32_PiskunovT1 (523111), страница 57
Текст из файла (страница 57)
г" (х) ! (х) $ т! пРОстеишие РАННОИАльные ДРОБН и их интеГРиРОВАние 32е Пример !. Пусть дана неправильнаи рациональиаи дробь ха — 3 хе+ 2х+ ! Разделив числитель на знаменатель (по правилу деленян многочленов), получим ха — 3 4х+6 хз+2х+ ! хт+2х+ ! Так как интегрирование многочленов не представляет затруд- нений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей. Определение. Правильные рациональные дроби вида 1. —, А ' х — а' А П. „, (Й вЂ” целое положительное число Р2), ра 1П., (корни знаменателя комплексные, т. е. 4 — д <О), . (,+, ( — целое положительное число ~~2; корни рх д знаменателя комплексные), называются простейшими дробями 1, П, П1 и Р1 а!илов.
Далее будет доказано (см. 2 о), что всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Поэтому мы рассмотрим сначала интегралы от простейших дробей. Интегрирование простейших дробей типа 1, !1 и П1 не состав- ляет большой трудности, поэтому мы проведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений: 1. ) —,!(х=А !п(х — а(+С.
А — (2х+ р)+ ( — ) + хе+ рх+д .1 х'+ рх+д = — 1п(х +рх+ф~+( — — 11 А Ар! Г вх = — 1п(х'+рх+д1+ Р, агс!и "~~ +С (см. 2 5). )' 4д — ре У 4д — рт ззо неопределеннын интегр»л (гл. х Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей 1Ч типа. Пусть нам дан интеграл такого типа: Ах+В ',) (хз-1-рх-(-Ч)» Произведем преобразования: А / Арз х ( ( 2 Ах+и Г 2 ~~"~~~~~~ 2 ) (хз+рх+д)»,) (хз+рх-~-и)» , Нх=~ 2 ) (хз+рх+4)» ( 2 ),) (хз+рх+4)» Первый интеграл берется подстановкой х'+ рх+ д=(, (2х+р) з(х= = з((: 2х+р ГП1 Г» 1 *+з (ХЗ( Х( )»~(Х ) РЗ )( З(з= 1» +~= 1 (1 — ») (хз+ рх+ Ч)»-з+ Второй интеграл — обозначим его через 1» — запишем в виде х» з(х з(х Ж вЂ” ~ (хз ( рх ( 4)» — ~ ~ ~ р ) з ~ рз) 1» — ~ ((з ( тз)» з полагая +2 ' ' з 4 Преобразуем интеграл: Н(1»+тз) (1з-(-тз)» =,) (1»+тз)» 2,) (1з-(-тз)» = = — — 1 й(~ 2(» — ') )» (1»+тз)» ') Интегрируя по частям, будем иметь 1з П 1 ( 1 1' и'1 (1з 1 тз)» 2 (» 1) ( (зз+тз)»-з ~ (зз+тз)»-1~ ' по предположению ( рз тельно, д — 4 ) О) .
,) (Н+т')» тз корни знаменателя комплексные, а следова- Далее поступаем следующим образом: (1'+ т') — Гз (1»4 тз)» 1 (' зн 1 Г 1» тз,) (1»+тз)»-з т' ) (и+т')» 4 П пвостиишни плционлльные дрони и их интал ивов»ниа 33! Подставляя это выражение в равенство (1), получим 3! "=1(Р+") = а 1 ! Г ! Р а)1 нР,) (Р+яаа)»-а+ т 2(й — !) ) (Р+та)»-' 5 (!а+та)»-4 2» — 3 Г а 2та(» — 1) (Р-1-та)»-а+2та (Гг — 1) ) (!»+та)»-а . В правой части содержится интеграл того же типа, что 1„, но показатель степени знаменателя подынтегральной функции на единицу ниже (й — 1); таким образом, мы выразили !„через 1»,. Продолжая идти тем же путем, дойдем до известного интеграла: Н 1 1, = ! — = — агс1и — +С. ,1 Р+т» Подставляя затем всюду вместо ! и пт их значения, получим выражение интеграла П! через х и заданные числа А, В, )з, г).
П ример 2. ! р 2 (2~+2)+( — 1 — !) (ха+2х+3)а,) (»Р+2х+3)' 2,) (х'+2х+3)' ) (х'+2х+3)' ох 2 х'+2х+3 ) (х'+2х+3)а К последнему интегралу применяем подстановку х+ ! = 1: 1 Пх (' Их (' г(1 ! (' (Р+ ф — Р (ха+2х+3)а,) ((х+1)а+2Р,) (Ге+21» 2 ) (Р+2)а 2 ) Р+2 2,) (Р+2)з 2 ~/2 рг 2 2 ) (Р+2)а ' Рассмотрим последний интеграл: ,) 2 ) ~!а-)-21 2 1*+2 2 ) !а+2 — — + — агс1п— 2 (Р+2) 2 )/'2 )Г2 (пронзвольной постоянной пока не пишем: мы учтем ее только в окончательном результате).
Следовательно, — — . '-.-" =.1 (а~+Ух+3)а 2 )Г 2 Рг2 2 ) 2 (ха+2х+3)+2)Г 2 ~Г 2 ~' Окончательно будем иметь .+2 )!.2 , х+1 (ха+2х+3)а 2 (ха+2х+3) 4 Р 2 + дгл. х неопРвдвленный.интвгР»л. й 8. Разложение рациональной дроби иа простейшие гдг А — постоянная, не равная нулю, а Р,(х) — многочлен, степень которого ниже степени знаменателя (х — а)» д)д(х). Доказателвство. Напишем тождество Р (х) А Р (х) — А(д (х) / (х) (х — а)" (х — а)" )д (х) (2) (справедливое при любом А) и определим постоянную А так, чтобы многочлен Р(х) — А)д(х) делился на х — а. Для этого по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) — АРд(а) =О.
Так как ),(а) ~О, Р(а) чьО, то А однозначно определится равенством А= †. При таком А будем иметь Р (а) 7д (а) ' Р(х) — А7,(х)=(х — а)Р,(х), где Р,(х) есть многочлен, степень которого ниже степени многочлена (х — а)" ' 7д (х). Сокращая дробь в формуле (2) на х — а, получаем равенство (1). Следствие. К правильной рациональной дроби Рд (х) (х — а)"-')д (х) ' входящей в равенство (1), можно применять аналогичные рассуждения. Таким образом, если знаменатель имеет корень х= а кратности й, то можно написать — = — + + +=+— Р(х) А А, А» д Р»(х) 1(х) (х — а)» (х — а)»-д ' " ' х — а )д (х) ' где — правильная несократимая дробь.
К ней также можно Р»(х) 6(х) пРименить только что ДоказаннУю теоРемУ, если (д (х) имеет дРУгие действительные корни. Покажем далее, что всякую правильную рациональную дробь можно разложитв на сумму простейших дробей. Пусть нам дана правильная рациональная дробь — .
Р (х) 1(х) Будем предполагать, что коэффициенты входящих в нее много- членов — действительные числа н что данная дробь несократима (носледнее означает, что числитель и знаменатель не имеют общих корней). Теорема 1. Пусть х=а есть корень знаменателя кратности й, т. е. 1(х) = (х — а)»(д(х), где )д (а) Ф О (см. й 6 гл. Н11); тогда данную правильную дробь — можно представить в виде суммы Р (х) ) (х) двух других правильных дробей следующим образом: Р (х) А Рд (х) 1ъ 1(д) (х — а)* (х — а)»-д/д(х) ' () зь)»ьзложенне»лциоиьиьнои д»ови нь простившие ЗЗЗ Рассмотрим далее случай комплексных корней знаменателя.
Напомним, что комплексные корни многочленв с действительными коэффициентами всегда попарно сопряжены (см. й 8 гл. У11). В разложении многочлеиа на действительные множители каждой паре комплексных корней многочлена соответствует выражение вида х'+рх+«). Если же комплексные корни имеют кратность р, то им соответствуег выражение (хк+рх+«))».
Теорема 2. Если 1(х) =(х'+рх+«))»«р,(х), где многочлгн «р«(х) не делится на х'+рх+«), то правильную рациональную дробь — ложно представить в виде' суммы двух других прар (х) 1 (х) вильных дробей следующим образом: Р (х) Мх+Л«Ф«(х) 1(х) (хк+рх+«))» (к«+рх+ч)» — «ч«(х) (3) где Ф,(х) — многочлен, степень которого ниже степени много- члена (х*+рх+«))» '«р,(х).
Доказательство. Напишем тождество Г(х) Р(х) Мк+и Р(к) — (Мх+«««)Ч««(х) 1(х) (х'+рх+д)» «ь«(х) (х«+рк+«))» (кх+рк+д)»«р«(х) ' справедливое при любых М и Ж, и определим М и Ж так, чтобы многочлеи р (х) — (Мх+ Ж) «р, (х) делился на х'+ рх+«). Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнение Е (х)— — (Мх+Ж)«р«(х) =О имело те же корни а~1)), что и миогочлен х'+рх+«). Следовательно, г (а+1р) — (М (а+1р)+Ж1«р, (а+(р) =О или М(а+(р)+Ж= +.. Но .
) естьопределенное Р («к+ «'б) Р (««+ «Р) «р«(а+«р) ' Ч««(а+«',9) комплексное число, которое можно записать в виде К+И., где К и Š— некоторые действительные числа. Таким образом, М (а+1р)+ +Ж=К+Ы.; отсюда Ма+Ж=К, М))=Е или )(р — ь б ' При этих значениях коэффициентов М и Ж многочлен г (х)— — (Мх+Ж) «)««(х) имеет корнем число а+1(), а следовательно, и сопряженное число а — 1Р.
Но в таком случае многочлен без остатка разделится на разности х — (а+1Я и х — (а — 1р), а следовательно, и на их произведение, т. е. на х'+рх+«). Обозначая частное от этого деления через Ф,(х), получим г" (х) — (Мх+Ж) р, (х) =- (к*+ рх+о) Ф, (х). Сокращая последнюю дробь в равенстве (4) на х'+ рх+«), получим равенство (3), причем ясно, что степень Ф, (х) меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать. Применяя теперь к правильной дроби — результаты теорем р (х) 1(к) 1 и 2, мы можем выделить последовательно все простейшие дроби, неОпРеделенный интегРлл (гл.
х соответствующие всем корням знаменателя г(х). Таким образом, из предыдущего вытекает следукиций результат. Если ! (х) = (х — а) ... (х — Ь)в (х'+ рх+ »))н... (хв+ й+ з)»д то дробь — может быть представлена в виде р (х) 7 (х) Р (х) А Ад + Ао-д ) (х) (х а) + (» а) д + (х — Ь)В (х — Ь)З д Мх+дд' Мдх ГФд Мв дх+Ун д + (хд+рх+О)н + (хд+рх+Ч)н-д + ' ' '+ хд+рх+д + )'х+с) ) рд +()~ + +)'д- д+()~-~ (б) (х'-)-!х-!-а)» (хд-!-1х-(-з)» ' хе+!х+з Коэффициенты А, А„..., В, В„... можно определить из следующих соображений.
Йаписанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа н слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А, А„... ..., В, В„... Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов. Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то нх значения равны при любых частных значениях х.
Придавая х частные значения, получим уравнения для определения коэффициентов. Таким образом, мы видим, что веякая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших рациональных дробей. П р и м е р. Пусть требуется разложить дробь, на просдейшие. На основании формулы (5) имеем ха+2 А Ад Ад В = — + — '+ — а+в (х+ 1)* (х — 2) (х+ 1)д (х+ 1)' х+ 1 х — 2 ' Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получям хе+2=А (х — 2)+ А, (х+1) (х — 2)+ Ад (х+1)д (х — 2)+В (х+1)', (б) илн ха+2= =(Ад+В) хд+(Ад+ЗВ) х'+(А — Ад — ЗАд+ЗВ) х+( — 2А — 2Ад — 2Ад+В). ИНТЕГРИРОВАННЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ $91 Приравнивая коэффициенты при хэ, хэ, хг, хэ (свободный член), получим систему уравнений для определеиня коэффициентов: О= Аз+В, 1 = Аг+ЗВ, О = А — А,— ЗА,+ЗВ, 2 = — 2А — 2А,— 2А,+В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
