32_PiskunovT1 (523111), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рис. 50. Пример 11. Функция у=зПО (1/х), рассмотренная в примере 4 $3, разрывна при х=О. Определение 3. Если функция /(х) такова, что существуют конечные пределы 1пп /(х)=/(ха+О) и 1нп /(х)=/(х,— О), Х Хе+О Х-»Ха О но или 1ип /(х)Ф 11щ /(х), или значение функции /(х) при х,ОО Х х,— О х=х, не определено, то х=х, называется точкой разрыва 1-го рода. (Например, для функции, рассмотренной в примере 10, точка х=0 есть точка разрыва 1-го рода.) $10. Некоторые свойства непрерывных функций В этом параграфе рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.
Эти свойства будут сформулированы в виде теорем, которые мы приводим без доказательства О). *) Доказательства этих теорем можно найти в книге: Ф и д т е нгольц Г. М. Основы математического анализа, т.!.— Мл Наука, 1958. З ~О1 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 57 Теорема 1. Если функция у=7(х) непрерывна на некотором отрезке [а, Ь] (а(х Ь), то на отрезке [а, Ь| найдется по крайней мере одна точка х=х; такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению [ (хе)' - 1(х), где х — любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х, такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению 1' (х,) (1(х).
Значение функции [(х,) будем называть наибольшим значением функции у=7(х) на отрезке [а, Ь~, значение функции ~(х,) будем называть наименьшим значением функции на отрезке [а, Ь1. Коротко эту теорему формулируют так: Непрерывная на отрезке а ( х ( Ь функция достигает на этом отрезке по меньшей мере один раз наибольшего значения М и нашиеньшего значения т. Рис. 55. Рас. 52. Смысл этой теоремы наглядно иллюстрируется на рис. 52. 3 а м е ч а н и е. Утверждение теоремы о существовании наибольшего значения функции может оказаться неверным, если рассматривать значения функции на интервале а < х<Ь.
Так, например, если мы будем рассматривать функцию у = х на интервале 0<х<1, то среди ее значений нет наибольшего и нет наименьшего. Действительно, на интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего значений х. (Нет крайней левой точки, так как, какую бы ни взяли точку х, найдется точка левее взятой, например точка —; Ф л® также нет крайней правой, а следовательно, нет ни наименьшего, ни наибольшего значений функции у=х.) Теорема 2. Пусть функция у=Г(х) непрерывна на отрезке [а, Ь1 и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и Ь найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой функция обращается в нуль: )".(с)=0, а<с<Ь.
НРедел. непрерывность Функций [гл. и Эта теорема имеет простой геометрический смысл. График не. прерывной функции у=[(х), соединяющий точки М,[а, Г" (а)) и М,[Ь, 7(Ь)], где Г(а) < 0 и г(Ь) > 0 (или 1(а) > 0 и ) (Ь) <О), пересекает ось Ох по крайней мере в одной точке (рис. 53). П р имер. Дана функция у=аз — 2; э[к д— - — 1, у [к-а=6. На отрезке )1, 2) она непрерывна. Следовательно, на этом отрезке существует точка, где у=аз — 2 обращается в нуль. Действительно, у=о при к= [с'2 (рис.
54). Теорема 3. Пусть функция у=) (х) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь1. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения у(а)=А, г(Ь)=В, 1 то, каково бы ни было число )ь, заключенное э между числами А и В, найдется такая точка х=с, заключенная между а и Ь, что г(с) =[а. Смысл данной теоремы отчетливо иллюстрируется на рис. 55. В данном случае всякая прямая у =р пересекает график функции у = = г (х). Замечание.
Отметим, что теорема 2 является частным случаем этой теоремы, так как г м если А и В имеют разные знаки, то в качестве )ь можно взять 0 и тогда р= 0 будет заключено между числами А и В. Следствие теоремы 3. Если функция у = Г (х) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, пю на этом интервале она принимает по крайней мере один раэ любое Рис. 56. Рис. 55. значение, заключенное между ее наименьшими и наибольшими значениями. Действительно, пусть Г (х,) = М, Г (х,) = т. Рассмотрим отрезок [хо хз). Тогда по теореме 3 на этом отрезке функция у = у (х) принимает любое значение )ь, заключенное между М и т.
Но отрезок [хо хз1 заключен внутри рассматриваемого интервала, на котором определена функция у(х) (рис. 56). йн) СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ 5 11. Сравнение бесконечно малых Пусть одновременно несколько бесконечно малых величин а, )), у, ... являются функциями одного н того же аргумента х и стремятся к нулю при стремлении х к некоторому пределу а или к бесконечности. Охарактеризуем стремление этих переменных к нулю, рассматривая их отношения е). Будем пользоваться в дальнейшем следующими определениями. Определение 1. Если отношение 1)/а имеет конечный и отличный от нуля предел, т.
е. если 11шр)а=А ФО, а следовательно, 11ша)р= 1!А ~ О, то бесконечно малые р и и называются бесконечно малыми одного порядка. Пример 1. Пусть а=х, р=згп2х, где х — «О. Бесконечно малыеи ий одаого порядка, так как Бш — = Бщ — 2. В згп 2х за х з х Пример 2. При х — «О бесконечно малые х, зги Зх, 1Е 2х, 71п11+х) являются бесконечно малыми одного и того же порядка. Доказательство проводится аналогично тому, как это сделано в примере 1. Определение 2. Если отношение двух бесконечно малых 1))щ стремится к нулю, т.
е. если 11ш))/а=О (а 11ша1))=оп), то бесконечно малая р называется бесконечно малой величиной высшего порядка, чем бесконечно малая сз, а бесконечно малая св называется бесконечно малой низигего порядка, чем бесконечно малая р. Пример 3. Пусть а=х, р=х", и > 1, х — «О. Бесконечномалаяр есть бесконечно малая высшего порядка, чем бесконечно малая а, так как Нщ хэ/х= Пщ х" а=о. х-«О х э При этом бесконечно малая и есть бесконечно малая низшего порядка> чем бесконечно малая р.
Оп р еде лен и е 3. Бесконечно малая й называется бесконечно малой й-го порядка относительно бесконечно малой а, если 11 и аа — бесконечно малые одного порядка, т. е. если 11ш фсэа= А -ьО. П р имер 4. Если сг=х, Р =ха, то прн х — «О бесконечно малая Р есть бесконечно малая третьего порядка относительно бесконечно малой а, так как Нщ Р)сьэ Бш хэ!1х)э 1 х -«а х -«э Определение 4. Если отношение двух бесконечно малых ))/а стремится к единице, т.
е. если 1)ш))/ос=1, то бесконечно малые р и а называют эквивалентными бесконечно малыми **) и пишут а ж)3. *) Будем предполагать, что бесконечно малая, стоящая в знаменателе, пе обращается в нуль з некоторой окрестности точки а. ° ') В этом случае и и р иногда называют равносильными бесконечно малыми. предел. Непрерывность функций 1гл. и Пример 5.
Пусть а=х и ()=в|их, где х — «О. Бесконечно малые а и 1) эквивалентны, так как а|п х Иш — = 1. х е х П Ример 6. ПУсгь сс=х, Р=!п(1+х), где х — «О. Бесконечно малые а и (1 эквивалентны, так как х е х (см. пример 6 б 9). Теорема 1. Если а и 13 — эквивалентные бесконечно малые, то их разность а — (3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем р. Доказательство. Действительно, 1ип — "'=-1пп 11 — — 1= 1 — 1пп — = ! — ! =О. а ! ау а Теорема 2.
Если разность двух бесконечно малых а — )3 есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем р, то а и () суть эквивалентные бесконечно малые. Доказательство. Пусть 1пп — =О, тогда !Пп (! — — 71= а — Р . l 111 а а а — р = О, или 1 — 1пп — = О, или 1 = 1пп —, т. е. сс ж р. Если !(т — = а а = О, то 1пп ! — — 11=0, Иш — =1, т. е. аж (). П р и ме р 7. Пусть а=х, () =х+ха, где х — «О. Бесконечно малые а н 11 эквивалентны, так как их разность р — а=хо есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем р. Действительно, (1 — а .
ха 1пп — = 1!ш — = 1!ш хе=о, х о а х о х х () — а . х' . хе 1!ш — = 1пп — = 1пп =О. х е 11 х ох+хо х о1+хе х+1 1 Пример 8. При х«со бесконечно малые а= — ' и р= — — эквивахо х х+1 1 1 лентные бесконечно малые, так как их разность а — О=в хо х хе есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем (1. Предел отношения а и р равен 1: х+1 а, хо . х+1, / 11 1!ш — = 1!ш = 1!ш = !!гп ( 1+ — ) =1.
х ер х 1 х х х- (, х, х Замечание. Если отношение двух бесконечно малых ~!а не имеет предела и не стремится к бесконечности, то р и а не сравнимы между собой в указанном выше смысле. 61 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ И П р н м е р 9. Пусть со= к, () = х в!п (! /х), где х о О, Бесконечно малые м и р не сравнимы, так как нх отношение р/и=в1п(1/х) при к — оО ие стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности (см. пример 4 $ 3). Упражнения к главе П Вычислить указанные пределы: хо+ 2х+ 5 1.
Иа . Ото. 4. 2. Игп (2в1п х о з хо+1 -соо х+с!и х]. Отв. 2. к -~— х — 2 1 41 3. Иа =. Отв. О. 4. Иа !12 — + — ) . Отв. 2. » з у2+х х 1 к хз) из 3' Указание. Напишем формулу (5+1)з — йз=здз+35+1 для /з=О, 1, 2, ..., п: 1з=!' 2 — !з=З.Г+З. !+ ! Зз 2з 3. 2з+ 3. 2+ 1 (и-(-1)' — пз = Зи'-)-Зп-(-1 Складывая левые и правые части, получим (и-!-1)з 3(!з+2з+,,+пз)+3(!+2+...+п)+(п+1), (~+1). З(1 +2+...+„)+3 "~",+П+(.+1), откуда р ! 2з ! + з (и+!) (2п+1) 6 хо+ х — 1 Зхз — 2х — 1 9. Иа —. Отв. оз. 1О. Иа о 4 . Отв. О. к 2х+5 » + 1!. Иа . Овы. —.
12. Иа . Отв. 4. 13. Иа 4хз — 2х'+ х 1 хз — 4 . хз — 1 о Зхз+2х ' ' 2 х зк — 2' » з х — 1 хз — 5х+ 6 1 хз+ Зх — 10 Отв. 3. 14. Иа, !2 . Отв. 0 . 15. Иа 3, 5 2 . Отв. 1. в -з уз — у — 6 ' 5 и -з(и+2)(и — 3) ' (к+А)з кз з Г ! 3 1 18. Иа Отв. Зхз. 19. Иа ~ — — 1 . Отв. — 1 ° ь о Ь ' ' ' ' х з)1 — х 1 — хо1' хи — 1 20. Иа †. Отв. п (и — целое положительное число).
к з х — 1 1 ' у1+» ! О 1 . у2к+1 — 3 О У '+Р' — Р 2 23. 1пп ' . Отв. —. 24, Иа " . Отв.—. х о ухо+уз 0 Р У вЂ”,.1'З првдвл. нвпрврывность пункций (гл.н х — ~/а т а уе1+х+х' — 1 1 25. Иа . Оте. —, 26. Иа „. Оте. х — а ' ' >ла ' х о 27.
Иа . Оте. 1. 28. Иа —. Оте. 1 при х — ++со, Р "+! е +- зх,а+1' ' ' ', . х+1 — 1 при х — + — оо. 29. Иа (Ухо-[- 1 — Ргх~ — 1). Овы. О. »+о 1 30, Иа х ()/хо+ 1 — х). О>ле. — ири х — »+ оо, — оо при х — » — юю. » 2 31. Иа —. Оте. 1. 32. Па —. Оте. 4. 33. Иа ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
