32_PiskunovT1 (523111), страница 7
Текст из файла (страница 7)
3!): так как из нера- венства ( х — а ~ ( б следует не- у равенство ~ 1 (х) — Ь1 ч. е, то это Ьчя значит, что для всех точек х, Ь отстоящих от точки а не далее Ь-е чем на 6, точки М графика функции у= ! (х) лежат внутри полосы шириной 2е, ограниченной прямыми у=Ь вЂ” е и у=Ь+е. 3 а м е ч а н и е 1. Предел функ- ции 1(х) при х- а можно опре- 0 о-а а а+а ш делить и следующим образом.
Ряс. 3!. Пусть переменная величина х принимает значения так (упорядочена так), что если (х' — а!) ~ х** — а~, то х" есть последующее, а х' — предыдущее значение; если же )ха — а!=!х — а~ и х' ( х", то х*' есть последующее, а х' — предыдущее значение. Другими словами, из двух точек числовой прямой последую. щей является та точка, которая ближе к точке а; при равных расстояниях последующая — та, которая правее от точки а.
Пусть упорядоченная таким образом переменная величина х стремится к пределу а [х- а или 1йп х= а|. Рассмотрим, далее, переменную величину у=!(х). При этом будем считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при х- а стремится к некоторому пределу Ь, то будем писать 1пп у(х)=Ь и говорить, что функция у=у(х) стремится к пределу Ь при х а. а) Здесь имеются в внду те знэчення к, удовлетворяющие нерэвенству !х — а! < 6, которые принадлежат области определення функции.
Анэлогнчные обстоятельства будут встречаться н в дальнейшем. Тэк, прн рассмотренна поведения функцнн прн к — ьсо может случиться, что функция определена только прн целых положительных значениях х, Следовэтельно, в этом случае х — ьао, принимая только целые положительные знечення, Оговорок об этом мм в дальнейшем делать не будем. $ зй ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Легко доказать, что оба определения предела функции эквивалентны. Замечание 2. Если /(х) стремится к пределу Ь, при х, стремящемся к некоторому числу а так, что х принимает только значения, меньшие а, то пишут 1пп/(х) х -1 а- О. У = Ь! и называют Ь; пределом функции /' (х) р,>Ф/ в пючке а слева. Если х принимает только значения, ббльшие а, то пишут 1пп /(х) = х а+о = Ь, и называют Ь, пределом функции в /) точке а справа (рис. 32). Вместо х — 0-1- » + О и х — Π— О обычно пишут х- +О и х — О.
х> л л» Можно доказать, что если предел спра- Рнс. 32. ва н предел слева существуют н равны, т. е. Ьг=Ь>=Ь, то Ь и будет пределом в смысле дайного выше определения предела в точке а. И обратно, если существует предел функции Ь в точке а, то существуют пределы функции в точке а справа и слева и они равны. Пример 1. Докажем, что 1!ш (Зх+1)=7. Действительно, пустьзадан х г пронзвольное е ) О; для того чтобы выполнялось неравенство ! (Зх+1) — 71 < з, необходимо выполнение следующих неравенств: 13х — 61< е, )х — 21 < е/3, — е/3 < х — 2 < е/3. Таким образом, прн любом е для всех значений х, удовлетворнющнх неравенству (х — 21 < е/З=б, значение функции Зх+1 буде> отличаться от 7 меньше чем на е.
А зто н эначвт, что 7 есгьпределфункцнн прн х — 2. Замечание 3. Для существования предела функции при х — а не требуется, чтобы функция была определена в точке х=а. При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки а, отличные от а; это положение наглядно иллюстрируется следующим примером. П р н и е р 2. Докажем, что 1йп (хз — 4)/(х — 2) =4. Здесь функция х-» г (хз — 4)/(х — 2) не определена прн х=2.
Нужно доказать, что прн произвольном е найдется такое б, что буде> выполняться неравенство ~х' — 4 (1) если )х — 21< б. Но прн х Ф 2 неравенство (1) эквнвалевтно неравенству 1 х — 2 — 4~=1(х+2) — 41 < з> нлн (х — 21< е. (2) Таким образом, прн пронзвольном е неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь 6= е). А это н значит, что данная функция прн х — + 2 имеет пределом число 4. ппвдвл, нвппврывность фрикции (гл.
и Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при х- оо. Определение 2. Функция 1" (х) стремится к пределу Ь при х — оо, если для каждого произвольно малого положительного числа е можно указать такое положительное число У, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству ) х ~ ) й(, будет выполняться неравенство !)'(х) — Ь! <е. П р и м е р 3. Докажем, что /х+11 Пщ ( — ) =1 или, в иной записи, Рис. 33. х ) Пгп (1+ — ) =1.
Нужно доказать, что при произвольном в будет выполняться неравенство )(!+ !) — !~<в, (3) если только )х( > !у, причем гу определяется выбором е. Неравенство (3) эквивалентно следующему неравенству: ! 1/х 1 < в, которое будет выполняться, если )х(> 1/а=У. Это и значит,что Па (1+ — ) = Ппг — =1 (рис. 33). х+1 х), х Зная смысл символов х- + оо, х- — оо, очевидным является и смысл выражений «у(х) стремится к Ь при х- +со» и «1(х) стремится к Ь при х- — оо», которые символически записываются так: 1пп у(х)=Ь, 1пп у(х)=Ь.
й 3. Функция, стремящаяся к бесконечности, Ограниченные функции Мы рассмотрели случаи, когда функция у (х) стремится к некоторому пределу Ь при х- а нли при х- сю. Рассмотрим теперь случай, когда функция у=у(х) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента. Определение 1. Функция !'(х) стремится к бесконечности при х — а, т. е. является бесконечно большой величиной при х- а, если для каждого положительного числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое 6 > О, что для всех значений х, отличных от а, удовлетворяющих условию )х — а~ <.б, имеет место неравенство !у(х)!) М.
Если )'(х) стремится к бесконечности при х- а, то пишут 1пп 1 (х) = оо к -~ а или ((х)- оо при х а. 531 ФУНКЦИЯ, СТРЕМЯЩАЯСЯ К БЕСКОНЕЧНОСТИ 32 Если Г(х) стремится к бесконечности при х- а и прн этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут 1нп /' (х) =+ оо или 1йц / (х)= — оо. х -е а к -е а Пример 1. Докажем, что 1!ю (1 — х)-з=+ оо, Действительно, прнлю- к-~ 1 бом М > О будем иметь (1 — х)-з > М, если только (1 — х)' < 1/М, 11 — х( < < 1/З/М=б.
Функция (1 — х)-з принимает только положительные значения (рис. 34), Рис. 34. Рис. 35. 1! П р и мер 2. Докажем, что 1!т ( — — ) = оо. Действительно, при любом ко! х) М > О будем иметь 1 — 1/х ! > М, если только ( х1= ! к — О ! < 1/М =Ь. Здесь ( — 1/х) > О при х < О и ( — 1/х) < О прн х > О (рис. 35). Если функция /'(х) стремится к бесконечности при х — оо, то пишут 1нп /(х) = со, х -~ а и, в частности, может быть 1пп ~(х)=+со, 1нп 1(х)=+оо, 1)ш ~(х)= — оо. к +а х -м х -~ е а Например, 1нп х'=+со, Иш х'= — со и т.
и. х -> а Замечание 1. Функция д=/(х) прн х- а нли при х оо может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности. П р имер 3. Функция у=з!их, определеннан на бесконечном интервале — оо < х <+со, при к — оо не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности (рис. 36). 1 П р имер 4.
Функция у=ми —, определенная при всех значениях х, х' кроме значения х=о, не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконеч. ности при х — О. График этой функции изображен на рис. 37. предел. непрерывность Функций 1гл.ы Определение 2. Функция у=1(х) называется ограниченной в данной области изменения аргумента х, если существует У уав1нат положительное число М такое, что для всех значений х, принадлежащих рассматриваемой области, Рис. 36. будет выполняться нера- венство !) (х) !<М. Если же такого числа М не существует, то функция 1(х) называется неограниченной в данной области.
П р имер 5. Функция у = аат х, определенная в бесконечном интервале — от < х <+от, является ограниченной, так как при всех аиачениях л !апт х!» 1=И. Определение 3. Функция у(х) называется ограниченной яри х- а, если существует окрестность с центром в точке а, в которой данная функция у ограничена. р а1иф О пределение . унк- 4. Ф ция у=1(х) называется ограниченной при х — оо, если существует такое число й й! > О, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ~ х ~ > М, функция Рис. 37.
у (х) ограничена. Вопрос об ограниченности функции, стремящейся к пределу, решается следующей теоремой. Теорема 1. Если 1пп Г(х)=Ь, яри этом Ь есть конечное х -~ а число, то функт(ия у(х) яеляется ограниченной при х — а. Доказательство. Из равенства 1пп у(х)=Ь следует, что х Фа при любом е> О найдется такое 6, что в окрестности а — 6 < <х<а+6 будет выполняться неравенство !у(х) — Ь!<е, или (1(х)~<!Ь!+з. А зто и значит, что функция у(х) ограничена при х а. Замечание 2. Из определения ограниченной функции 1(х) следует, что если Вш 1 (х) = оо или !пп ) (х) = оо, т.
е. если у (х) х -~ а х -~ » есть бесконечно большая, то она является неограниченной. Обратное не верно: неограниченная функция может и не быть бесконечно большой. Например, функция у= ха!их при х — оо является неограниченной, так как для любого М > О можно найти такие значения х, что !хз1пх~ >М. Но функция у=хз)пх не является бесконечно большой, поскольку она обращается в нуль при х=О, и, 2я, ... График функции у= хз1пх изображен на рис. 38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
