32_PiskunovT1 (523111), страница 54
Текст из файла (страница 54)
дг дх Щ ду Щ дг д1 На основании равенства (3) выражение, стоящее в правой части, равно нулю, следовательно, Из последнего равенства следует, что вектор М и касательный вектор — к кривой (2) в точке Р перпендикулярны. Проведенй' Ж ное рассуждение справедливо для любой кривой (2), проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке Р перпендикулярна к одному н тому же вектору М и потому все эти касательные лежат в одной у 0 ъ да плоскости, перпендикулярной к вектору М.
Теорема доказана. Ф О п р е д е л е н и е 2. Плоскость, в которой расположены все каа к Хаагахльаха сательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную ее точку Р, называется касательной плоскостью к поверхности в точке Р (рис. 207). Заметим, что в особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. В таких точках касательные прямые к поверхности могут не лежать в одной плоскости. Так, например, вершина конической поверхности является особой точкой. Ркс.
207 дУ дУ дх Проекции этого вектора — , — , — зависят от х у, г — коор дх ' ду ' дг Ф динат точки Р; заметим, что так как точка Р обыкновенная, то эти проекции в точке Р одновременно не обращаются в нуль и потому з1г ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ.
1Х Касательные к конической поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они сами образуют коническую поверхность). Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в обыкновенной точке. Так как эта плоскость перпендикулярна вектору (4), то, следовательно, ее уравнение имеет вид ду дк др — (Х вЂ” х)+ д (1 у + д (е — г)=0, (6) Если уравнение поверхности задано в форме г=)(х, у), или ду д1 ду д1 др г — 1(х, у) =О, то — = — — — = — —, — =1, и уравнение дк дх ' ду ду ' дг касательной плоскости в этом случае примет вид Л вЂ” г = — (Х вЂ” х) + — ()' — у). д1 д( дх ду (6') Замечание. Если в формуле (6') положим Х вЂ” х=Лх; 1' — У=ЛУ, то эта формула примет вид л — г = — Лх+ — ЛУ1 д7 д1 дх ду ее правая часть представляет собой полный дифференциал функции г=((х, у).
Следовательно, л — г=йг. Таким образом, полный дифференциал функции двух переменных в точке И1 (х, у), соответствующий приращениям Лх и Лу независимых переменных хи у, равен соответствующему приращению аппликаты (г) касательной плоскости к поверхности, которая является графиком данной функции. О и р е деле н и е 3. Прямая, проведенная через точку Р (х, у, г) поверхности (1) перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (рис. 207). Напишем уравнения нормали.
Так как ее направление совпадает с направлением вектора М, то ее уравнения будут иметь вид х — г — у г — * ду др дк (7) дк ду дг Если уравнение поверхности задано в форме г=)(х, у), или г — 1(х, у) =О, то уравнения нормали имеют вид Х вЂ” х à — у г— д7 д1 1 дх ду Замечание. Пусть поверхность Р(х, у, г) =0 есть поверхность уровня для некоторой функции трех переменных и = и (х, у, г), т, е. Р(х, у, г) =и (х, у, г) — С=О, Очевидно, что вектор М, определенный формулой (4), направлен- УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ!Х ный по нормали к поверхности уровня Р = и (х, у, г) — С= О, будет ди ди .
ди Ф = — г+ —,у+ — )г дх ду дг т. е. М = дгат( и. Этим мы доказали, что градиент функции и(х, у, г) направлен по нормали к поверхности уровня, проходяи(ей через данную точку. Пример. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нор. мали к поверхности шара ха+у'+г'=14 в точке Р(1, 2, 3).
дР дР дР Р е ш е н и е. Р (х, у, г) = хе+ у'+ г! — ! 4 = О, — = 2х, — = 2у, — =2г, дх ' ду ' дг дР дР дР при х= 1, у= 2, г=З имеем — = 2, — = 4, — = 6. Следовательно, уравдх ' ду ' дг пение касательной плоскости будет 2(х — 1)+4(у — 2)+6 (г — 3)=0, или х+2у+Зг — 14=0. х — 1 у — 2 г — 3 х — 1 у — 2 г — 3 Уравнения нормали: — = — = —, илн — = — = —, 2 4 б ' ! 2 3 Упражнения к главе 1А Найти производные от векторов: 1 1 1.
г=!с1Е1+з агс1и1.0шв. г'= — —. !+ — у. 2. г=г-!!'+2((-( а!Пг ! 1+ Р Ф,/ й -1- 1п тй. Отв. !'= — г тг'+2у+ —. 3. г=1Ч вЂ” — + —. Ол!а. г' = О ' 2й = 2Н+ — —. гг 4. Найти вектор касательной, уравнения касательной и уравнение нормальной плоскости к кривой ! =1!+Р/+тай в точке (3, 9, 27). Отв. г' = х — 3 у — 9 г — 27 1 6 27 = !+бу+27й; касательная: †= †; нормальная плоскость: х+бу+ 27г= 786. б. Найти вектор касательной, уравнения касательной и уравнение нор.
1 мальной плоскости к кривой г=!сваг — + — увп!1+йв!п —. Олм. г'= 2 2 2' 1 1 1 Х вЂ” сов!в 2 = — — ! в!п 1+ — у сов 1+ — Ф сов —; уравнения касательной: 2 2 2 2' — ~п! 1 1' — в1п ! 2 — в1п— 2 2 — уравнение нормальной плоскости: Х а1п !— сов 1 соа— 2 — Усов ! — 2 сов — =ха!п ! — у сов ! — гсов —, где х, у, г — координаты 2 2 ' той точки кривой, в которой проводится нормальная плоскость ~т. е.
х = 1 =сове —, ума — в)п 1, г=аш 2' 2 ' 2)' 314 пРилОжения диФФеРенцидльнсГО исчиоления [Гл, !х соз а=в!пав го 2 В. Найти уравнения касательной к кривой х=! — з[п 1, У=1 — сов[, я= 4 з!и — и косинусы углов, составляемых ею с осями координат. 2 Х вЂ” Хо У вЂ” Уо 2 — 2, 1 О«ы. соз (1= — з!п йю !о !о Го 2 а1п — соо — с!ив 2 ' 2 2 !о соз у=соз —. 2 ' 7.
Найти уравнение нормальной плоскости к кривой г=хо — уо, у=х в начале координат. Указан ие. Написать уравнения кривой в параметри- ческой форме. О«оо. х+У=О. 8. Найти а, и, Ь в точке 1= — для кривой г.= 1(соз г+з!по !) + 2 ! . — 51 — 4у — и +[ з1п 1 (1 — соь !) — Ь соз !. О«ы.
а = = ( — 1+./+ Ь), и = Ьг 3 У42 1 — 2[+30 У !4 О. Найти уравнения главной нормали и бинормали к кривой х=— 4" Р х — хо у — уо г — го ° г в то!ко (хо уо го) ( «и + о о о го Го х —.хо У вЂ” Уо г — го 1 — 2!о Гоо 10. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой уо=х, хо=г в точке М (1, 1, 1).
О«ы. Вх — 8У вЂ” г+3 =О. 11.,Найти радиус кривизны для кривой, заданной уравнениями хо+уз-(- +го — 4=0, х+у — г=б. О«оо. [с=2. 12. Найти радиус кручения кривой г=[соз!+Гз!и Г+ЬзЫ. О . т= — сй!. 18. Найти радиус кривизны и кручения для кривой г = Р[+2!о[. О«м )[= — !([+Ого)о[о Т=со 3 14. Доказать, что кривая г = (агР+ Ьг[+ сО 1+ («,Р+ Ьог+ со)!+ .(-(аоР+Ь,!+с,) Ь плоская.
О«оо. г"'=— О, поэтому кручение равно нулю. 1б. Найти крйвизну и кручение кривой х=ег, у=е о, а=[У' 2. О«оо. Кривизна равна о; кручение равно )Г 2 Ьг 2 (х+у)' ' (х+у)о 10. Найти кривизну и кручение кривой х=е-ов!и Г, у=о-ГСОЗ1; г=е-г. )г 2 О«оо.
Кривизна равна — ег; кручение равно — — о'. 3 3 хо уо 17. Найти уравнение касательной плоскости к гиперболоиду ао Ьо г' хгх уоу ггг — — =1 в точке (хг, у„г,). О«ое. — — — — =1, со а' Ь' с, 18. Найти уравнение нормали к поверхности хо — 4уо+2го=б в точке (2, 2, 3). О«оо. у+4х= 10, Зх — г=З. 19. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности г=2хо+4уз в точке М (2, 1, 12). О«оо. 8х+Ву — г= 12.
20. К поверхности х'+2уо+г'=1 провести касательную плоскость, параллельную плоскости х — у+2г=б, Ото. х — у+2г= ~ у' Н!2, ГЛАВА Х НЕОПРЕДЕЛЕННЪ| Й ИНТЕГРАЛ $1. Первообразная и неопределенный интеграл В главе 111 мы рассматривали такую задачу. "дана функция Р (х); требуется найти ее производную, т.
е. функцию ) (х) =Р'(х). В этой главе мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция ) (х); требуется найти такую функцию Р (х), производная которой равна ) (х), т. е. Р'(х) =) (х). Определение 1. Функция Р(х) называется первообразной от функции ) (х) на отрезке [а, Ь1 если во всех точках этого отрезка выполняется равенство Р' (х) =) (х).
П р и не р. Найти первообразную от функции У(х) =хз. Из определения первообразной следует, что функция с (х) =хз/3 является первообразной, так как (хз/3)' =хз. Легко видеть, что если для данной функции ) (х) существует первообразная, то эта первообразная не является единственной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
