. . ° " (=~'"+ +!. хз]Г(!+хз)з ' 1гл. гц пнонзиодная н днов не нцнал Н8 1 х, 1 з!п х, 1+а!пзх 81. у= — !йах+!п сов х. Отв. у'=!61«. 82. у=еле. Отв, у'=авве.
2 83. у=ее»+з. Отв. у'=4ее»+'. 84. у=а»а. Отв, 2ха»»1па. 83. у=7»е+з». Отв, у' = 2 (х+1) 7»'+з» 1и 7. 86, у=с»а»а. Олы, у' = — 2хсва-»а 1п с. 87. у=ае . Отв. у'==в ° 88. г=аа. Отв. г =а 1па. 2у'х 89. г=а!" . Олт. — = . 90. у=е» (1 — к ). Отв, у = Ыг а!аз !па а <Ю 8 е» 1 2е" е» = е» (1 — 2х — ха). 91.
у = — . Отв, у' = е»+1 ' ' (е»+ 1)а' ' 1+е»' 92. у= 1п —. 1 а, 1 Отв. у' = —, 93. у = — (е»зе — е-»бе). Отв, у' = — (е~~ »+ в- »~е). 1+в»' ' 2 ' ' 2 94 у — еа!и». Оввз у~ — еа!пхсоа» 98. у — а!в»» Олнь =ла!в»»весел«!па. 96. у=все» 'а!пх. Отв. у'=е"е»(созх — в!п'к). 97. у=в» 1и з)п к. Отв. у' =е" (с!3 х+ !п з!и к).
98. у= «»еа!а». Отв. у'=х» "зев!а «(л+х сов х). 99. у=х». Отв. у' =х»(1п х+1). Г! — !пх! 100. у=«ы». Отв. у'=хзг» ! — !. 1О!. у=к!" ». Отв, у'=х!а»-з1пха. хз !92 у — е»», Олы, у~ — е»» (1+!п «) «». 103. у — (х/л)»» Отв. у'=л ~ — ) ~1+!и — ~ .
104.у=«з!а». Отв. х"а» ~ — +!иксов«) . 168. у= (а!и«)». Олы. (з!п к)» (1п з!и х+к с!3 х). 106. у=(з!п х)!ах. 1 — е» 2ек Отв. у'=(тп к)!а" (!+зев' х !п з!п х). 107. у=!6 —. Отв. у'= — зс 1+в» (1+е»)а Х . 108. у=а!п )г ~ — 2 '. Отв. у'= — 2» !п2. ! — соз бг1 — 2» 1 — е» ' 2 г'1 — 2» созз— 1+ е» 169. 8=10»!а». Отв. у'=10» !в»1п 10 (!8«+ —" созе «/ Найти производные функций, предварительно логарифыируя зти функции: З Гх(«а+1), 1 /х(«»+1) / 1 2х 2 Н0. у= бгг . Отв. у'= — аг (.— 1) ' =3 Г ( — 1)* ~. +1 / (х+ 1)зрГф — 2), (х+ 1)а)Г(х — 2)а / 3 б — ' тв' У б — — (,х.» 1+ у' (к — 3)з )Г (х — 3)а (х+1) (5хз+ !4«+5) ~/ (х — 1)з (х+2)е(«+3)з ' ' ~~ а а Г б 4 3 — 181«а+480« — 27! 114.
у= х (!+ха) рб/ — — 4 à — — бз г У! — «а ' Отв. у' = . 113. у = «з (а+Зх)з (а — 2х)а. Отв, у' 1 +Зхз — 2«е (1 — ха)а~з = Бхе (а+ Зх)з (а — 2х) (а'+ 2ах — 12хз). УНРА7КНЕНИЯ К ГЛАВЕ Н! 119 128 129 140,у=!п + ) + +2агс!6 ! .Отв. у'= 1 — ау~ 2+ха ! — хз 1+ хе хзл 1 2и)х)с 41. у агссоз, Отв Найти производные функций: х 1 116.
у=агсз1п —. Оте, у'= . 117. у=(агав!па)з. Оте. у' = а ~аа — хз агсв"' х !18. у = агс!д (хз-(-1). Оте, у' = х . НЗ. 2х, 2 = агс!6 — . Отв. у'=,. 120. у= атосов (х'). Отв. у' = 1 — х'' 1+х'' — 2х агссоз х, — (х+ ге! — хеагссозх) хв )Г! — хз — !21.
у= —. Оте. у'= . 122. у агсвш =. Отв, у'= . 123. у=хг а — х +а агсв1п — ". у 2 9/1 — 2х — хз а х Га — х Отв. у'=2)/а~ — х'. 124. у=)/аз — хс+аагсзш —. Олы. у'= гв/ а У а-1-х " о+а с(и 1 1 х)/'3 125. и=асс!6 —. Оте. — = . 126. у==ага!д— 1 — ао сЬ 1+ ов З/ 3 1 — хз Оте, у' = . 127. у=х агсзгп х.
Оте, у'=агсз!их+ ха+1 хе+ха+1 у' 1 — хв ! !'(х) = агссоз (1п х). Оте. !' (х) =— х )г 1 — 1пв х ! (х) = ассе!и З/зШ х . Оте. Г' (х) = 2 $/в1пх — втвх - /1 — созх 1 130. 9=асс!6 гй/ У !+созх (О~х(л). Оте. у'= —. 131. х=есгс1вх 2 ' загс!в х ех е-х 2 Озы. у'= —. 132. у=агс!6 . Отв. у'= .
133.у=хассе!сх. 1+ха 2 ' ' ' е +в-"' ессс!с х /агсв!п х 1и х Оте. у'=х""!ах + ' ~1. 134. у=агсз1п(з1пх). Отв, у' х )/1 — хз/ созх ( +1 в 1-й и 4-й четвертях, 4вшх 4 а /х — а 2аз !36. у=агс!6 — +!и 1г/ —. Отв. у'= —. 5+Зсозх' х Р/ х+а хе ас' /1+х1гГс 1 хс Зхз — 1 137. у = 1п ~ — /! — — аго!Зх. Отв. у'= —. 138. у=— ~1 — х/ 2 ' ' 1 — хс' ' Зхв +!п)/!+ха+ агс16х. Отв. у'= —, хе+ 1 1 х+1 1 2х — 1, 1 139.
у= — !п + — агс16 †. Отв. у'= гГхз — х+1 у' 3 )/ 3 хв -)-1' 120 !ГЛ. ГИ ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Дифференцирование неявных функций Найти —, если: бу >!х ' 142. у'=4рх. Отв, — = —. 143. ха+у'=ат. Олм. — = — —. 144. Ьтхт -(- >(у 2р ау х ба — —, бу Ьах >(у 2а +агут=азат. Отв, — = — —. 145. уа — Зу+2ах=О. Отв. — = —. >!х азу ' >(х 3 (! — уа)' 146. хам+У>>а=а'>а. Отв. — = — г!à —, 147. хаи+У'>'=аа>з. Олм. з "У '>(х у х' >гх — —. 148.
ут — 2ху+Ьт=б. Отв, — ~ —. 149. ха+уз — Заху=О. злу з г/у у х' >Гх у — х Отв. — ~ —. 150. у = сов(х+ у). Отв, >/у ау — ха >!у з!и (х+у) ах уа — ах ' ' ' ' >/х 1+зш (х+ у) ' 151. сов(ху) =х. Отв. >/х х з!п (ху) Найти — функций, заданных параметрнчески: >!у >/х бу Ь 152. «=асов Г> у=Ьз!и !. Отв. — = — — с!й Л 153. х=а(! — з!п Г), у = «а =а(1 — сов!). Отв. — =с!й —. 154. «=асозз!, у=Ьз!пад Отв. !у !,, «у >Гх 2' ' ' ' ' Т~/х Ь За/ За/з >/у 2/ = — — !ЕЛ 155. х= —, у= —. Отв. — =— а ' ' !+!з' !+Га' ' >/«! — Га аи 156.
и=2!пс!йз, о=!Ее+с!Ез. Показать, что — =!62т. >/о Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым: 157. х=соз !, у=в!п Г в точке «= — 1/2, у= р> 3/2. Сделать чертеж. Отв. 1/!/3. 158. х=2соз !, у=в!п Г в точке «=1, у= — )/ 3/2. Сделать чертеж. Отв. у> 3/6. 159. х=а(! — з!п Г), у=а(1 — сов /) при Г=п/2.Сделать чертеж. Олм. 1. 160. «=асозз/, у=аз!па/ при Г=п/4.
Сделать чертеж. Отв. — 1. 161. Тело, брошенное под углом и к горизонту, в безвоздушном прост- ранстве описало под действием силы тажести кривую (параболу), уравнения котоРой: х=(оа сова) !, У=(оаз!п и) à — д/з/2 (8=9 8 м/са). ЗнаЯ, чтоа=60', ее=50 м/с, определить направление движения прн: 1) !=2 с; 2) 1=7 с.
Сделать чертеж. Овм. 1) !Е >р! =0,948, >рг 43'30'; 2) (Е 9«= — 1,012, р,=+134,3 . Найти дифференциалы следующих функций: 162. у=(аз — «з)з. Отв. >(у= — 1Ох(а' — хз)'>(х. !63> у= у !+ха. ха« 1 Олы. >(у = —. 164. у = — !Еа х+ !6 х. Отв. >(у= весах >(х, х!па !пх>(х 165. у = — + !п (1 — х). Отв. >(у = —. 1 — х (! — х)' ' Вмчислить приращения и дифференциалы функций: Ый.
у=2ха — х при «=1> Ах=0,01. Отв. Лу=0,0302, >(у=0,03. !67. Дано !у=«а+2«. Найтн Лу и ду при х= — 1> Л«=0,02. Отв. Лу= 0,098808, >!у=0,1. !68. Дано у=в!пх. Найти >(у при х=п/3, Лх=п/18. Отв. бр =м/36 =0,0873. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ И> 121 169. Зная, что в>п 60'= у 3/2=0,866025; соз 60'= 1/2, найти приближенные значения в>п 60'3' и з!п 60'18'. Результаты сопоставить с данными таб. лицы. Отв. з!п 60'3' т 0,866461; з!п 60'18' т 0,868643.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
