32_PiskunovT1 (523111), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Находим уя — — сов и, и„= Зпа, о» = 1/х. Следовательно, по фоРмУле (5) полУчаем У»= Уиисп» = а 1 а = 3(сов и) са —, илн окончательно у»=сов [(1пх)а) 3(!пх)а —. Заметим, что х' х' рассмотренная функция определена только при х > О. $10. Производные функций у=(дх, у=с1дх, у=!п[х[ Т е о р е м а 1. Производная опг функции (ц х равна —,, гл. и.
1 если у=(нх, пго у'=,—,,х. (Х[) Доказательство. Так как в!п х у=— сов« ' ( то по правилу дифференцирования дроби [см. формулу (Ч)П) 3 71 получаем (Мп х)' сов х — згп х(сов х)' сов х сов х — в!п х( — вгп х) сова х сов' х сова «+ в!па х 1 сов х соь'х' а 81 ВРсизводныя Функций в !в х, у=с!в х.
в=!и!х! % !01 Теорем а 2. Производная от функции с1д х равна — м— в-в, т.е. 1 если у=с1ах, то у'= —,—,.„, (ХП) Доказательство. Так как у= —, то сов х (сов х)' в!п х — сов х (в!п х)' — вш х в!п х — сов х сов х в!п' х в1п' х в!пв х+ совв х 1 в!пвх в!ивх ' Пример 1. Если у=!2 В/ х, то 1 — «1 1 у = =()/ х) = — —. у . ° *)/'и' П р и м е р 2. Если у = 1и с!я х, то 1, 1 / 1 1 2 у' = — (с!» х)' — — ~ — — /! —— с!2 х с!» х («в!пв х/ сов х вщ х в!п 2х' Теорема 3. Производная от функции 1п~х~ (рис. 63) равна 1/х, т. е. если у=1п!х~, то у'=1/х. (хпц Доказательство. а) Если х> О, то !х!=х, 1п(х!=1пх и поэтому у'=-1/х.
б) Пусть х< О, тогда ~х) = — х. Но 1п~ х!=1п( — х). (Заметим, что если х<0, то — х> 0.) Представим функцию у=1п( — х) Рис. 63. как сложную функцию, положив у = 1п и, и= — х. Тогда у„'=у„'и„'= 1 1 1 = — ( — 1) = — ( — 1)= —. Итак, для отрицательных значений х также имеет место равенство у„'= 1/х.
Следовательно, формула (ХП1) доказана для любого значения хчьО. (При х=Офункция 1п(х~ не определена.) 1ГЛ. На ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ й 11. Неявная функция и ее дифференцирование 82 Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой некоторым уравнением, которое мы символически обозначим так: г" (х, у) =О. (1) Если функция у=1(х), определенная на некотором интервале (а, Ь), такова, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у Рнс. 64.
Рнс. 65. выражения г(х) обращается в тождество относительно х, то функция у=)(х) есть неявная функция, определенная уравнением(1). Так, например, уравнение х'+ у' — а'=О (2) неявно определяет следующие элементарные функции (рис. 64 и 65): у = )/ае — х', (з) у = — у а' — х'.
(4) *) Если функция задана уравнением вида у=/(я), то говорят, что функ. цня задана в явном виде нлн является явной. Действительно, после подстановки в уравнение (2) этих значений получаем тождество х'+ (а' — х') — а' = О. Выражения (3) и (4) получились путем решения уравнения (2) относительно у. Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т. е. можно представить в виде у=)(х) е), где Г(х) сеть элементарная функция.
Так, например, функции, заданные уравнениями у' — у — х'=О 1 илн у — х — Вшу=О, не выражаются через элементарные функции, т. е. эти уравнения нельзя разрешить относительно у. Замечание 1. Отметим, что термины «явиая функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ задания. Каждая явная функция у = Г (х) может быть представлена и как неявная у — )(х) =О.
производнын ствпкннои функции з!2) Укажем, далее, правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т. е. не представляя в виде у=!" (х). Допустим, что функция задана уравнением х'+у' — а'= О. Если здесь у есть функция от х, определяемая этим равенством, то это равенство есть тождество. Дифференцируя обе части этого тождества по х, считая, что у есть функция от х, получим (пользуясь правилом дифференцирования сложной функции) 2х+2уу' =О, откуда у' = — х/у. Заметим, что если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию у='у'а' — т', то получили бы у' = — = — —, т.
е. тот же результат, )Газ — хз у Рассмотрим еще один пример неявной функции у от х: у'— — у — х'=О. Дифференцируем по х: бу'у' — у' — 2х=О, откуда 2х у = Еу' — ! Замечание 2. Из приведенных примеров следует, что для нахождения значения производной неявной функции при данном значении аргумента х нужно знать и значение функции у при данном значении х.
й 12. Производные степеннбй функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции Т е о р е м а 1. Производная от функции х", еде и — любое действительное число, равна пх ', т. е. если у=х", то у'=пх" '. (1') Доказательство. Пусть х)О. Логарифмируя данную функцию, будем иметь 1и у= и!пх. Дифференцируем обе части полученного равенства по х, счиу' ), 1 тая у функцией от х: — = и —, у'= уп —. Подставляя сюда х х значение у=х", окончательно получаем у'=пх" '. Легко показать, что эта формула верна и для х(О, если только х" имеет смысл*).
Теорема 2. Производная от функции а", где а) О, равна а'1па, т. е. если у=а", то у'=ах1па. (Х17) Доказательство. Логарифмируя равенство у=а", полу- чим 1п у= х1па. Дифференцируем полученное равенство, считая у функцией от х: — у'=!па, у'=у1па или у'=а'1па. *) Зта формула была ранее доказана (б 5) для случая, когда л является целым лоложилмльнми числом. Теперь формула (!) доказана в общем случае (для любого постоянного числа л). ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [Гл. и! Если основание а=е, то 1пе=1 и мы получимформулу у ех у' — ех (Х 1Ч') П р и мор 1. Дана функция у=ах'. Представим сс как сложную функпию, введя промежуточный аргумент и: у=си, и=ха; тогда уи=е", и,,=2х и, следовательно, ух=си 2х=е"' 2х.
Сложной показательной функцией называется функция, у кото- рой и основание и показатель степени являются функциями от х, например, (з1пх)', х'з"', х", (1пх)-", вообще, всякая функция вида у = [и (х) 1ч <х) = ио есть сложная показательная функция *). Теорема 3. Если у=и', то у'=пи 'и'+и п'1пи. (Х7) Доказательство. Логарифмируем функцию у: 1п у=о1пи.
Дифференцируя .полученное равенство по х, будем иметь 1 ° ! — у =и — и +о 1пи, у и откуда У' = у (о — + о' 1п и) Подставляя сюда выражение у=и', получаем у' = пи' 'и'+ иао' 1п и, Таким образом, производная сложной показательной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от х, а о есть постоянная (т. е. если рассматривать и" как степенинн у ю функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что у есть функция от х, а и=сапа( (т.
е. если рассматривать и" как показательную функцию). Пример 2. Если у=х, то у'=ххх-т(х)+хх(х) 1пх или у' = хх+ хх !п х = хх (1+ 1п х). Пример 3. Если у=(з!пх)', то у'=х'(зш х)"' т (з1п х)'+(з!п х)х'(хз)' 1пз!и х= = хз (з!п х)х' т соз х+ (з[п х)х' 2х! п а!п х.
Прием, примененный в этом параграфе для нахождения производных и состоящий в том, что сначала находят производную ") Часто такую функцию называют показатсльно-стспсннйй или степенно- показательной. 4 !з) ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 85 л о г а р и ф м а д а н н о й ф у н к ц и и, широко применяется при дифференцировании функций. Применение этого приема нередко значительно упрощает вычисления. Пример 4. Требуется найти производную от функции (х+1)' У х — 1 (х+ 4)з ех Ре глен и е.
Логарнфмируя, находим !п р = 2 1п (х+ 1) + — 1и (х — 1) — 3 1п (х+ 4) — х. 1 2 Дифференцируем обе части последнего равенства: у' 2 1 3 — = — + — — 1. р а+1 2 (х — 1) х+4 (с+1)з Р~л — ! Умножая на у и подставляя вместо у, получаем (х+4)з ех (х+!)з У х — 1 2 1 р — 11. (х+4)з ех 'Бе+1 2(х — 1) х+4 Замечание. Выражение .— "=(!пу)', являющееся производной по х от натурального логарифма данной функции у=у(х), называется логарифмической производной. $13.
Обратная функция и ее дифференцирование Пусть дана возрастающая (рис. 66) или убывающая функция. у=((х), (!) определенная на некотором интервале (а, Ь) (а < Ь) (см. 3 6 гл. !). Пусть ~ (а) =с, ) (Ь) =а. Для определенности будем в дальнейшем рассматривать возрастающую функцию. Рассмотрим два различных значения х, и х„принадлежащих интервалу (а, Ь). Йз определения возрастаю» у 4 щей функции следует, что если х, < <х, и у,=((хг), уз=)".(х,), то у,< л < у,. Следовательно, двум различным значениям хе и х, соответствуют два различных значейия функции у, и Рис. 66. у,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
