32_PiskunovT1 (523111), страница 67
Текст из файла (страница 67)
зш ах П р и м е р 1. Вычислить интеграл ! (и) = ) е-" — бх. о Решение, Заметим прежде всего, что непосредственно вычислить этот „з!и ах интеграл мы не можем, так как первообразная от функции е-х — не вых ражается через элементарные функции, для вычисления данного интеграла будем рассматривать его как функцию от параметра и.
Тогда его производная по а найдется по выведенной выше формуле Лейбница '): +:ч +Ф „мп их1' !'(и)= ~ ~е "— ~ г(х= ~ е-"созахйх. х !и о о Но последний интеграл легко вычисляется с помощью элементарных функ- 1 1 ций; он равен —. Поэтому 1'(и)= 1+аз ' 1+аз ' . Интегрируя полученное тождество, найдем 7(и): !(сс)=агогяа+с. (5) Осгаегся определить с. Для этого замечаем, что 7(0)= Г) е-" — дх= ~ Обх=О.
з1п Ох х Кроме того, ага!я 0=0. Подставляя в равенство (5) а=о, найдем 7(0) = =агс1яО+С, откуда С=О. Следовательно, для любого значения ц имеет место равенство ! (ц) = агс1И сс, т. е. О з1п ах е-" — ах= агс1е сс х о ') Формула Лейбница выведена в предположении, что пределы интегрирования а и Ь конечны. Однако в данном случае формула Лейбница также справедлива, хотя один из пределов интегрирования равен бесконечности. Об условиях, при которых допустимо дифференцирование несобственных интегралов по параметру, см., например, в книге: Фи х те н голь ц Г.
М. Курс дифференцизльного и интегрального исчисления, т. П.— Мл Наука, 1970, гл. Х1Ч, 4 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (гл. кс Пример 2. Гамма-функция. рассмотрим интеграл, зависящий от параметра а, (6) хи-сг х их. о Покажем, что гтот несобственный интеграл существует (сходится) при а > О. Представим его в виде суммы + сс 1 +Ф хи-сг-хйх ~ хи-се-» йх+ ) ха-сг-х йх о о с Первый интеграл правой части сходится, так как 1 0 < ~ хи-се-" йх < ~ хи-с йх= —.
Второй интеграл также сходится. Действительно, пусть л — целое число такое, что п > а — 1. Тогда, очевидно, + е +м О < ~ ха-сг-х йх < ~ х"е х йх <+ со. 1 1 Последний интеграл вычисляем путем интегрирования по частям с учетом того, что х" Вщ — „=0 (7) х + ех яри любом целом положительном й. Итак, интеграл (6) определяет некото- рую функцию а. Ее обозначают Г(а) и называют гамаа-функцией: Г (а)= ~ ха-сг-х йх. О Эта функция часто используется в приложениях математики.
Найдем значе- ния Г(а) при целых а. Прн а=1 имеем ГП)= ) г-хй 1. о Пусть целое а > 1. Интегрируем по частям: + ф + сс +и Г(а)= ) хи-сг-хйх= — хс'-се-" +(и — 1) ) хи-ае-"йх, о 1о О или, учитывая (7), Г (а) = (а — 1) Г (а — 1). (10) На основании (10) и (9) находим при а=п Г (и) = (л — 1)1.
397 упРАжнения к глАВе х! 2 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной В 9 4 гл. И1 была определена комплексная функция г'(х) = = и (х) +го(х) действительной переменной х и ее производная 1 (х) = и' (х) + (о' (х) . Определение. Функция Р(х) =гУ(х)+РУ(х) называется первообразной от комплексной функции )г(х) действительной переменной, если Р' (х) =1(х), (1) т. е. если и (х)+(У'(х) =и(х)+(о(х). (2) Из равенства (2) следует, что (У'(х) =и(х), У'(х) =п(х), т.е. (г'(х) есть первообразная для и(х) и У(х) есть первообразная для о (х).
Из определения и этого замечания следует: если Р (х)=О(х) + +1У(х) есть первообразная для функции 1(х), то любая первообразная для Цх) имеет вид Р(х)+С, где С вЂ” комплексная произвольная постоянная. Выражение Р (х) + С будем называть неопределенным интегралом от комплексной функции действительной переменной и писать ~ Цх) йх= ~ и(х)йх+(~о(х)йх=Р(х)+С. (3) Определенный интеграл от комплексной функции 1 (х) = и (х) + + (о(х) действительной переменной определяем так: ь ь ь ) 1(х) йх = ~ и (х) йх + г ) о (х) йх. (4) Это определение не противоречит, а вполне согласуется с определением определенного интеграла как предела суммы.
Упражнения я главе Ха Составляя интегральнуяз сумму з„и переходя к пределу, вычислить определенные интегралы: ь 1. ~ кзлх. Указание. Отрезок (а, Ь] разделить на л частей точками а и/Ь Ьз аз х;= арг (г'=О, 1, 2, ., л), где в= ~/ —. Отв.— а' ' 3 ь Гак Ь 2. ~ —, где О < а < Ь. Ота. 1и — . У к а з а н н е. Деление отрезка (а, Ь) к ' а й производить так же, как и в предыдущем примере. ОПРндйлннмьап интнгвдл 1гл, к! ь 2 в з 3. ~гехи. Отв. — (Ь Л-ай).
Указана е. См. 3 н н е.. предыдущий пример. О ь 4. впгхах. Оагв. сова — сов э. Указание, Предвар ре рительно устаиоа вить следующее тождество: з!п а+з!п (а+а)+зпг (а+26)+...+з!и (а+(— соз (а — Л) — сов (а+ яо) з а (а — 1)я)= 2з!ой , для этого надо умножить и разделить все члены левой части на з!па и з вменить произведение синусов разностью косинусов.
б. ~ созхг(х, Отв. в!ив — з!па. в Пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, вычислить определенные ин! и/2 1 о о о В.~ Л.О .—...... ( В. х ах. Ояю. —.7~в ах.Отв.е — 1.В. з!пхг(х. Отв,1.9. ',) 1+хе У 2/2 Отв. —. 19. 4 .
Отв. 4 11. ) !В хая. Оам. !п2. 12. о о ,! х х х Отв. 1. 13. И 1 —. Отв. 1п(х). 14. ~ знгхах. Отв. 2з!пз —. 13. ~ хагЬ. х 1 2' о 3/ а в 2 хз — а р ах я!2 Отв, †. 1В. 3 ) 2 ! . Отв. — !и ( 2г — ! (. 1 7. " соз х Ых, Отв. !''4' я/з 18. ~ знгзхг(х. Отв, —.
о 4 Вычислить значения нижеслед ющик нитег подстановки: у щ интегралов, применяя указанные я!2 19. ~ з!п х созе х ах, сов х=й Отв. —. 20, ~ о 3 ' ' 3+2 созх' 2 о т —. 21., 2+4х=Р. Отв. —. 22. )/2+ 4х (1+ з)зг х !2 1 з -! Отв. 4 + —, 23. а! — гЬ, х-1=за. Отв. 2 (2 — аге!и 2). 24, 3 я/2 г=-. Отв.
1п —. 23. х ' ' 2 ' ',) 6 — бзгп~р+зйгз!р' о 3' УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Хг Доказать, что 1 1 з 26. $ хм(! — х)"!(к=$ хч(1 — х)м !(к (в! > О, и > О). 27. $ /(к) бх= о з в Ь а в ~ ! (и+Ь вЂ” к) !!х. 28. ) 7(ке) ок= — ~ г(хз) бх, ! !' 2 в о в Вычислить следующие несобственные интегралы: 1 +а +и 29.
~ . Оли. 1. 30. ~ в-"!!х, Ол!в. 1. 31. ~ з . Оим.— хбх Г е а о ! В 1 (а > О). 32. ~ . Олм.—.ЗЗ.~ —. Ов!в, —. 34. ~1пх!(х. Отв, — 1. бх и Гс(к 1 Ьк1 — хз о 1 о ч и кю бх 36. ( хз!п хдх. Олы. Интеграл расходится. 38. ( =. Оз!в. Интеграл з' х +Ф 1 2 !(х Г ок 3 Г !!х Расходится. 37. , 2 + . Олм. и. 38. ) !! . Опм, 2 . 39. ОР о о +Ф 1 Ов!в. Интеграл расходится. 40. ~ . Ол!в. —. 41. ~ —.
Олм. ох х3гх' — 1 ! -! Интеграл расходится. 42. ~ в-'к з1п Ьх 4х о (и > 0). О Ь 43. ~ в-вк соз Ьх!!х (а > О). Овм.— ' аз+ Ь' о Вычислить приближенные значения ннтегралон. з Г !(х 44. 1пб= ! — по формуле трапеций и по формулеСнмпсона (а=12). Олм.
,) х ! 1,6182 (по формуле трапеций); 1,6098 (по формуле Симпсона). 11 45. ~ кзЛк по формуле трапеций и по формуле Симпсона (и=10). Ози. 1 3690, 3660. 1 46. ~ З~! — к!ах по формуле трапеций (л=б). Ол!в, 0,8109. о з Г г!х 47. ) — по формуле Симпсона (п=4). Оз!в. 0,8!11. ',) 2х — 1 1 10 48. ~ 19х!)х по формуле трапеций и по формуле Симпсона (и=10). Оз!в.
6,0656; 6,0896. 400 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 49. Вычислить значение н из соотношения — =~ —, применяя форм Г о(х 4,~ !+ хо' о мулу Симпсона (л= !О). Ошв. 3,14159. н 1'з1пк 50. ~ — г(х по формуле Симпсона (а=10). Ошв, 1,37!. х о 1 51. Исходя из равенства ) е-ахйх= —, где а > О„найти при целом а' о +Ф л > 0 величину интеграла ) е-" х" о(х.
Олм, и!. о а (' 3х н 52. Исходя из равенства †, == , найти величину интеграла ! хо+о 2рг о о +а х О 1 3.5 '(2 — 1) (хо ! 1)о~~ ш' 2 2.п! о Г 1 — е-ах 53. Вычислить интеграл хе» Ех. Ота. 1п(1+а) (гз > — 1). о 1 ! 54. Пользуясь равенством ) хо-1 о!х= —, вычислить интеграл о 1 5! хо-г(!пх)ао(х. Ошв. ( — 1)"— па+1 о ГЛАВА ХП ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА й 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах Если на отрезке [а, Ь| функция 1(х))0, то, как известно (~ 2, гл. Х1), площадь лриволипеймой трапвь(ии, ограниченной кривой у =1 (х), осью Ох и прямыми х и н н х = Ь (рис.
214), равна ь ()=1Р()д. а ь Если Г(х)(0 на [а, Ь1, то определенный интеграл ) 1(х)йх а также (О. По абсолютной величине он равен площади () соот- ь ветствующей криволинейной трапеции: — Я = ~1(х) йх. Если ) (х) конечное число раз меняет знак на отрезке [а, Ь1, то интеграл по всему отрезку [а, Ь1 разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где )(х))0, и отрицателен там, где 1(х)(0. Интеграл по + всему отрезку даст соответствующую алгебраическую сумму площадей, лежащих выше и ниже оси Ох (рис. 232). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам или вычислить интеграл Я = ') ~ 1 (х) ~ йх.
Пример 1. Вычислить площадь 0 фигуры, ограниченной синусоидой р=ыпк и осью Ох, при Оаьна 2п (рис. 233). 14 И. С. Пискунов, т. 1 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1ГЛ. ХИ 402 Решение. Так как 5!их 0 при О~х~п и 5!их~О при и < Х~2П, то и ) 2П 2п !1= ~ 5!п х!(х+ ~ 51п х Ых = ) ) 51п к ( с(х~ о и о !л 51П х ь(х= — соя х ~ = — (соя л — соя 0) = — ( — 1 — 1) = 2, )о о 2п я1П хих= — соя х~ = — (со52п — соя и)= — 2. Следовательно, 0 =2+) — 2)=4. Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми у=(,(х), у=(,(х) и ординатами х=а, х=Ь, то при условии (,(х) )(а(х) будем иметь (рис.
234) ь ь ь Я = ~ 1! (х) дх — ) 12 (х) ь(х = ~ [)", (х) — (я (х)|с(х. (2) П р н м е р 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис. 236) р= Г' х и у=хе. Решение. Находим точки пересечения кривых: Ух=х'! Х=хь,откуда ха=О, х,=1. Рис. 234. Рис. 233.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
