32_PiskunovT1 (523111), страница 52
Текст из файла (страница 52)
(~)]'а+[ф,(!)+ф,(г)в+ +[Х (О+Ха(~)]'й, или "'"'"„+""" =[р; Ю+ р'.()]у+[ф,(у)+ф'()а+Ьяе)+х.(()]й = [р[(() ~+фа(()у+Х'(Ой]+[р'(у) а+ф' Иу+)(" (ОЙ=«а+»;. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ВЕКТОРОВ Следовательно, а [г, (О+ г, (О) аг~ йг~ т т+ж' П.
Производная от скалярного произведения векторов выражается формулой — = —,г +г —. е' (г1г,) вг~ вг, л) ж ' 'т' (11) Действительно, если г, (1), г, (1) определены формулами (3), то, как известно, скалярное произведение этих векторов равно гт (() г, (!) = ч,~р, + Ч~,д, + х,х,. Поэтому в(г'~г,) т %1%2+71%2+11т2+Ч~1Фй+х1х2+х1хз (Ч~МЗ + ЧМ~2 + Х1Х2) + (т!Ч~З + Ч'1тй + Х1Хд =(р11+ЧИ+Х й)Я '+ЧМ+Хйй)+ +(М+Ч3+Х й)(й+ Я+Х'й) =4г,+г," — „,'. Теорема доказана. Из формулы (П) получается важное следствие.
Следствие. Если вектор е единичный, т. е. ~в!=1, то его производная есгпь вектор, к нему перпендикулярный. Доказательство. Если е — единичный вектор, то ее=1. Возьмем производную по ( от обеих частей последнего равенства: е — „+ — „в=О, или 2е — „,=О, т. е. скалярное произведение ие ве вв лс в'е ве и — =О, а это и означает, что вектор — „перпендикулярен к векЖ= тору е. 111.
Если ! (1) — скалярная функция и г (1) — векторная функция, то производная от произведения ((1) г(1) выражается формулой в (!г) й! й — =-г+1-. ве и аг (11!) Доказательство. Если вектор г(1) определен формулой (1), то 1(1) г(Г) =1(1) 1р(()1+1(() ф(1)3+1(1) Х(1) й. По формуле (2) получаем в(!(Ог(О) (и! +~нч') 1+(в1„„+)~Р)~+(4 +~ вх) й = — „,(Чй+М+Хй)+~(,-.1 +„—,,))+,— „й,) =-г+) „—,- в! 2ЗВ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. ЕХ 11е'. Постоянный числовой множитель можно вынести за знак производной: = а — „= аг' (Е) . (ГЪ') Это следует из 111, если Е' (Е) =- а = сопз1. Следовательно, Я=о.
Ч. Производная векторного произведения векторов г, (Е) и г, (Е) определяется формулой д(сексе) Все ига Ю ВЕ ЛЕ а е дЕ ' = — хг +г )( —. Доказывается аналогично формуле (11). й 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении Как и в случае кривых на плоскости, определяется длина дуги *) пространственной кривой М,А = з (рис.
202). При движении переменной точки А (х, у, е) по кривой длина дуги з изменяется; и обратно, прн изменении з изменяются координаты х, у, е переменной точки А, лежащей на кривой. Следовательно, координаты х, у, е переменной точки кривой А можно рассматривать как функции длины дуги з: х= р(з), у=ф(з), е=Х(з). В этих параметрических уравнениях кривой параметром является длина дуги в. Вектор ОА=г выразится так: г= ер (з) 1+ф (з),l+Х (з) я или Рис.
202. г=е (з), т. е. вектор г является функцией длины дуги з. а) алина дуги пространственной кривой определяется так же, как и длина дуги плоской кривой (см, $ 1 гл, Ъ'1 и й 3 гл, Х!1), $«! ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРА ПО ДЛИНЕ ДУГИ «( Выясним геометрический смысл производной —. Как видно из «тз рис. 202, имеот место следующие равенства: М А=з, АВ=ОЗ, М«А=В+Аз, ОА=г(з), ОВ=-г(з+Лз), Лг АВ АВ =- Лг = г (з+ Лз) — г (з), АВ «(г Аг Мы уже видели в й 2, что вектор — = 1пп — направлен по А Она касательной к кривой в точке А в сторону возрастания з. Сдру- ~лв гой стороны, имеет место равенство!Ип = =1 (предел отношения ! Гв длины хорды к длине дуги )).
Следовательно, — „есть еди н ич« «(г н ы й вектор, направленный по касатель- Х ной; обозначим его через еп — =и. Г(Г (2) «тз Если вектор г задан проекциями: г = х(+ у/+ гй, то а = — з+ — /+ — й, (3) «(х . «!у «!г «!з ««з «(з причем Рис. 203. Рассмотрим, далее, в т о р у ю производную векторной функции «г«г «(г ««зз — т. е. производную от —, и выясним ее геометрическое зна- «(5 «(зг «( Г«(г1 йт чение. Из формулы (2) следует, что — „,= — (е — з! = — „. Следова- Ла тельно, нам нужно найти Вш — . е аз Из рис.
203 имеем АВ=ЛЗ, Ай=о, ВК=П+Ло. Проведем из точки В вектор Вт.,=а. Из треугольника ВКА,~ находим ВК = ВЕ, +У.,К, илн а+ Ьа = о+ 1.,К. Следовательно, Е,К = Лп. Так как по доказанному длина вектора о не меняется, то )о)=)а+Ьо); следовательно, треугольник ВОТ равнобедренный. «) Мы указывали на зто соотношение для плоской кривой в $ ! Гл. ЪЧ.
Оио имеет место и для пространственной кривой г(0 =«р (т) т+«р (!)з+х (О а если функции «р(0, «р(0 и х(!) имеют непрерывные производные, не обра. птакициеся одновременно в нуль, зоо приложения диэоипинциального исчисления 1гл. ах Угол Лф при вершине этого треугольника есть угол поворота касательной к кривой при переходе из точки А в точку В, т, е.
соответствует приращению длины дуги Лз. Из треугольника ВКа,а находим Е,К=1Лп(=21п~~з!п — ~~=2 ~з1п — ~~ (так как )п1=1). Разделим обе части последнего равенства на Лз: ) — ) 2) — )— вит— Ьф 2 й Перейдем к пределу в обеих частях последнего равенства при Лз — О. В-левой части получим 1пп ~ — ~= ~ — ~. Далее, ваг— Ьф 2 1пп аа-~0 Хф .2 так как в данном случае мы рассматриваем такие кривые, что существует предел 11ш — и, следовательно, Лф О при Лз- О. Ьф аа- ола Таким образом, после перехода к пределу получаем (4) Отношение угла поворота Лф касательной при переходе от точки А к точке В к длине Лз дуги АВ, взятое по абсолютной величине, называется, так же как и для плоской кривой, средней кривизной данной линии на участке АВ: средняя кривизна= у ~.
1Ьф! Предел средней кривизны при Лз- О называется кривизной линии, в точке А и обозначается буквой К: К= 1пп ~ — ф~. Ьа! Но в атом случае из равенства (4) следует, что ~ — ~ = К, т. е. длина производной от единичного вектора е) касательной по длине *) Напоминаем, что производная вектора есть вектор, и поэтому мы можем говорить о д л и н е производной. 441 ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРА ПО ДЛИНЕ ДУГИ зщ Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны ! линии в данной точке и обозначается через 4т, т. е.
—.=554. Поэтому можем написать 55г Ла и Ы (5) Из этой формулы следует (6) Но — = —. (+ —;~+ —, й. Следовательно, 55г 4455 й55 4555 4455 Л55 Л55 445' (6) Последняя формула дает возможность вычислить кривизну линии в любой точке, если эта линия задана параметрическими уравнениями, в которых параметром является длина дуги 5 (т. е.
если радиус-вектор переменной точки данной линии выражен как функция от длины дуги). Рассмотрим случай, когда радиус-вектор г выражен как функция произвольного параметра 5: г = г (4). В этом случае длину дуги 5 будем рассматривать как функцию параметра ~. Тогда вычисление кривизны. производится следующим образом: 44Г ЛГ 55 Ж 455 СМ дуги равняется кривизне линии в данной точке.
Так как вектор о 45а единичный, то его производная — перпендикулярна к нему (см. 55 6 3, следствие). аа Итак, вектор — по длине равен кривизне кривой, а по направлению перпендикулярен к вектору касательной. О и р еде л е н и е. Прямая, имеющая направление вектора — и '41 а Л5 проходящая через соответствующую точку кривой, называется главной нормалью кривой в данной точке.
Единичный вектор этого направления обозначим через и. 44 а Так как длина вектора „ — равна К вЂ кривиз кривой, то 302 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1ГЛ. 1Х Так как') ~ — ~=1, то 1он 1и (8) Дифференцируя правую и левую части и сокращая на 2, получим дт Пэе ПЭ Пээ и Игз 11 и* (9) Далее, из формулы (7) следует йг' ит 1 аа йг с1э ' Б Днфференцируем по з обе части последнего равенства: зээ иэн аэт 1 НГ П1 аа иэ т5)5 м (65)З1 гтэт подставляя полученное выражение „вЂ”, в формулу (6), будем иметь г аек 1 ИГ ПМ о1~ (Пэ) ги (г1з) пэ пэз Выражая „— и —,, по формулам (8) и (9) через производные от е(1), получим**) ((~-')'1' !ИГ1 . ЛГ *) Это равенство следует из того, что ~ — ~= Нщ —.Но Ьà — хорда, оз~ аэ оаз' 1АГ1 стягивающая дугу длины аз.
Поэтому ~ — ~ стремится к 1 при йз — ьо. 1а | еа) Преобразовываем знаменатель следующвм образом: 1 — ) = г ~ — ) '1и) «М (— =Й"'1*1' (Г~' =,,си), * — . Здесь нельзя написать — . Под — ~ подразумевается скалярный квадрат вектора —. Под с 11 — ) ~ поДРаэумевается тРетья сте а' «пг)) ЫГ 1э пень числа 11 — ) .
Выражение же 11 — ) не. имеет смысла. '1а) ' Ьи) $41 пеРВАя и ВтОРАя пРОизВОдные ВектОРА по длине дзти 303 Формулу (10) можно переписать так з): (11) 1®Т Мы получили формулу, которая дает возможность вычислить кривизну данной линии в любой ее точке при произвольном параметрическом задании этой кривой. Если в частном случае кривая является плоской и лежит н плоскости Охд, то ее параметрические уравнения имеют вид х = тр (!), д = Чз ((), г = О. Подставляя эти выражения х, д, г в формулу (11), мы получим выведенную ранее (в гл. Ч1) формулу, дающую кривизну плоской кривой, заданной параметрически: ! ч'(!) р'(Π— р'(бт" д)1 ((,р д)Е 1 14) (!))з)згз ° Пр имер.
Вычислить кривизну винтовой линии и=(а соз(+газ!о !-(- + йот! в произвольной точке. Решение: 4(Г ам — = — !а з!п !+уа соз !+й ат, —,= — йз соз ! — га з!и (, 4(г 4(зг у й з М и= — аа!п ! а сов ! ат =за'та!п ! — уа'т сов !+Ьаз, й! лтз — асов! — аз!и! О )=' ' 4(г азгт з — К вЂ” ) =а' (те+1), а! из ) ( †)— 4(Г 'З З вЂ” ) =аз з!пз т+а'созе!+азт'=а'(1+та). ат)— Следовательно, 1 аз (те+1) )аз [аз(1+щз))з аз(!+щз)2 откуда )1=а(1-1-тз) =сопз1. Таким образом, винтовая линия имеет постоянный радиус кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
