32_PiskunovT1 (523111), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(Оно также следует из формулы (2) 2 4 гл. Х.) Из равенства (2) получаем ь ) ((х) с(к=Г (х) ~,=г'(Ь) — г" (а), а Из равенства (3) получаем В К У[р(1)1 р'(1) д(= р [р(1)1! „'= р[р ФЯ-П р(и)1= р (Ь) -~ (а). Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной.
Если мы вычислим второй из определенных интегралов равенства (1), то мы получим некоторое число; этому же числу равняется и первый интеграл. П р имер. Вычислить интеграл ) Рг* — х'Ых. о Решение. Сделаем замену переменной: х =- = с з1п б ах=с сов гЖ. Определим новые пределы: х=о прн 1=0, х=г при 1=лай. Следовательно, Г Л/2 Л/2 )ггз — х'Ех= ) )Егз — гхз1п21гсоьгат=ге ) Р 1 — зш'1 созгаг о о о л!2 л!2 [' (1 1 ~ [ 1 з1п211л12 лг г 2 2 =ге [ созз 1 Ее=ге ( — + — соз 21 Ю=гх — +— о Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет пло- щадь г/а круга, ограниченного окружностью хе+из=го (рис. 221).
ОПРедалннный интвггзл (ГЛ. Х! В 6. Интегрирование по частям а а нли Окончательно ь ь ) ис(оллпо~,— ~ ос(и. л12 Пример. Вычислить интеграл 1л= ) вгплхбк. о л12 и1 2 л! 2 1 = ) в!пахах= ) в!па-гхз1пхах= — ) впгл-тхасозх= о о о л/2 ! л/2 = — вьэл-тхсозх~ +(и — 1) ) ваэл-2»созхсозхбхлл (о о л/2 л12 =(И вЂ” 1) ) З1ПЛ-'ХСОЗ2»ЫК=(И вЂ” 1) ~ В!ПЛ 2Х(1 — МП2»)бХлл о о л/2 л/2 =(и — !) ) в|ил ~хỠ— (и — 1) ~ зиглкбк. о о В выбранных обозначенинх последнее равенство можно записать так: 1л=(и — 1) 1л-2 — (и — 1) 1л. откуда находим и — ! 1л 1л-а. и Тем же приемом найдем и — 3 1 -2= — 1 -а и — 2 (2) поэтому и — 1и — 3 1лл 1 л и и — 2 л Пусть и н о — дифференцируемые функции от х.
Тогда (ио)' = и'о+ ио'. Интегрируя обе части тождества в пределах от а до Ь, получим ь ь ь ') (ио)' г(х= ) и'оь(х+) ио' !(х. (!) а а а ь Так как ) (ио)'г(к=Но+С, то ) (ио)'с(х=ио(,; поэтому равен- а ство (() может быть записано в виде ь ь ио~.'=~ Ь+~ибо, интиГРиРОВАиие ИО чАнтям 5з1 Продолжая таким же образом далее, мы дойдем или до 1, илн до 11 в зависимости от того, будет лн число а четным или нечетным. Рассмотрим два случая: 1) л — число четное, п=2т: 2т — 12т — 3 3 1 2т2а — 2'"42 2) л — число нечетное, п=2т-(-1: 2т 2т — 2 4 2 1з +а= — ... — — 15 2т+! 2га — ! '' 5 3 но так как и1т и/3 п12 1 = а!пехдх= " ба=в а— -2 11= з!п хбх=1, и/2 2т — 12т — 3 5 3 1 ж 1ам= з!пке хнах= — — ° ...
2а 2а — 2 ''' б 4 2 2' и/2 2а 2т — 2 5 4 2 1з +! в!пзм+тх г(х= —. 2т+1 2т — 1 ''' 7 5 3' и 246...2т з 1 1 (3) 2 ~ 3 5.....(2а — 1) ) 2т+11ам+а Докажем теперь, чго 1йп — = 1. ,„1 + Для всех х из интервала (О, — справедливы неравенства 21 з!и ~ "х)зш х) 3!и ~+ х. Интегрируя в пределах от О до п12, получим откуда — - — ) 1. 1л (4) Из равенства (2) следует 1чм а 2т ) ! 1ам,.т 2т Поэтому 1!т == 1нп — =1. 1зм з .
2т+! п~ 1зп+з т 2т Из этих формул следует бюрмула Валлыса, выражающая число и/2 в виде бесконечного произведения. Действительно из последних двух равенств путем почленного деленик находим ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ. Х! Из неравенства (4) получаем 1(т "' = 1.
), т )за+ х Переходя к пределу в формуле (3), получим 4ормулр Валлиспз 2 т 1(3.5 ....(2т — 1) ) 2т+1 1' Эту формулу можно записать в следующем виде: и . 72 2 4 4 6 2т — 2 2т 2т 2 т (1 3 3 5 5 ''' 2т — 1 2т — 1 2т+1)' й 7. Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть функция ~(х) определена и непрерывна при всех значениях х таких, что а(х (+со. Рассмотрим интеграл Ь 1(Ь) = 1 Р(х) Ь. а Этот интеграл имеет смысл при любом Рис. 222. Ь > а. При изменении Ь интеграл изменя- ется, он является непрерывной функцией Ь (см. 2 4).
Рассмотрим вопрос о поведении этого интеграла при Ь вЂ” +оо (рис. 222). Определение. Если существует конечный предел 1пп ~ )' (х) Нх, Ь «+а'а то этот предел называют несобственным интегралом от функции ~(х) на интервале )а, + со) и обозначают так; + «« ) г(х)с(х. Следовательно, по определению имеем + а ь ) 1(х) с(х= 1пп ) 1(х) с(х. Говорят, что в этом случае несобственный интеграл ) )(х) с(х а ь существует или сходится. Если ~1(х)с(х при Ь- +оо не имеет а несОБстВенные интегралы конечного предела, то говорят, что ) ((х) г(х нс существует или а расход иптся.
Легко выяснить геометрический смысл несобственного интеграла ь в случае, когда ! (х) )~0: если интеграл ~ Г(х) дх выражает пло- н щадь области, ограниченной кривой у= ~(х), осью абсцисс и ордннатами х=а, х=й, то естественно считать, что несобственный интеграл ) ) (х) с(х выражает площадь неограниченной (бесконеч- а ной) области, заключенной между линиями у=~(х), х=а и осью абсцисс. Рис. 224. Рис. 223. Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов: ) ~ (х) с(х = !!щ ) ~ (х) Их, м а-> — н а +а с +Ю ~ ! (х) дх= ) ! (х) дх+ ) ) (х) гтх.
Последнее равенство следует понимать так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится) по определению и интеграл, стоящий слева. г!а П р и и е р 1. Вычислить интеграл ( — (рис. 223 и 224). 1+ «а о Решение. По определению несобственного интеграла находим +и ь ах . г аа !ь Л вЂ” Нш ) — = 1пп агс!я х ~ = 1!ш агс!К Ь= —. !+аа ь- ь,) !+ха ь-е ~ю ь-+ 2 о о Рассмотренный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.
224. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (гл. х1 Пример 2. Установить, при каких значениях а (рис. 22о) интеграл вх — сходится и при каиих расходится. ха ! ь Г Вх 1 1Ь 1 Решение. Так как (при а ~ 1) ) — = — ха-«~ = — (Ьь-а — \), 1 — и (1 1 — а 1 Г Вх а < 1, то ) †=, т. е.
интеграл расходит1 Г Вх 1+а ся. Прн а=1 ) — =1пх~ =се — интегу 1 =1 рал расходится. 1 +Ф вх П р и и е р 3. Вычислить ,1 1+ ха Ф Рис. 225. О +а Вх Г Вх Г Вх Решен не. — = ) — + ~ —. Второй интеграл равен 1+х* — 3 1-(-ха,) 1+х* — Ю Ф а — (см. пример 1).
Вычислим первый интеграл: 2 а о Вх Г Вх ~О и — пп1 ) — = 1пп агс1к х ~ = 1(п1 (агс1ео — агссеа)= —. 1+х' а — 3 1+х' а а а 2 Следовательно, Вх и и 1+ха 2+ 2 Ф Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение. Для этого могут быть полезными следующие теоремы, которые мы приведем без доказательств, а применение их докажем на примерах. Теорема 1. Если для всех х (х»а) выполняется неравенство О()".(х) ( р(х) +Ф +а и если ~ 1р(х) с(х сходится, то ) ~(х)с(х также сходится, яри Г Вх то ~ — = 11ш — (Ь'-а — 1).
Следовательно, относительно рассматрн- 1 ваемого интеграла можно сделать следующие выводы: если а ) 1, го вх 1 — = — , т. е. интеграл сходится; если ха и — 1' 1 нвсовственныа интегралы $7! ~ ~(х)с(х( ~ !р(х)дх. Пример 4. Исследовать, сходится ли интеграл ) ! хз(!+а*) ' 1 1 Г 1 Р е ш е н и е. Заметим, что при 1 ~ х хз (!+ах) хз ' ',) хз < †. Далее, ) — пх = ! !+и Г вх — — =1. Следовательно, г! сходится н его значение меньше!.
х ! хз (1+ ах) ! интеграл ~ !" (х) г(х. и +Э (' я+1 Пример 5. Исследовать, сходится ли интеграл ( — их. о )/ хе х+1 х 1 Г ох, — !ь Замечаем,что= > ===. Но г! == Иш 2$' х~ =+от. хе )гх )г» ь + ! ! Следовательно, расходится и данный интеграл. В последних двух теоремах рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. Для случая функции ((х), меняющей знак в бесконечном интервале, имеет место следующая теорема. Теорема 3. Если интеграл ~ ) у(х) ~ г(хсходится, то сходится е и интеграл ~ ! (х) с(х. а В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.
з!п х П р имер 6. Исследовать сходимость интеграла ) — ох. х ! Р е ш е н и е. Здесь подынтегральная функция знакопеременная. Замечаем, з!пх! ! 1 ! !" Лх 1 !+ 1 что ~ —.~~~ — ~. Но ) —.= — ~ = —. Следовательно, интегх' ~ ~ х' ~ ' 3 хз 2хе ~! 2 ' 1 Теорема 2. Если для всех х(х)а) выполняется неравенство еи 0(<р(х) "((х), причем ') !р(х)дх расходится, то расходится и и опрвдвлвниыи интеграл !гл.
х! а!и х рал ) ~ — а~с!х сходится. Отсюда следует, что сходи!си я данама ин! теграл. 2. Интеграл от разрывной функции. Пусть функция )". (х) определена и непрерывна при а ( х ( с, а при х = с функ- ция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле) г(х) с(х как о пределе интегральа ных сумм, так как 1(х) ие непрерывна на отрезке [а, с), и поэ- тому этот предел может и не существовать. с Интеграл ~ 1(х) е(х от функции 1 (х), разрывной в точке с, а определяется следующим образом: е ь 1~(х)а = 11щ 11(х)д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
