32_PiskunovT1 (523111), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Решая эту систему, найдем А= — 1, Аз=1/3, А,= — 2/9, В=2/9. Можно было бы также определить некоторые коэффициенты из уравнений, которые получаются при некоторых частных значениях х из равенства (6), которое является тождеством относительно х. Так, полагая х= — 1, получим 3= — ЗА или А= — 1; полагая х=2, получим 6=27В; В=2/9. Если к этим двум уравнениям присоединим два уравнения, получающиеся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х, то получим четыре уравнения лля определения четырек неизвестных коэффициентов.
В результате получаем разложение: ха+2 1 1 2 2 (х+1)з (х — 2) (х+1)э 3(х+1)э 9(х+1)+9(х — 2) ' 9 9. Интегрирование рациональных дробей Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби —, т. е. интеграл ~ — г(х. /1(х) е« /(х) ' .) /() Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена М(х) и правильной рациональной дроби — (см. 9 7). Последнюю же представляем по формуле (5) г (х) /(к) 9 8 в виде суммы простейших дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких п росте й шик дробей.
Из результатов 9 8 следует, что вид простейших дробей определяется корнями знаменателя /(х). Здесь возможны следунмцне случаи. 1 случай. Корни знаменателя действительны и различны, т. е. /(х) =(х — а) (х — Ь) ... (х — г(). В этом случае дробь — разлагается на простейшие дроби Р (х) / (х) 1 типа: Р (х) А В /) — = — + — + ° +— /(х) х — о х — Ь ''' х — Лг и тогда ~Р(х) ~ А „д+~ в „х~ ~ /) =А!п(х — а!+В !и ~х — Ь|+... +1)!и!х — г(!+С. 11 с л у ч а й. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные: /(х) =(х — а)" (х — Ь)В ... (х — г()э. НЕОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ !гл х Б этом случае дробь — разлагается иа простейшие дроби г" (х) 1(х) 1 и 11 типов.
Пример 1 (см. пример в 4 8). ха+2 (' 0х 1 (' Ех 2 Г Лх (х+!)з (х — 2),) (х+1)з+ 3,) (х+1)а 9,) х+! + 2 (' йх 1 1 1 2 2 +О ) х 2 — 2 ((х+ца 3(х+ц — Э !п)х+1)-1- — 1п!х — 2)+С= 2х — 1 2 (х — 2! 6 (х+ 1)а + 9 ~ х+ ! (+ 111 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные непоеторяющиеся (т. е. различные): 1(х) = (х*+рх+о)... (хз+(х+з) (х — а)"... (х — с()з. В этом случае дробь — разлагается иа простейшие роб ) (х) *г (х) д и 1, 11 и 1Ц типов. Пример 2.
Требуется вычислить интеграл хах (х'+1) (х — 1) ' Разложим подынтегральную дробь яа простейшие (см. (5) 6 8): х Ах+В С (ха+1) (х — 1) ха+1 + х — 1 ' Следовательно, х=(Ах+В) (х — 1)+С(ха+1). Полагая х=1, получим 1=2С, С=-1/2; полагая х=о, получим О= = — В+С, В=112. Приравнивая иозффициенты при хз, получим О=А+С, откуда А= — !/2.
Таким образом, хех 1('х — 1 1 Г Ех = — — !п)ха+1)+ — аго(е х+ — 1п)х — 1)+С. 2 2 1ч' случай. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные: )(х)=(ха+рх+о)н... (хз+(х+з)ч(х — а)'"... (х — й)а. В этом случае разложение дроби — будет содержать и про- Р (х) 1(х) стейшие дроби 1Ч типа.
Пример 3. Требуется вычислить интеграл ха+ 4хз+ ! ! ха+ 12х+ 8 (х"-1-2х+3) (х+1) неопределенныи интеграл 1гл. и Пусть й †общ знаменатель дробей пг/л, ..., г/з. Сделаем подстановку х= /а, слх= /г/а зг//. Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень 1 и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функ ц н ю о т 1.
Пример 1. Требуется вычислить интеграл хзГз Лх хзгз+ 1 Решение. Общий знаменатель дробей 1/2, 3/4 есть 4; поэтому делаем подстановну х= /з, На=4/з 41; тогда Г гз гз 4 = 4 ~ гз 41 — 4 ~ — Ш = 4 — — !п ~ и+! ~+ С = 3з ге+1 3 3 4 ~ з/з 3 И. Рассмотрим теперь интеграл вида Р 1' (=+~)"' ' ~++" Л" Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки /а ох+ Н где Й вЂ” общий знаменатель дробей пт/л, ..., г/з. Пример 2.
Требуется вычисляешь интеграл ~ $/х+4 Решение. Делаем подстановиу х+4=1з, х=/з — 4, Их=2/ой тогда ) — ззх=2~/з — 4 о1=2) (1+ з 4) а1=2 ) з11+8 ) з =21+2 1п — +С=2 в~а+4+2!п +С. й 11. Интегралы вида ~ Л (х, )Гахз+ Ьх+с) дх Рассмотрим интеграл ~ /т' (х, $'гах'+Ьх+с) г/х, (1) где а~О. Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции от новой переменной с помощью следующих подстановок Эйлера.
откуда х определяется как рациональная функция от й 1 — с х= Ь 2$гаг (значит, с(х тоже будет выражаться рационально через 1), следо- вательно, Уахз+Ьх+с = Уах+1= Уа ' +г, Ь вЂ” 21 и'а т. е. )/ахз+Ьх+с оказывается рациональной функцией от 1. Так как г' ах'+Ьх+ с, х и с(х выражаются рационально через 1, то, следовательно, данный интеграл (1) преобразуется в интеграл от рациональной функции от Г.
Пр имер 1. Требуется вычислить интеграл Р е ш е н и е. Так как здесь с = 1 > О, то полагаем Г х + с = — х+ О тогда ха+ с = х' — 2хг+ Гз, откуда гз — с х= —. 21 Следовательно, ге+ с 2Р -~ з гз — с ге+с 1 ха+с= — х+1= —— 21 21 Возвращаясь к исходному интегралу, получаем = г 2И Г г)1 ~х~+с=~ з = — =1п111+С1=1п1х+1/хз+с1+Сх 21 (см. формулу 14 таблицы интегралов). 2.
Вторая подстановка Эйлера. Если с > О, то полагаем рхахз+ Ьх+ с = х1 ~ Ус 1 тогда (перед Ус для определенности берем знак плюс) ахз+Ьх+с=ха(з+2кГР'с +с. $11) ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ) Л(х.хах~+Ы+сых 339 1. Первая псдсигаксвка Эйлера. Если а) О, то полагаем 'р'аха+Ьх+с =~)/ах+1. Перед корнем )г' а возьмем для определенности знак плюс. Тогда ах'+Ьх+с=ах'+2 г'ах1+1е, НЕбПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1гл.
х Отсюда х определяется как рациональная функция от 2: 2г"с ! — е л — Р Так как г(х и )в ах'+Ьх+с тоже выражаются рационально через 1, то, подставляя значения х, )У ахе+Ьх+с и с)х в интеграл г1*, у *Хв,~.,!г.... в,, „„,р нальной функции от !. Пример 2. Треоуевси вычислить интеграл (! — )г! +в+хе)' хв )11+и+хе Решен н е. Полагаем у ! +х+хе = х!+1; тогда 2! — 1 2Р— 21+2 1+ +~~=~Ч~+2х)+1, = —, в)х=, гЫ! Р ' (1 Р)з Г 1+х+хв=хг+1= т ', 1 — в~1+в+хе=. Р— !+1 2!т+т Подставляя полученные вырвыении в исходный интеграл, никодим (! — )~ 1+х+х') ( ( 2Р+!)в(! — Р)в (! — ! ) (2Р— 21+2) хе 1 х хе Π— Р)в йц — От(гв — !+О(1 — Р)х У+ + г Р ! !+1 =2 ~ —, в! = — 21+ 1и ~ — ~+С = 3! — ! 2()' !+ х+хе — 1) ~ х+У !+х+хт — ! 1 х — )в' !+х+хв+ ! — +1и ~ 2х+2 )У 1+х-)-х'-)-1)+С.
3. Третья лодслгановха Эйлера. Пусть а и р — действкгельиые корни трехчлена ах*+Ьх+с. Полагаем р' ах'+Ьх+с= (х — а) 1. Так как ах'+Ьх+с = а (х — аКх — ))), то У' а (х — а)(х — ))) =(х — а) 1, а(х — а) (х — )))= (х — а)'Р, а(х — ))) =-(х — а) !т. Отсюда находим х как рациональную функцию от П вр — игх л !т Так как г(х и Р' ах'+Ьх+с тоже рационально зависят от г, то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от !. Замечание 1. Третья подстановка Эйлера применима не только при а ( О, но и при а ) Π— лишь бы многочлен ах'+Ьх+с имел два действительных корня. $ !т) интеГРирозлние тригонометрических Функций 541 П р н мер 3. Требуется вычислить ннтеграл г)х Г' ха+ Зх — 4 Решенне.
Так как ха+За — 4=(х+4)(х — 1), то полагаем )' )*). ))*:)) -)*.Н) ): 1+4!а 101 тогда (х+4) (х — 1)=(х+4)е Га, х — 1= (а+4) га, х= — ) )(х= — Щ, 1 — Н " (1 — Гг)а Г! +4!а 1 51 Г' (х+4) (х — 1) = ~ +4 ~! = — . Возвращаясь к походному интегралу, получаем + ~угх — 1 1и Замечание 2. Заметим, что для приведения интеграла (!) к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера.
Рассмотрим трехчлен аха+ Ьх+ с. Если Ь* — 4ас) О, то корни трехчлена действительны и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера. Если Ь' — 4ас О, то в этом случае аха+ Ьх+ с = — ((2ах+ Ь) '+ (4ас — Ьа)1 2 !2. Интегрирование некоторых классов тригонометрическим функций До сих пор мы систематически изучали интегралы только от алгебраических функций (рациональных и иррациональных).
В настоящем параграфе мы рассмотрим интегралы от некоторых классов неалгебранческих, в первую очередь тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл вида ~ )с (5!Пх, созх) г(х. (1) Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки (и — "=( 2 (2) и, следовательно, трехчлен имеет знак, совпадающий со знакома. ЧтОбм )ггаХ'+ЬХ+С бЫЛ дЕйСтВИтЕЛЬНЫМ, НужНО, ЧтОбЫ трЕХЧЛЕН был положительным, а следовательно, должно быть а > О. В этом случае применима первая подстановка. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1гл. к х к 2 е!и — со«в 2 2 з)пх— 1 к х 2 «1п — со«в 2 2 к ~Е 2 2! «1и' — +сои' — 1+ 1Е'— х х х 1+!« ' 2 2 2 1 — 12«вЂ” х 2 ! — !« х х сои« вЂ” — а!па— 2 2 к Х соૠ— — 81П 2 2 сов хв 1+Но со«а +аш«1+123 2 2 2 Далее х=-2агс1н ! «(х= —. 2о! Ф !+!«' Таким образом, з)пх, созх и с)х выразились рационально через !. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (!), получим интеграл от рациональной функции: ( !' 2! 1 — !«! 2«1 К(з(пх, созх)пх=! Я! — — у! —.
~„+!а !+!«)!+!а. Г ох Пример 1. Рассмотрим иитеграл ) —. На осиоиаиии иаписаииых а!и х выше формул имеем Р 2«! Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида Я(созх, з!пх). Поэтому ее иногда называют «универсальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной» подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.
!) Если интеграл имеет вид ) )с (з!пх) созх«(х, то подстановка з)их= 1, созхс(х=о! приводит этот интеграл к виду ) )с (!) «(!. 2) Если интеграл имеет вид ) )с (созх) з!пхох, то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой созх=!, з)п х пх = — с(!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
