32_PiskunovT1 (523111), страница 64

Файл №523111 32_PiskunovT1 (Пискунов Н. С. - Дифференциальное и интегральное исчисления) 64 страница32_PiskunovT1 (523111) страница 642013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

(Оно также следует из формулы (2) 2 4 гл. Х.) Из равенства (2) получаем ь ) ((х) с(к=Г (х) ~,=г'(Ь) — г" (а), а Из равенства (3) получаем В К У[р(1)1 р'(1) д(= р [р(1)1! „'= р[р ФЯ-П р(и)1= р (Ь) -~ (а). Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной.

Если мы вычислим второй из определенных интегралов равенства (1), то мы получим некоторое число; этому же числу равняется и первый интеграл. П р имер. Вычислить интеграл ) Рг* — х'Ых. о Решение. Сделаем замену переменной: х =- = с з1п б ах=с сов гЖ. Определим новые пределы: х=о прн 1=0, х=г при 1=лай. Следовательно, Г Л/2 Л/2 )ггз — х'Ех= ) )Егз — гхз1п21гсоьгат=ге ) Р 1 — зш'1 созгаг о о о л!2 л!2 [' (1 1 ~ [ 1 з1п211л12 лг г 2 2 =ге [ созз 1 Ее=ге ( — + — соз 21 Ю=гх — +— о Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет пло- щадь г/а круга, ограниченного окружностью хе+из=го (рис. 221).

ОПРедалннный интвггзл (ГЛ. Х! В 6. Интегрирование по частям а а нли Окончательно ь ь ) ис(оллпо~,— ~ ос(и. л12 Пример. Вычислить интеграл 1л= ) вгплхбк. о л12 и1 2 л! 2 1 = ) в!пахах= ) в!па-гхз1пхах= — ) впгл-тхасозх= о о о л/2 ! л/2 = — вьэл-тхсозх~ +(и — 1) ) ваэл-2»созхсозхбхлл (о о л/2 л12 =(И вЂ” 1) ) З1ПЛ-'ХСОЗ2»ЫК=(И вЂ” 1) ~ В!ПЛ 2Х(1 — МП2»)бХлл о о л/2 л/2 =(и — !) ) в|ил ~хỠ— (и — 1) ~ зиглкбк. о о В выбранных обозначенинх последнее равенство можно записать так: 1л=(и — 1) 1л-2 — (и — 1) 1л. откуда находим и — ! 1л 1л-а. и Тем же приемом найдем и — 3 1 -2= — 1 -а и — 2 (2) поэтому и — 1и — 3 1лл 1 л и и — 2 л Пусть и н о — дифференцируемые функции от х.

Тогда (ио)' = и'о+ ио'. Интегрируя обе части тождества в пределах от а до Ь, получим ь ь ь ') (ио)' г(х= ) и'оь(х+) ио' !(х. (!) а а а ь Так как ) (ио)'г(к=Но+С, то ) (ио)'с(х=ио(,; поэтому равен- а ство (() может быть записано в виде ь ь ио~.'=~ Ь+~ибо, интиГРиРОВАиие ИО чАнтям 5з1 Продолжая таким же образом далее, мы дойдем или до 1, илн до 11 в зависимости от того, будет лн число а четным или нечетным. Рассмотрим два случая: 1) л — число четное, п=2т: 2т — 12т — 3 3 1 2т2а — 2'"42 2) л — число нечетное, п=2т-(-1: 2т 2т — 2 4 2 1з +а= — ... — — 15 2т+! 2га — ! '' 5 3 но так как и1т и/3 п12 1 = а!пехдх= " ба=в а— -2 11= з!п хбх=1, и/2 2т — 12т — 3 5 3 1 ж 1ам= з!пке хнах= — — ° ...

2а 2а — 2 ''' б 4 2 2' и/2 2а 2т — 2 5 4 2 1з +! в!пзм+тх г(х= —. 2т+1 2т — 1 ''' 7 5 3' и 246...2т з 1 1 (3) 2 ~ 3 5.....(2а — 1) ) 2т+11ам+а Докажем теперь, чго 1йп — = 1. ,„1 + Для всех х из интервала (О, — справедливы неравенства 21 з!и ~ "х)зш х) 3!и ~+ х. Интегрируя в пределах от О до п12, получим откуда — - — ) 1. 1л (4) Из равенства (2) следует 1чм а 2т ) ! 1ам,.т 2т Поэтому 1!т == 1нп — =1. 1зм з .

2т+! п~ 1зп+з т 2т Из этих формул следует бюрмула Валлыса, выражающая число и/2 в виде бесконечного произведения. Действительно из последних двух равенств путем почленного деленик находим ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ. Х! Из неравенства (4) получаем 1(т "' = 1.

), т )за+ х Переходя к пределу в формуле (3), получим 4ормулр Валлиспз 2 т 1(3.5 ....(2т — 1) ) 2т+1 1' Эту формулу можно записать в следующем виде: и . 72 2 4 4 6 2т — 2 2т 2т 2 т (1 3 3 5 5 ''' 2т — 1 2т — 1 2т+1)' й 7. Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция ~(х) определена и непрерывна при всех значениях х таких, что а(х (+со. Рассмотрим интеграл Ь 1(Ь) = 1 Р(х) Ь. а Этот интеграл имеет смысл при любом Рис. 222. Ь > а. При изменении Ь интеграл изменя- ется, он является непрерывной функцией Ь (см. 2 4).

Рассмотрим вопрос о поведении этого интеграла при Ь вЂ” +оо (рис. 222). Определение. Если существует конечный предел 1пп ~ )' (х) Нх, Ь «+а'а то этот предел называют несобственным интегралом от функции ~(х) на интервале )а, + со) и обозначают так; + «« ) г(х)с(х. Следовательно, по определению имеем + а ь ) 1(х) с(х= 1пп ) 1(х) с(х. Говорят, что в этом случае несобственный интеграл ) )(х) с(х а ь существует или сходится. Если ~1(х)с(х при Ь- +оо не имеет а несОБстВенные интегралы конечного предела, то говорят, что ) ((х) г(х нс существует или а расход иптся.

Легко выяснить геометрический смысл несобственного интеграла ь в случае, когда ! (х) )~0: если интеграл ~ Г(х) дх выражает пло- н щадь области, ограниченной кривой у= ~(х), осью абсцисс и ордннатами х=а, х=й, то естественно считать, что несобственный интеграл ) ) (х) с(х выражает площадь неограниченной (бесконеч- а ной) области, заключенной между линиями у=~(х), х=а и осью абсцисс. Рис. 224. Рис. 223. Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов: ) ~ (х) с(х = !!щ ) ~ (х) Их, м а-> — н а +а с +Ю ~ ! (х) дх= ) ! (х) дх+ ) ) (х) гтх.

Последнее равенство следует понимать так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится) по определению и интеграл, стоящий слева. г!а П р и и е р 1. Вычислить интеграл ( — (рис. 223 и 224). 1+ «а о Решение. По определению несобственного интеграла находим +и ь ах . г аа !ь Л вЂ” Нш ) — = 1пп агс!я х ~ = 1!ш агс!К Ь= —. !+аа ь- ь,) !+ха ь-е ~ю ь-+ 2 о о Рассмотренный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.

224. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (гл. х1 Пример 2. Установить, при каких значениях а (рис. 22о) интеграл вх — сходится и при каиих расходится. ха ! ь Г Вх 1 1Ь 1 Решение. Так как (при а ~ 1) ) — = — ха-«~ = — (Ьь-а — \), 1 — и (1 1 — а 1 Г Вх а < 1, то ) †=, т. е.

интеграл расходит1 Г Вх 1+а ся. Прн а=1 ) — =1пх~ =се — интегу 1 =1 рал расходится. 1 +Ф вх П р и и е р 3. Вычислить ,1 1+ ха Ф Рис. 225. О +а Вх Г Вх Г Вх Решен не. — = ) — + ~ —. Второй интеграл равен 1+х* — 3 1-(-ха,) 1+х* — Ю Ф а — (см. пример 1).

Вычислим первый интеграл: 2 а о Вх Г Вх ~О и — пп1 ) — = 1пп агс1к х ~ = 1(п1 (агс1ео — агссеа)= —. 1+х' а — 3 1+х' а а а 2 Следовательно, Вх и и 1+ха 2+ 2 Ф Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение. Для этого могут быть полезными следующие теоремы, которые мы приведем без доказательств, а применение их докажем на примерах. Теорема 1. Если для всех х (х»а) выполняется неравенство О()".(х) ( р(х) +Ф +а и если ~ 1р(х) с(х сходится, то ) ~(х)с(х также сходится, яри Г Вх то ~ — = 11ш — (Ь'-а — 1).

Следовательно, относительно рассматрн- 1 ваемого интеграла можно сделать следующие выводы: если а ) 1, го вх 1 — = — , т. е. интеграл сходится; если ха и — 1' 1 нвсовственныа интегралы $7! ~ ~(х)с(х( ~ !р(х)дх. Пример 4. Исследовать, сходится ли интеграл ) ! хз(!+а*) ' 1 1 Г 1 Р е ш е н и е. Заметим, что при 1 ~ х хз (!+ах) хз ' ',) хз < †. Далее, ) — пх = ! !+и Г вх — — =1. Следовательно, г! сходится н его значение меньше!.

х ! хз (1+ ах) ! интеграл ~ !" (х) г(х. и +Э (' я+1 Пример 5. Исследовать, сходится ли интеграл ( — их. о )/ хе х+1 х 1 Г ох, — !ь Замечаем,что= > ===. Но г! == Иш 2$' х~ =+от. хе )гх )г» ь + ! ! Следовательно, расходится и данный интеграл. В последних двух теоремах рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. Для случая функции ((х), меняющей знак в бесконечном интервале, имеет место следующая теорема. Теорема 3. Если интеграл ~ ) у(х) ~ г(хсходится, то сходится е и интеграл ~ ! (х) с(х. а В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

з!п х П р имер 6. Исследовать сходимость интеграла ) — ох. х ! Р е ш е н и е. Здесь подынтегральная функция знакопеременная. Замечаем, з!пх! ! 1 ! !" Лх 1 !+ 1 что ~ —.~~~ — ~. Но ) —.= — ~ = —. Следовательно, интегх' ~ ~ х' ~ ' 3 хз 2хе ~! 2 ' 1 Теорема 2. Если для всех х(х)а) выполняется неравенство еи 0(<р(х) "((х), причем ') !р(х)дх расходится, то расходится и и опрвдвлвниыи интеграл !гл.

х! а!и х рал ) ~ — а~с!х сходится. Отсюда следует, что сходи!си я данама ин! теграл. 2. Интеграл от разрывной функции. Пусть функция )". (х) определена и непрерывна при а ( х ( с, а при х = с функ- ция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле) г(х) с(х как о пределе интегральа ных сумм, так как 1(х) ие непрерывна на отрезке [а, с), и поэ- тому этот предел может и не существовать. с Интеграл ~ 1(х) е(х от функции 1 (х), разрывной в точке с, а определяется следующим образом: е ь 1~(х)а = 11щ 11(х)д.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
9,09 Mb
Тип материала
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее