32_PiskunovT1 (523111), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(4) а Доказательство. По условию т(7 (х) (М. На основании свойства (3) имеем ь ь ь 1 е(к< 11(х)с(х< ) Мух. (4') Но ) тс(х=т(Ь вЂ” а), ) Ме(х=М(Ь вЂ” а) а а (см. пример 3 2 2). Подставляя зти выражения в неравенство (4'), получим неравенство (4). Рис. 217. Рис. 218. Если 7(х) )О, то зто свойство легко иллюстрируется геометрически (рис. 218): площадь криволинейной трапеции аАВЬ содержится между площадями прямоугольников аАГВ,Ь и аА„В,Ь, Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция 1'(х) непрерывна на отрезке (а, Ь~„то на этом отрезке найдется п1акая тачка $, что справедливо следующее равенство: ь $ 1 (х) дх = (Ь вЂ” а) 1' ($) . (5) а Доказательство.
Пусть для определенности а<Ь. Если т и М суть соответственно наименьшее и наибольшее значения 13 И. С. Пиаиуааи, в 1 опееделвниыи интагелл 1гл. к1 ~(х) на отрезке [а, Ь], то в силу формулы (4) т< ь — ] Г (х) ь«х (М. г Я ь Отсюда — ] ~(х)дх=р, где т "р<М. 1 Г а Так как Г(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она принимает все промежуточные значения, заключенные между т и М.
Следовательно, при некотором значении 9(а< ($<Ь) будет р=(($), т.е. л «й с л й= ] 1 (х) ь«х = 1 ($) (Ь вЂ” а). И Свойство 6. Для любых трех чисел а, Ь, с справедливо равенство ь и а с ь ь ь Рис. 219. ] ~ (х) дх = ] ~ (х) Ых + ] 1 (х) Ых, (6) а а с если только все вти три интеграла существуют. Доказательство. Предположим сначала, что а < с < Ь, и составим интегральную сумму для функции [(х) на отрезке[а, Ь]. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь] на части, то мы будем разбивать отрезок [а, Ь] на малые отрезки так, чтобы точка с была точкой деления.
ь Разобьем далее интегральную сумму г,', соответствующую отрезку а [а, Ь], на две суммы: сумму ~, соответствующую отрезку [а, с], а ь и сумму ~~',, соответствующую отрезку [с, Ь]. ь е ь Тогда ~ Г ($1) Лхь = ~~~ 1 ($1) Лх; + 2, '[ ($1) Лхь. Переходя в последнем равенстве к пределу при шакбхь — О, получим соотношение (6). Если а < Ь < а, то на основании доказанного можем написать е ь с ь е ь '1 1 (х) Их = ] Г (х) ь(х+ ) ~ (х) ь«х или ) ~ (х) ь«х = ) ~ (х) ь«х — ) ( (х) ь(х; а ь ь ь а ь ь ь но на основании формулы (4) 9 2 имеем ] ~(х)Нх= — ) ~(х)ь(х, ь а ь с ь поэтому ] 1" (х) Их=] ~(х)Их+] ~(х)е«х. вычислянив опвадвлвннаго интеггллл Аналогичным образом доказывается это свойство при любом другом расположении точек а, Ь и с.
На рнс. 219 дана геометрическая иллюстрация свойства 6 для того случая, когда 1 (х) ) О и а < с < Ь: площадь трапеции аАВЬ равна сумме площадей трапеций аАСс и сСВЬ. й 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница Если 1(1) — неотрицательная функция, то величина Ф(х) численно равна площади криволинейной трапеции аАХх (рис. 220). Очевидно, что эта площадь изменяет- 4 л ог! гВ ся в зависимости от изменения х. Найдем производную от Ф(х) по х, т. е. найдем производную определенного интеграла (1) по верхнему пределу.
Т е о р е м а 1. Если 1" (х) — непрерывная функция и Ф(х) = ~ ) (г) йг, О пю имеет место равенство 0 а х халс а' Рис. 220. Ф' (х) = )'(х). Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна псдынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).
Доказательство. Дадим аргументу х положительное или отрицательное приращение Ах; тогда (учнтывая свойство 6 опреде~з~ ь Пусть в определенном интеграле ) )'(х)йх нижний предел а й закреплен, а верхний предел Ь меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т. е. интеграл есть функция верхнего предела.
Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, последнюю обозначим через г. (От обозначения переменной интегрирования значение интеграла не зависит.) Получим к интеграл ) 1(1) Ж. При постоянном а этот интеграл будет пред- а ставлять собой функцию верхнего предела х. Эту функцию мы обозначим через Ф(х): х Ф (х) = 1 ) (г) йг. а ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 372 (гл.хг ленного интеграла) получим Ф(х+Ьх) = ] у (1)йг= ~ 7(1) Ж + а а к+ А» + 1 ) (() Ж.
Приращение функции Ф(х) равно ЬФ= Ф(х+Ьх)— к »+ А» » к+А» — Ф(х)=~)(1)Ж+ ~ )" (()Ж вЂ” ~)'(1)й(, т. е. ЬФ= ~ )(1)й(. а » а к К последнему интегралу применим теорему о среднем значении (свойство 5 определенного интеграла) ЬФ= 7'($) (х+Ьх — х) = 7($) Ьх, где й заключено между х и х+Ьх. Найдем отношение приращения функции к приращению аргу- мента: — = — „= г (ь) АФ 1(о) Ак А» Ак Следовательно, Ф'(х) = 1пп — = 1пп 1($).
Но так как $ — х Аф А»- оа" А-о при Ьх — О, то 1пп Г($) = 1пп 7'Я), а вследствие непрерывности А-О а -~ к функции 7 (х) ! Пп ) ($) = у (х) . Таким образом, Ф' (х) = 7 (х) . Тео- $ к рема доказана. Данная теорема просто иллюстрируется геометрически (рис. 220): приращение ЬФ=7'($) Ьх равняется площади криволинейной тра- пеции с основанием Ьх, а производная Ф' (х) = 1(х) равна длине отрезка хХ. Замечание. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякая непрерывная функция имеет первюбразную.
Действи- тельно, если функция )(г) непрерывна на отрезке [а, х], то, как к указывалось в $ 2, в атом случае определенный интеграл ) 7'(1) Ж а существует, т. е. существует функция Ф(х) = ) 1(() й(. Но по до- казанному выше она является первообразной от 7(х). Теорема 2. Если Е(х) есть какая-либо первообразная от непрерывной функции )(х), пю справедлива формула б 11(х)д =р(Ь)-р(а). (2) а Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница е), к) Необходимо отметить, что такое название формулы (2) условно, по- скольку ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном смысле этого слова. Но важно то, что именно Лейбниц н Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяю- зцую создать правило дли вычислении определенных интегралов.
Вычисление ОпРеделеннОГО интеГРАЯА зтз Доказательство. Пусть Р(х) есть некоторая первообразная от функции )(х). По теореме 1 функция ~ 1(() с(1 есть также а первообразная от ('(х). Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое С*. Следовательно, можно написать х '1 ( (1) с(г = Р (х) + С*.
а Это равенство при соответствующем выборе С" справедливо при всех значениях х, т. е. является тождеством. Для определения постоянного Са положим в этом тождестве х=а; тогда а ~~(1)с((=Р(а)+С', или О=Р(а)+С', откуда С'= — Р(а). а Следовательно, ~ ~(() Ш=Р(х) — Р(а), а Полагая х=Ь, получим формулу Ньютона — Лейбница: ь 11(() ((=Р(Ь) — Р(п), а или, заменив обозначение переменной интегрирования на х: ь ~ ( (х) йх = Р (Ь) — Р (а). а Отметим, что разность Р(Ь) — Р (а) не зависит от выбора первообразной Р, так как все первообразиые отличаются на постоянную величину, которая при вычитании все равно уничтожается. Если ввести обозначение* ) Р (Ь) — Р (а) = Р (х) (ь„ то формулу (2) можно переписать так: ь ~ ( (х) с(х = Р (х) ~, = Р (Ь) — Р (а).
а *) Выражение ) а называется знаком двойной подстановки. В литературе встречаются две формы записи: или Р(Ь) — Р(а) =1Р (х))а, иля Р (Ь) — Р (а) = Р (х) )а. Мы в дальнейшем будем употреблять и тот н другой способы ааписв. опевдилвниын интегрвл 1гл. кг Формула Ньютона — Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов атом случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время.
Хотя с процес- сом, аналогичным вычислению определенного интеграла как пре- дела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архи- мед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона — Лейбница значительно расширила область применения определенного интег- рала, так как математика получила общий метод для реше- ния различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т. д.
ь „* ! ь Ье де П р и м е р 1. ) х Их = —, 2 а Р ь хь 1Ь 1,ь дв П р и и е р 2. ) х' ох = — ~ з~ з д ь хи+1 ~ ь ах+1 де+1 Пример 3. ') х" дх= — ~ = (д~ — 1), + ~.= .+ а и ь Пример 4. ') ех Ых=ех ~ =ее — е". ~ а а 1 ел Пример 5. ) в1и хЫх= — сов х ~ = — (сов 2п — сов 0) = О. )е в 1 П р и м е р 6. = )~ 1+ хе [ е — — 'г' 2 — 1. Ре)+х' 2 5. Замена переменной в определенном интеграле Т е о р е м а. Пусть дан интеграл ь '1 7 (х) дх, а где функция )'(х) непрерывна на отрезке [а, о]. Введем новую переменную 1 по формуле к=ар(1).
$51 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОИ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ННТЕГРАЛВ 37В Если 1) гр(и)=а, ~р(р)=о, 2) <р(1) и <р' (1) непрерывны на отрезке [а, Я, 3) 1'[~р(1)1 определена и непрерывна на отрезке [и, Щ, то ь В [ 7 (х) г(х = [ ( [~р (1)1 о2' (1) дУ. (1) а л Доказательство. Еслиг" (х) есть первообразная для функции 1(х), то можем написать следующие равенства: ) ((х)дх=г" (х)+С, (2) ~([р(г)1 р (1)д(=р[р(1)~+с. (3) Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей по 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
