32_PiskunovT1 (523111), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так, естественной областью определения функции у=х' — 2 является бесконечный интервал — оо < х<+оо, так как функция определяется при всех значениях х. Функция у=(х+1) (х — 1) ' определена при всех значениях х, кроме значения х=1, так как при этом значении знаменатель обращается в нуль. Для функции у=У1 — х' естественной областью определения будет отрезок — 1~к<1 и т. д. Замечание. Иногда бывает нужно рассматривать не всю естественную область определения функции, а только некоторую ее часть. Так, зависимость площади О круга от радиуса )с определяется функцией О =асс.
Областью Ч определения данной функции при рассмотрении данного геометрического вопроса является бесконечный интервал О < П < +со. Естественной же областью определения данной функции является бесконечный интервал — оо <Й < <+ Рнс. З. Если функция у=)(х) задана аналитичес- ки, то она может быть изображена графически иа плоскости координат хОу. Так, графиком функции у=х' является парабола, изображенная на рис. 5.
й 6. Основные элементарные функции. Элементарные функции Основными элементарными функциями называются следукицие аяалитическим способом заданные функции. $. Степенная функция у=х", где а — действительное число'). 11. Показательная функция: у = а", где а — положительное число, не равное единице. Ш, Погарифмическая функция: у= 1оя,х, где основание логарифмов а †положительн число, не равное единице. ° ) При а иррапионалвном ета фунниии внчислаетси путем логарнфиированна и потениировании: 1ол у=а 1оя к.
Прн атом предполагается, что к > О. Основныв злиминтАРныи Функции АУ. 7ригонометрические функции: у = 51п х, у = соз х, у = 1$ х, у=с1цх, у=зесх, у=созесх. Ч. Обратные тригонометрические функции: у = агсз1п х, у = агссоз х, у = агс1ц х, у=агсс1кх,у=агсзесх, у=агссозесх.
Рассмотрим области определения и графики основных элементарных функций. Степенная функция, у=х. 1. а — целое положительное число. Функция определена в бесконечном интервале — со < х <+ со. Графики функции в этом случае при некоторых значениях а имеют вид, изображенный на рис. 6 и 7. Рис. 8. Рис. 6. Рис. 9. ис. 10. 2. а — целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех значениях х, кромех=0. Графики функций при некоторых значениях а имеют вид, изображенный на рис. 8 и 9.
На рис. 10, 11, 12 изображены графики степеннбй функции при дробно-рациональных значениях а. Показательная функция, у=а", а>0 и а~1. Эта функция определена прн всех значениях х. График ее имеет внд, изображенный иа рис. 13. число. пввамвнная. эвикция 1гл.1 Логарифмическая функция, у=1од,х, а)0 и очь1. Эта функция определена при х)0. График ее изображен на рис. 14. Тригонометрические функции. Независимая переменная х в формулах у=з(пх и т.
д. выражается в радианах. 1а Все перечисленные тригонометрические функ- .у а ции †периодическ. Сформулируем общее оп- Р ределение периодической функции. Определение 1. функция у=Г(х) называется периодической, если существует такое постоянное число С, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу х значение функции не изменяется: г(х+С)=г(х). Наименьшее такое число называется периодом функции; в дальнейшем будем обозначать его 21.
Из определения непосредственно следует, что д= з1пх есть периодическая функция с периодом 2п: з1п х = з1п (х+2п). Период созх также равен 2п. Период функций у= 1я х и у =с1ц х равен и. Рнс. 13. Функции у= з1пх, у= сов х определены при всех значениях х; функции у= 1цх и у=зесх определены всюду, кроме точек х=(2Й+1) —" (а=О, +1, 1-2, ...); функции у=с(цх и у=созесх определены при всех значениях х, кроме точек х=йп (й=О, ~1, ~2, ...).
Графики тригонометрических функций изображены на рис. 15 — 19. Обратные тригонометрические функции будут нами подробно рассмотрены позднее. Введем, далее, понятие функции от функции. Если у является функцией от и, а и в свою очередь зависит от переменной х, то у также зависит от х. Пусть у=Р(и) и и=~у(х). Получаем ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНЩНН й 61 функцию у от х: у=Гор(х)]. Последняя функция называется функцией онт функции или сложной функцией. Рис. 15. Рис. 16. Рис. 17. Рис. 18.
Пример 1. Пусть у=а!пи, п=хз. Функция у=а!о (х 1 является сложной функцией х. 3 а м е ч а н и е. Областью определения функции у= то[ф(х)] является или вся область определения функции и=<р(х), или та ее часть, в которой определяются значения и, не выходя- функции Р (и). П р и и е р 2. Областью опреде-г-"- ф — — 1- ления функции у= 1~ 1 — хз (у= 1 $ ю = )7 и, п=! — хэ) является отрезок 1 — 1, !),так как и<0 прн !х(>1 х Ф ~ "Д и, слрдовательно, функция $хи не =у определена при этих значениях х (хо- 1 « 1 ъ тя функция и= 1 — ха определена при ] всех значениях х).
Графиком этой 1 функции является верхняя половина окружностя с центром в начале ко- Р . 19. ординат н радиусом единнпа. ис. Операция «функция от функции» может производиться не один, а любое число раз. Например, функция у=!д[з)п(ха+1)] получается в результате следующих операций (определения следующих функций): и = з(п о, у = 1д и. о=ха+1, ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ 1гл. 1 Определим, далее, понятие элементарной функции. Оп редел ение 2. Элементпарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида у=((х), где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. На основании определения следует, что элементарные функции являются функциями, заданными аналитически. Прнмеры алементарнык функций: ю=~*~=уп о-утттмп.
р= 1ях+4~/ х+21ях 10 х — х+10 Рнс. 20. Пример неалементарной функции: Функция у=!.2 3 ... л(у=((п)) не является элементарной, так как количество операций, которое нужно пронавестн Лля получения р, увеличивается с увеличением и, т, е. не является ограннченным. Замечание. Функция, изображенная на рис. 20, является элементарной, хотя она и задается с помощью двух формул: Г(х)=х, если 0(х(1, 1'(х)=2х — 1, если 1<х<2. Эту функцию можно задать и одной формулой: 1(х) = — 1 х ††) + — ~ х — 1 ~ = — 1тх — †) + — 1 (х — 1)' 2 1 3 ) 2 2 ~ 3 ) 2 для 0(х(2. (См.
также упражнения 130 — 144 к гл. Ч.) 5 9. Алгебраические функции д д хи+о хи-1 1 +д где а„а„..., а„— постоянные числа, называемые коз4н(йициентами; и — целое неотрицательное число, называемое степенью жногочлена, Очевидно, что эта функция определена при всех значениях х, т.е. определена на бесконечном интервале. Пример 1. у=ах+Ь вЂ” линейная функция. Прн Ь=О лннейная функцня у=ах выражает прямую пропорциональную аавнснмость р от х. Прв а=о функция У=Ь есть постоянная. К числу алгебраических функций относятся элементарные функции следующего вида: 1. Целая раци опальная функция или много- член влгавраичвскив Функции Пр имер 2.
у=акт+ел+с — кеадратачлал Ч)улкцлл. График квадратичиой функции есгь парабола (рис. 21), Эти фувкции иодробио рассматривались в аналитической геометрии. 11. Дробная рациональная функция. Эта функция определяется как отношение двух многочленов: аекл+адкл-к+... +а„ д к +Ьгк — +,. +Ь Дробной рациональной функцией является, например, функция у = а/х, выражающая обратную пропорциональную зависимость. Ее график изображен на рис. 22. Очевидно, что дробная рациональная функция определена при всех значениях х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. ги .Ф 1П.
Иррациональная функция. Если в формуле у= ак Ф/ =1(х) в правой части произво- Рис. 21. дятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональными иецелыми показателями, то функция у от х называется иррациональной. 2к«+ "Г' к трПримеры иррациональных функций: у= —, у= «1х У У1+б е и т. п. Замечание 1. Перечисленные три вида алгебраических функций ие исчерпывают всех алгебраических функций. Алге- браической функцией назы- Р Р вается любая функция у « = 1(х), которая удовлетворяет уравнению вида Р,(х)у" +Рг(х)у" '+... ...+Р„(х)=О, (Ц где Р, (х), Рг (х), ..., Р„(х) — некоторые Рис. 22.
многочлены от х. Можно доказать, что каждая из функций перечисленных трех видов удовлетворяет некоторому уравнению вида (1), но не всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (1), является функцией одного из перечисленных видов. Замечание 2. Функция, не являющаяся алгебраической, называется тран".цендентной. Примеры трансцендентных функций: у=сов х, у= 10" и т.п. 28 ЧНСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. фуниция 1гл 1 5 1О. Полярная система координат Положение точки на плоскости можно определить с помощью так называемой полярной систем«я координат. На плоскости выбираем некоторую точку О, называемую полюсом, и выходящую из втой точки полупрямую, называемую полярной осью.
Положение точки М на плоскости можно определить двумя числами: числом р, выражающим расстояние точки М от полюса, н числом «р †величин угла, образованного отрезком ОМ с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла «р считается направление против часовой стрелки. Числа р и «р называются лолярн«ими координатами точки М (рис.
23). Рис. 23. Рис. 24. Радиус-вектор р будем всегда считать неотрицательным. Если полярный угол ф брать в пределах 0(ф(2п, то каждой точке плоскости, кроме полюса, соответствует вполне определенная пара чисел р и «р. Для полюса Р=О, «р — произвольное. Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ох в с полярной осью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
