32_PiskunovT1 (523111), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Опы. а~рз/2. Вычисление площадей поверхностей тел вращения 49. Найти площадь поверхности, .полученной вращением параболы у'=4ах вонруг оси Ох, от начала О до точки с абсциссой к=За. Отв. 56лаз!3. 50. Найти плошадь поверхности конуса, образуемого вращением отрезна прямой у=2х от х=О до х=2: а) Вокруг осн Ох. Отв. Зл у' 5. 6) Вокруг оси Оу. Отв. 4л ЬГ 5. 51.
Найти площадь поверхности тора, полученного вращением круга хз+(у — Ь)'=аз вокруг оси Ох (Ь > а). Отв. 4л'аЬ. 52. Найти плошадь поверхности тела, образованного вращением кардиоиды вокруг оси Ох. Кардионда задана параметрическими уравнениями х=а(2 сов ф — сов 2гр), у=а(22!п ф — з!о 2ф). Отв. !28лаз,'5. 55. Найти площадь поверхности тела, полученного вращением одной арки циклоиды х.=а (1 — з!п г), у=.а(1 — соь1) около оси Ох. Отв. 64лаз,'3. 54. Арка циклонды (см. задачу 53) вращается около ссн Оу. Найти поверх- 64 ность тела вращения. Отв. 16лза'+ — ла'.
3 55, Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около касательной, парад. лельной оси Ох и проходящей через вершину. Найти поверхность тела вращения. Опы. 32ла'13. 56. Астронда х=аз1пзг, у=-асоьз( вращается около оси Ох. Найти поверхность тела вращения: Отв. 12ла215. 57. Дуга синусоиды у=-згп х ст х=О до х=2л вращается скола оси Ох. Найти поверхность тела вращения. Опы. 4л[)г 2+1п(зг 2+1)1. ,2 уе 58. Эллипс — + — =1 (а > Ь) вращается вокруг оси Ох. Найти поверхаз Ьз агсз(п в Ьгаз — ь' ность тела вращения.
Отв. 2лЬ'+2лаЬ , где с= с ' а Различные приложения определенного интеграла хз уз 59. Найти центр масс площади четверти эллипса — + — =1 (х)0, а2 Ь2 у)0). Отв. 4а/Зл; 4ЬГЗл. 60. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболой х'+4у— — 16=0 и осью Ох. Отв. (О; 815). 61. Найти центр масс обьема полушара.
Отв. На оси симметрии, на расстоянии 3!т/8 от основания. 62. Найти центр масс поверхнссти полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии )!!2 от основания. 63. Найти центр масс поверхности кругового прямого конуса, радиус основания которого Аз, а высота Ь. Отв. На оси симметрии, на расстоянии Ь!3 от основания. 64. Фигура ограничена линиями у=в!их(О~х~л), у=О. Найти центр масс площади втой фигуры. Отв. (л!2, л/8). 65. Найти центр масс площади фигуры, ограниченной параболами уз=20х, х2=20у. Отв.
(9; 9). НРИЛОЖЕ НИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА (ГЛ, ХП 66. Найти центр масс площади кругового сектора с центральным углом 2а 2 з1па н радиусом )?. Отв. На оси симметрии, на расстоянии — 1? — от вер- 3 а шины сектора. 67. Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погру- женный в воду, если известно, что основание его равно 8 м, высота 12 и, верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м.
Отв. 1,056 10! Н. 68. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной, равной 8 м, лежит иа поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, образуемую делением квадрата одной из его диагоналей. Отв, 853333,3 Н, 1706666,7 Н. 69. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м, Отв. 2,5 10'п Дж.
70. Тело движется прямолинейно по закону к=сР, где к — длина пути, проходимого за время 1, с= сопз1. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости, причем коэффициент пропорциональности равен Л. Найти работу, производимую сопротивлением при передвижении тела от точки к=О 27 зк —,, до точки к.=а.
Отв. — й у с'а'. 7 71. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотностью 7 из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной книзу конуса, высота которого 71, а радиус основания 1?. Отв. пу)?зйз112. 72. деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого 5 = 4000 см', а высота Н =50 см, плавает на поверхности воды. Какую работу нужно затратить, чтобы вытащить поплавок на поверхность? (Плотность дерева 0,8.) Отв. ТзНз312= — 320 Дж.
73. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой а=6,4 м, нижнее 5=4,2 м, а высота Н= 3 и. Отв. 2,22 10' Н. 74. Найти осевую составляющую Р Н полного давления пара на сфери- ческое дно котла. Диаметр цилиндрической части котла О мм, давление пара в котле р Па. Отв. Р=прО'14000000. 75. Конец вертикального вала радиуса г поддерживается плоским подпят- ником.
Вес вала Р распределяется равномерно на вс!о поверхность опоры. Вычислить полную работу сил трения при одном обороте вала. Коэффициент трения а. Отв. 4пррг13. 76. Вертикальный вал оканчивается пятой, имеющей форму усеченного конуса. Удельное давление пяты на подпятник постоянно и равно Р. Веркний диаметр пяты О, нижний б, угол при вершине конуса 2и. Коэффициент трегРРр ния Р, Найти работу снл трения за один оборот вала.
Отв. — (О' — бз). ' ба!па 77. Призматический стержень длины 1 растягивается медленно возрастаю- щей от 0 до Р силой так, что в каждый момент растягивающая сила ураане- вешиваетсн силами упругости стержня. Вычислить работу А, затраченную силой на растяжение, предполагая, что растяжение происходило в пределах упругости. Площадь поперечного сечения стержня равна Р, модуль упругости материала равен Е. У к а з а н и е. Если к — удлинение стержня, а 1 — соответствующая сила, РЕ Р! то!= — к. Удлинение под действием силы Р равно Л1= —. Отв.
А= ЕР ' Р 31 Рз) 2 2ЕР' 78. Призматический брус подвешен вертикально, и к нижнему его концу приложена растягивающая сила Р. Вычислить удлинение бруса под действием силы его веса и силы Р, если дано, что длина бруса в нерастянутом состоянии УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Х11 5 з] 423 равна 1, площадь поперечного сечения Р, вес бруса !! и модуль упругости !!)+2Р)1 материала Е. Ошв. й1= 2ЕР 79. Определить время, в течение которого жидкость вь|льется нз призматического сосуда, наполненного до высоты Н. Т!лощадь поперечного сечения сосуда Р, площадь отверстия 7, скорость истечения определяется по формуле о=И~/28Ь, где р — коэфФициент вязкости, я — ускорение силы тяжести, Ь— 2РН Р Г2Н расстояние от отверстия до уровня жидкости.
Олы. Т= =- гдг р!)угаН М У а ' 80. Определить расход !) воды !количество воды, вытекающей в единицу времени) чейпез водослив прямоугольного сечения. Высота водослива Ь, ширина Ь. Отв 12 = — РЬЬ Рва~. 3 81. Определить расход воды О, вытекающей из бокового прямоугольного отверстия высотой а и шириной Ь, если высота свободной поверхности воды 2ЬР'г~ 28 з з зуз над нижней стороной отверстия равна Н.
Отв, !)= ~ЬН~1~ — (Н вЂ” а)~7~], 3 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумент 19 — комплексного числа 207 — промежуточный 79 Асимптота 168 — вертикальная !68 — наклонная !68 Астроидв 97, 177, 407 Бинормаль 306 Вектор перемещения точки 304 Величина абсолютная !5 — бесконечно большая 33 — — малая 39, 59 — переменная 16 — — возрастающая 18 — — монотонная 18 — — монотонно изменяющаяся 18 — — ограниченная !9 — — убывающая 18 — — упорядоченная 18 — постоянная 16 — — абсолютная 16 Величины бесконечно малые одного порядка 59 — — — эквивалентные 59 Возведение комплексного числа в степень 211 Выпуклость кривой 162 Выражение аналитическое 21 — подынтегральное 316 Вычисление значений функции приближенное 103 — определенных интегралов приближенное 385 †3 Вычитание комплексных чисел 208 Гамма-функция 396 Геликоид 290 Годограф вектора 288 Градиент 260 Граница области 231 График гиперболического косинуса 99 График гиперболического котангенса 100 — — синуса 99 — — тангенса 99 — функции 21 Деление комплексных чисел 269 Дифференциал 102 — второго порядка 108 — дуги 185, 406 — полный 242, 243 — сложной функции 104 — — — полный 250 — л-го порядка !08 Дифференциалы независимых переменных 242 Дифференцирование 66 — гиперболических функций 101 — интеграла по параметру 393 †3 — логарифмической функции 93 — неявно заданных функций 109 — обратных тригонометрических функций 92 — показательной функции 93 — степеннбй функции 92 — тригонометрических функций 92 — функций, заданных параметрически 97, 11! — —, общие правила 93 Дифференцируемость функций 69 Длина дуги 184, 405 — — в прямоугольных координатах 406 — — кривой, заданной в полярных координатах 408 — — †, — параметрически 407 — — пространственной кривой 298, 407 — касательной 113 — нормали 113 Дробь рациональная 328 — — неправильная 328 — — правильная 328 — — простейшая 329 Единица мнимая 206 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Зависимость функциональная 19 Задание кривой параметрическое 93 — линии с помощью поверхностей 288 Задача интерполирования функций 223 Замена переменной в неопределенном интеграле 321 — — — определенном интеграле 374 †3 Знак двойной подстановки 373 — интеграла 316 Значение критическое 150, !75 — функции на отрезке наибольшее 158 — — — — наименьшее 158 — — нескольких переменных наибольшее 237 — — — — наименьшее 237 — — одной переменной наибольшее 57 — — — — наименьшее 57 — экстремальное !48 Извлечение корня из комплексного числа 211 Инвариантность формы дифференциала !05 — — полного дифференциала 250 Инволюта 194 Интеграл, зависящий от параметра 393 — неопределенный 316 — — от комплексной функции 397 — — — суммы функций 319 — несобственный 378 — определенный 359 — — от комплексной функции 397 — от разрывной функции 382 — с бесконечными пределами 3Т8 — эллиптический 348 Интегрирование иррациональных функций 33Т, 338 — методом замены переменной 321 — неравенства почленное 368 — по частям 325 — — — в случае определенного интеграла 376 — приближенное 385 †3 — простейших рациональных дробей 329 †3 — рациональных дробей 335 †3 — тригонометрических функций 34!в 345 — функций 316 — —, содержащих квадратный трех- член 323 †3 Интервал !7 — замкнутый !7 Исследование функций 152, 155, 160, 162, !6Т, 171, 175 Кардиоида 30, 408 Касательная к кривой 68 — — поверхности 309 Концы отрезка 18 Координаты полярные 28 — центра масс 414 Корень кратности Л 220 — многочлена 217 — уравнения 217 — функции 124 Косинус гиперболический 99 Котангенс гиперболический 99 Коэффициент угловой касательной 68 Коэффициенты многочлена 26 Кривая вогнутая !62 — выпуклая !62 — гаусса 165 Кривизна !87, 189 — кривой, заданной в полярных координатах 191 — †, — параметрически 190 — плоской кривой 303 — пространственной кривой 300, 303 — — — средняя 300 — средняя !86 Круг кривизны 192 Кручение кривой 307 Лемниската 30 Линии уровня 258 Линия винтовая 289, 408 Лист декартов 177 Логарифм натуральный 52 Максимум 146 — функции нескольких переменных 265 Метод замены переменной при нахождении неопределенного интеграла 32! — наименьших квадратов 277 — неопределенных коэффициентов 334 Минимакс 270 Мин«мум !47 — функции нескольких переменных 265 Многочлен 26, 217 — Бернштейна 228 — Ньютона интерполяционный 226 — Чебышева 228 Модуль 15 — комплексного числа 207 — перехода М 52 — скорости 304 Момент инерции 4!7 — 418 — статический 414 426 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Независимость значений частной производной от порядка дифференцирования 255 Непрерывность функции нескольких переменных в области 236 — — — — — точке 236 — — одной переменной в точке 53 — — — — на интервале 55 — — — — — отрезке 55 — — — — равномерная 362 — — — — слева 55 — — — — справа 55 Нормаль 113 — главная 30! — к поверхности 312 — — пространственвой кривой 293 Область замкнутая 23! — изменении величины 17 — незамкнутая 23! — ограниченная 231 — определения функции нескольких переменных 231 — — — одной переменной 20 — — — — — естественная 22 — открытая 231 — существования функции нескольких переменных 231 — — — одной переменной 20 Объем тела 410 — — вращения 411 — зллипсоида 410 Окрестность !8 — точки 235 Ось действительная 207 — мнимая 207 — полярная 28 — числовая 13 Отрезок 17, 18 — интегрирования 359 Оценка определенного интеграла 369 — погрешности при вычислениях 245— 247 Параметр 93 Первообразная 3!5 — комплексной функции 397 Переменная интегрирования 359 — независимая 19 Период показательной функции 214 — функции 19 Плоскость, касательная к поверхности 311 — комплексной переменной 206 †, нормальная к пространственной кривой 293, 295 — соприкасающаяся 305 Площадь криволинейного сектора 404, 405 Площадь криволинейной трапеции 401 — параболической трапеции 387 — поверхности вращения 4!2 — эллипса 403 Поверхность винтовая 290 — тела вращения 4!1 — уровня 257 Погрешность абсолютная 245 — — максимальная 245 — относительная 246 — — максимальная 246 Подкасательная 113 Поднормаль 1!3 Подстановка универсальная тригонометрическая 341, 342 — Эйлера вторая 339 — — первая 339 — — третья 340 Подстановки тригонометрические 341— 346 Поле градиентов 260 — скалярное 257 Полинам 217 Полюс 28 Последовательность числовая 18 Потенциал поля 414 Правила дифференцирования векторных функций 296 †2 Правило Лопиталя !29 Предел 31 — векторной функции 291 — интеграла верхний 359 — — нижний 359 — комплексной переменной 2!4 — произведения 42, 43 — суммы 42 — функции нескольким переменным 235 — — одной переменной 33, 34 — — — — левосторонний 35 — — — — правосторонний 35 з!п х — — — при х-ь0 46 х 1 1х — — (1+ — ) при х-ьсо 49 х — частного 43 Приращение векторной функции 29! — функции полное 234 — — частное 234 Произведение комплексных чисел 208 Производная 66 — вектора по длине дуги 299 — векторного произведения векторов 298 — векторной функции 292 — вторая 106 — высшего порядка 106 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 427 Пр оизводная единичного вектора 297 комплексной функции 214 логарифмическая 85 логарифмической функции 78 обратной функции 87 от определенного интеграла по пе- ременному верхнему пределу 371 — произведения функций 75 по направлению 259 показательной функции 83 полная 249 постоянной 74 произведения скалярной функции на векторную 297 скалярного произведения векторов 297 слогкной функции нескольких пере- менных 248 — — одной переменной 79 степеннбй функции 71, 83 суммы векторов 296 — функций 76 функции, заданной неявно 251 †2 — агсоз х 90 — агсс18 х 92 — агсз!п х 89 — агс15 х 91 — соз х 73 — с18 х 8! — з1п х 72 — 1Вх 80 частная 238 частного функций 77 л-го порядка 106 — — частнан 254 омежуток !7 замкнутый !7 полузамкнутый 17 Пр Свойства интегральных сумм 360 — 363 — неопределенного интеграла 3!9— 320 Радиус-вектор 288 — кривизны !92 — — пространственной линии 301 — кручения кривой 307 — окрестности 18 Развертка 194 Разложение многочлена на множители 2!7 †2 — рациональной дроби иа простейшие 332 — 335 — функций по формуле Тейлора 138— 14! Разность комплексных чисел 208 Расходимость интеграла 379, 382, 383 Решение двучленного уравнения 212 Свойства непрерывных функций 56— 58 — определенного интеграла 367 †3 — показательной функции 213 — зволюты 196 Сегмент 17 Синус гиперболический 99 Система координат полярная 28 Скорость движения в данный момент 65 — точки в криволинейном движении 304 — — средняя 304 Слогкение комплексных чисел 208 Спираль Архимеда 29 — гпперболнческая 30 — логарифмическая 30 Способ касательных 201 — комбинированный 202 — Ньютона 201 — хорд 200 Сравнение бесконечно малых 59 Степень многочлена 26, 217 Сумма интегральная 358 — — верхняя 357 — — нижняя 357 — комплексных чисел 208 Сходимость интеграла 378, 382 — — абсолютная 38! Таблица интегралов 3!7, 318 Тангенс гиперболический 99 Теорема алгебры основная 218 — Безу 2!7 — Вейерштрасса 227 — Коши 127 — Лагранжа !26 — Лопнталя !29 — о конечных приращениях !26 — — корнях производной 124 — — среднем для определенного интеграла 359 — об отношении приращений двух функций !27 — Ролля !24 — существование неопределенного интеграла 316 Теоремы о пределах основные 42, 43 Точка возврата второго рода 283 — — первого рода 283 — кривой обыкновенная 281 — — особая 281 — — — изолированная 284 — — узловая 282 — критическая функции двух переменных 267 — — — одной переменной 150 — области внутренняя 23! — перегиба 164 — поверхности обыкновенная 310 428 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Точка поверхности особая 310 — пространственной кривой особая 295 — разрыва первого рода 56 — — функции двух переменных 236 — — — одной переменной 56 — соприкосновении 284 Трактриса !23, 204 Трапеция криволинейная 360 — параболическая 386 Угол поворота касательной к кривой 300 — смежности 186 — эксцентричесний 96 Умножение комплексных чисел 208 Уравнение алгебраическое 199, 2!8 — двучлеиное 212 — касательной к кривой 112 — — плоскости 312 — линии в пространстве векторное 288 — нормали плоской линии 113 — окружности 100 — трактрнсы 123 Уравнения касательной к пространственной кривой 293, 295 — нормали к поверхности 312 — параметричесние 93 — — астроиды 97 — — гиперболы 100 — — линии в пространстве 288 — — окружности 95 — — цнклонды 96 — — эллипса 95 Ускорение 111 — среднее !!1 — точки в криволинейном движении 304 Условие вогнутости кривой 164 — возрастания фуннции 145 — выпуклости кривой 163 — существования первообразной 372 — убывания функции 146 Условия существования неявной функции 253 — — точки перегиба достаточные 165 — — условного экстремума необходимые 274 — — экстремума функции двух переменных достаточные 267 — — — — — — необходимые 266 — — — — одной переменной достаточные 150 — — — — — — необходимые 148 Фигура ступенчатая вписанная 357 — — описанная 357 Форма комплексного числа показательная 2!6 — — — тригонометрическая 207 Формула Валлиса 378 — для вычисления кручения 308 — — — радиуса кривизны 302, 303 — интегрирования по частям 325 — Лагранжа интерполяционная 224 — Лейбница дифференцирования интеграла по параметру 394 — — — произведения 107 — Маклорена 138 — Муавра 2!1 — Ньютона ннтерполяционная 226 — Ньютона — Лейбница 372 — парабол 388 — прямоугольников 385 — Симпсона 388 — Тейлора !38 — — для функции двух переменных 265 — трапеций 386 — Чебышева 392 — Эйлера 215 Формулы Серре — Френе 309 Функции гиперболические 99 — обратные тригонометрические 23, 88 — 92 — основные элементарные 22 — тригонометрические 23, 24 Функция 19 — алгебраическая 27 — бесконечно большая 36 — — малая 40 — возрастающая 20 — двух независимых переменных 230 — дифференцируемая 69 †, — в точке 242 — дробная рациональная 27 †, заданная аналитически 21 †, интегрируемая на отрезке 359 — иррациональная 27 — квадратичная 27 — комплексной переменной 213 — Лапласа 347 — линейная 27 — логарифмическая 22, 24 — многих независимых переменных 232 — многозначная 20 — неограниченная 38 — непрерывная 53, 55; 236 — нечетная 172 — неэлементарная 26 — неявная 82 — обратная 86 — ограниченная 38 — однозначная 20 — от функции 25 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Функция периодическая 24 — подынтегральная 316 — показательная 22, 23 — — комплексного аргумента 213 — разрывная 56 — рациональная 328 — скалярного аргумента векторная 290 — сложная 25 — — показательная 84 — степенная 22, 23 — трансцендентная 27 — убывающая 20 — целая рациональная 26, 217 — четная 172 — элементарная 26 — явная 82 — Е (х) 348 Центр кривизны !92 — масс 414 — — плоской линии 415 — — — фигуры 416 — окрестности 18 Циклоида 96 Часть числа вещественная 206 — — действительная 206 — — мнимая 206 Числа сопряженные 206 Число вещестаенное 13 — действительное 13 — иррациональное !3 — комплексное 206 — рациональное !3 — чисто мнимое 206 — е 49 Эвальвента 194 Эеолюта 194 — параболы 194 — циклоиды 194 — эллипса 195 Экспонента 51 Экстраполяция 226 Экстремум 148 — функции нескольких переменных 266 — — — — условный 272 Николай Семеновоч Поен! нов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ для агузов том 1 Редактор В.
В. Данченко Техн. Редактор Н. Ш, Аксельрод Корректор Н. Д. Дорохово ИБ 18 12687 Сдано в набор 01.06.84. Подписано к печати 11.12,84, Формат 60к60ьу„. Бумага тип. Н 3. Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 27. Уел. кр.- атт. 27,25. Уч.-изд. л. 27,33. Тираж 250 000 зкз. (1-й аавод 1 — 150 000 ока.1.
Заказ Нз 3!67. Цена 1 р. 10 к. Издательстио «Науна» Главная редакция физино-математичесной литеРатуры 1 17071 Москва 8-7 1, Ленинский проспект, 1 5 МПО «Первая Образцовая типография» Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делая издательств, полиграфии и «иижвой торговли. 113054 Москва, Баловав, 28 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
