32_PiskunovT1 (523111), страница 8
Текст из файла (страница 8)
641 БЕСКОНЕЧНО МАЛЪ|Е Н ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 39 Теорема 2. Если 1нп ((х)=Ь-ьО, то функция у=1!)(х) к а есть ограниченная функция при х — а. Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном е > О в некоторой окрестности точки х=а будем иметь у=х 'и |1 (х) — Ь | ( е, или ! |1 (х) | — | Ь! | < е, или — е < |! (х) | — |Ь| (е, в или |Ь| — е< |! (х) | < +! + л|г |Ут ( |Ь|+е. Из последних неравенств следует ! ! 1 1 -,|у ! Ь ! — е ! ) (х) ! 1 > — ' |ь|+ Рис.
38. 1 взяв, например, е = 10|Ь|, получаем 10 10 9|Ь! !!(х) ! 11!Ь! — — »вЂ” А зто и значит, что функция 1/!'(х) ограничена. 5 4. Бесконечно малые и нх основные свойства В этом параграфе будем рассматривать функции, стремящиеся и нулю при некотором характере изменения аргумента. О и р еде лен ие. Функция а=и (х) называется бесконечно малой при х- а или при х — оо, если!Нп а (х)=О нли 1ппа (х) =О.
к а к-~ а Из определения предела следует, что если, например, Иш и (х) =О, к-аа то это значит, что для любого наперед заданного произвольно малого положительного е найдется 6 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию | х — а | < б, будет удовлетворяться условие | а (х) | < е, Пример 1. Функция ~=(х — 1)к есть бесконечно малая при х — а1, так как На! а= 3|п (х — 1)'=0 (рис.
39). к-~! к-а! П р и м е р 2. Функция а=1!х есть бесконечно малая при х — + ао (рис. 40) (см. пример 3 $2). Установим важное для дальнейшего соотношение: Теорема 1. Если функция у=((х) представляется в виде суммы постоянного числа Ь и бесконечно малой пн у=Ь+сс, (1) прядал. неприрывность еникпии 1гл.п 1йп у=Ь (при х — а или х — оо). Обратно, если 1йп у=Ь, то можно написать у=Ь+сс, где а — бесконечно малая. Доказательство.
Из равенства (1) следует ~у — Ь~=~а~. Но при произвольном е все значения а, начинаи с некоторого, Рис. 39. удовлетворяют соотношению (а~ <з, следовательно, для всех значений у, начиная с некоторого, будет выполняться неравенство ~ у — Ь| < з. А это и значит, что 1пп у= Ь. Обратно: если 1пп у= Ь, то при произвольном з для всех значений у, начиная с некоторого, будет ~ у — Ь~ < г.
Но если обо- значим у — Ь=а, то, следовательно, .,у для всех значений а, начиная с неу-Уей которого, будет ~1а') < в, а это значит, что а †бесконеч малая. Пример 3. Пусть дана функции и 1 (рис. 41) у=1+ —, тогда Па у=1, и нао. х' х борот, так как 11ю у=1, то переменную х -~ ~о у можно представить в виде суммы предела Ю Й и 1 и бесконечно малой и, равной в данном случае 1/х, т. е. у= 1+а. Рис.
41. Т ео р е м а 2. Если сс = а (х) стремится к нулю при х — а (или при х- оо) и не обращается в нуль, то у=1/сс стремится и бесконечности. Доказательство. При любом как угодно большом М) О будет выполняться неравенство Ц а ~ ) М, если только будет выполняться неравенство )а ') < 11М. Последнее неравенство будет выполняться для всех значений а, начиная с некоторого, так как сс (х) - О.
Теорема 3. Алгебраическая сумма двух, трехи вообщеопределенного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая. Доказательство. Проведем доказательство для двух сла- гаемых, так как для любого числа слагаемых оно аналогично. 4 41 ВЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 41 Пусть и (х) = а (х) + р (х), где 1пп сс (х) = О, 1пп р (х) = О. Доках-»а х-»л жем, что при произвольном как угодно малом е>0 найдется б > 0 такое, что при удовлетворении неравенства ~ х — а ~ ( б будет выполняться неравенство ~ и ! <е.
Так как а(х) есть бесконечно малая, то найдется такое б„ что в окрестности с центром в точке а и радиусом б, будет !а(х)~ <е/2. Так как 11(х) есть бесконечно малая, то найдется такое б„что в окрестности с центром в точке а и радиусом б, будет (р(х) ! < В/2. Возьмем б равным меньшей из величин б, и б„тогда в окрестности точки а с радиусом б будут выполняться неравенства ~!а'! < В/2; 1(э~ < В/2. Следовательно, в этой окрестности будет ! и 1=(а (х) + р (х) ! ( ~ а (х) !+ ! р (х) ( ( В/2-)- В/2 = В, т.
е. ~!и! <В, что и требовалось доказать. Аналогично приводится доказательство и для случая, когда 1пп а(х)=0, 1пп 13(х)=0. 3 а м е ч а н и е. В дальнейшем нам придется рассматривать такие суммы бесконечно малых величин, что с уменьшением каждого слагаемого число слагаемых увеличивается. В этом случае утверждение теоремы может оказаться и неверным. Рассмотрим, например, 1 1 1 и = — + — +... + —, где х принимает только целые положительх х ' х х слагаемых ные значения (х=1, 2, 3, ..., л, ...). Очевидно, что каждое слагаемое при х- ОО есть бесконечно малая, но сумма и = 1 не есть бесконечно малая. Т е о р е м а 4.
Произведение бесконечно малой функции а = а (х) на ограниченную функцию г=г(х) при х- а (или х — ОО) есть бесконечно малая величина (функция). Д о к а з а т е л ь с т в о Проведем доказательство для случая х- а. Для некоторого М > 0 найдется такая окрестность точки х=а, в которой будет удовлетворяться неравенство1г~ < М. Для всякого е > 0 найдется окрестность, в которой будет выполняться неравенство !а~(В/М. В меньшей из этих двух окрестностей будет выполняться неравенство !аг~ < — М=В. М А это и значит, что иг — бесконечно малая.
Для случая х- ОО доказательство проводится аналогично. Из данной теоремы вытекают: пгвдвл. напгагывность отнкцин !гл.ы Следствие 1. Если 1ипа=О, 1ип(3=0, то Иптсг!)=О, так как !) (х) есть величина ограниченная. Это справедливо для любого конечного числа множителей. Следствие 2. Если 1ппсг=О и с=сопз1, то 1ппса=О. Теорема 5.
Частное а(х))г(х) от деления бесконечно малой величины а(х) на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая. До к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1пп а (х) = О, Ит г (х) = Ь ~ О. На основании теоремы 2 2 3 следует, что 1)г (а) есть величина ограниченная. Поэтому дробь — = а (х) — есть произведение вели- а (х) 1 г (х) г (х) чины бесконечно малой на величину ограниченную, т. е. величина бесконечно малая. 2 5.
Основные теоремы о пределах В этом параграфе, как и в предыдущем, мы будем рассматривать совокупности функций, которые зависят от одного и того же аргумента х, при этом х — а или х — ьь. Мы будем проводить доказательство для одного из этих случаев, так как для другого доказательство проводится аналогично, Иногда мы вообще не будем писать ни х — а, ни х — оо, подразумевая то или другое. Те о р ем а 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных: !пп (и, + и, +...
+ их) = 1пп и, + Ищ и, +... + 1пп ию Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть 1пп и, =- а„!Ьп и, = а,. Тогда на основании теоремы 1 2 4 можем написать и!=а,+а„и,=а,+ам где а, и а,— бесконечно малые. Следовательно, и!+и,= (аг+аг)+(аг+аг). Так как (а,) а,) есть постоянная величина, а (а,+а,) — величина бесконечно малая, то снова по теореме 1 2 4 заключаем, что 1пн (и, + иг) = а, + о, = 1пл и, + 1пп и,. Пример 1.
1!ег — = 11т !!+ — )= Иа 1+ 1!а — =1+ 1!т — =1+0=1. хг+2х . l 21, . 2, 2 х х х х х х х х х Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообщеопределенного числа переменных равен произведению пределов этих основные теоремы о пределах переменных: !ппи,"и, ... иа=!ппи; Ити, ... 1ппиа. Д о к а з а т е л ь от в о. Для сокращения записи приведем доказательство для двух множителей. Пусть )пни!=а„!ппи,=а,.
Следовательно, Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля: ° и Пази 1пп — = —., если Ищи~О. и 1ипо Доказательство. Пусть 1ппи=а, 1ппо=Ь~О. Следовательно, и=а+а, о=Ь+р, где а и !1 — бесконечно малые. Напишем тождества и а+а а / а+а а ! а аь — йа + + о ь+р ь (,ь+р ь/ ь ь(ь+р) ° или и а аЬ вЂ” ра ! ь+ ь(ь+р) ' а Дробь — весть постоянноечисло, адробь ь ь+ по теоремам 4 и б $ 4 есть бесконечно малая переменная величина, так как аЬ вЂ” ра есть бесконечно малая, а знаменатель Ь(Ь+р) имеет пределом и а Паи Ь' чь О.
Следовательно, Иш — = — = —. о Ь 1ипо ' Пример 3. Пп! (Зх+5) 1пп к -г ! ! 4х — 2 Пи! (4х — 2) к -ь ! 3 1'ип х+5 х -~ ! 3. !+5 8 — — — — 4 4Птк — 2 41 — 2 2 к -~ 1 Здесь мы воспользовались доказанной теоремой о пределе дроби, так кзк предел знаменателя при х — 1 отличен от нуля. Если лсе предел знаменатели и!=а!+а1, из=аз+а„ и,и, = (а!+ а!) (а, + а) = атак+ атак+ аа!+ аа,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
