32_PiskunovT1 (523111), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(1) предполагая, что начало вектора г(1) находится в начале координат. Мы знаем, что последнее уравнение является уравнением некоторой пространственной кривой. Рис. 200. Рас. 199. Возьмем какое-нибудь фиксированное значение 1, соответст- вующее определенной точке М на кривой, и дадим 1 приращение Д(; тогда мы получим вектор г (1 + Д() = ф (1 + Д1) 1+ ф (г + Д() 3 + у(1 + Д1) й, который определяет на кривой некоторую точку М (рис. 200) Найдем приращение вектора Дг = г (1+ Д1) — г (1) = [ф (1 + Д() — ф (1) 11+ +[ф(1+Де) — ф(1)У+[1((1+ Д() — 11(1))й. На рис.
200, где ОМ=ф (1), ОМ1=г(1+Де), это приращение изображается вектором ММ1=Дг(1). Рассмотрим отношение — приращения векторной функЛг (1) Ы ции к приращению скалярного аргумента; это, очевидно, есть то 292 приложениядиФФьренциальногоисчис.чвиия ггл, !х вектор, коллинеарный с вектором Лг(Г), так как получается из наго умножением на скалярный множитель 1,'М. Мы можем записать этот вектор так: аг(О р(!+а!) — Ф(г! .
р(г+АΠ— ~р(О . у(!+а!) — у(О илн — = — 1-~- — ~+ — й. дг от ор . оа кг пг ' и! пг (2') Выясним направление вектора — . о'и о! ' Так как при ххг — О точка Мг приближается к точке М, то направление секущей ММг в пределе дает направление касатель.- г!г нои. Следовательно, вектор производной †„ направлен по касательной к кривой в точке М. Длина вектора — определяется от формулойе) !%~ =) Ь (я+И (1)1 +~Х (1)1 На основании полученных результатов легко написать уравнение касательной к кривой г = ха+ у./+ гй в точке М (х, у, г), имея в виду, что в уравнении кривой х =гр(1), у=ф(!), г=х(г).
4 ) Мы будем предполагать, что е рассматриеаемых точках ~ — [ М О, ! ог ! ~ лг! Если функции гр(1), !р(1), т,(!) имеют производные при выбранном значении г, то множители, стоящие при а,,у, К в пределе при тх! — О обратятся в производные гр'(1), тр'(Г), !('(1). СледоЛг вательно, в этом случае предел — при Оà — О существует и равен вектору <р'(1) Х+ф' (Г)~+у' (Х)й: 1(щ аг — — ~р'(!)г+ф'(1)У+т'(!)аг. Вектор, определяемый последним равенством, называется производной от вектора г(1) по скалярному аргументу Е Производную обозначают снмволом — или г .
дг ь о! Таким образом, ~, =г'= р'(г) г+Чл(!).у+Х'(!)й. (2) йг! ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ 2ЭЗ Уравнения прямой, проходящей через точку М(х, у, г), имеют вид Х вЂ” х г' — у 2 — г и л р где Х, )', 2 — координаты переменной точки прямой, а т, и, р— величины, пропорциональные направляющим косинусам этой прямой (т.е.
проекциям направляющего вектора прямой). С другой стороны, мы установили, что вектор с!с ах ау . аг — = — 1+ —,у+ — й а! а! г!! а! направлен по касательной. Поэтому проекции этого вектора являются числами, пропорциональными направляющим косинусам касательной, а значит, и числам т, п, р. Следовательно, ураенения касательной будут иметь вид Х вЂ” х х' — у и — г ах ау аг (4) !! и и П р и м е р 1, Написать уравнения касательной к винтовой линии х=а соз г, у=азиз!, г=ал!! при произвольном значении ! и при 1=п,'4. р е ш е н и е.
— = — аз!п!. — = асов!, — =ал!. ах с!у аг а! ' Лг ' т По формуле (4) имеем Х вЂ” асов ! Х вЂ” аз!п ! 2 — алг! — аз!и ! асов ! алг В частности, прн 1=Л)4 получим Х вЂ” — У вЂ” — 2 — ам а~2 а 2 л 2 2 4 аг'2 ау'2 алг 2 2 илн 2 2 4 1 лз у' 2 Так же как и в случае плоской кривой, прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к пространственной кривой в данной точке. Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке можно, очевидно, провести бесчисленное множество.
Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. 294 приложения дифепрвнцилльного исчисления [гл. ~х Из условия перпендикулярности нормальной плоскости к касательной (4) получаем уравнение нормальной плоскости: — х (Х вЂ” х) + — „" ()г — у) + — „(Л вЂ” г) = О. (5) Пример 2. Написать уравнение нормальной плоскости к виитовой ли.
иии в точке, дли которой г=п/4. Решение, На основании примера ! и формулы (5) получаем (Х вЂ” 2 )+(Ъ' — 2 )+т у 2(Š— ат — 4)=0, или — Х+К+т У 22=ать — У 2 4 Выведем теперь уравнения касательной прямой и нормальной плоскости пространственной кривой в случае, когда эта кривая дана уравнениями Ф,(х, у, г)=0, Ф,(х, у, г)=0.
(е) Выразим координаты х, у, г этой кривой как функции некоторого параметра 1: х = ~р (1), у = ф (1), г = Х (1). (7) (9) Из этих уравнений следует, что дх дФ~ дФг дФ1 дФг ду дФ~ дФг дФг дФг дг ду дг дг ду дг дг дх дх дг дг дФ1 дФ, дФг дФ, ~ аг дФ, дФ, дФ1 дФ, ' (1 ) аг дх ду ду дх аг дх ду ду дх Мы здесь предполагаем, разумеется, что выражение — —— дФ, дфа дх ду дФ, дФ, — — чьО, однако можно доказать, что окончательные формулй (11) и (12) (см. ниже) справедливы и в том случае, когда Будем предполагать, что ~р (1), ф (1), т, (1) — дифференцируемые фУнкции от 1. Подставляя в уравнения (6) вместо х, у, г выраженные через 1 их значения для точек кривой, получим два тождества относительно йс ФЛФ (1), ф (1), Х (1)1= О, (8а) Ф (й(г) ф(1) х(1)1=0.
(8б) Дифференцируя тождества (8а) и (8б) по Е, находим — — + — — + — — =0 дФ, ах дФг ду дФ~ дг дх ~й ду дг дг аг дФ, дх дФ, ду дФ, дг г 1 + — О, дх аг ду дг дг аг $2) предел и производная вектопнон функции гнй это выражение равно нулю, если только хоть один из определителей, фигурирующих в окончательных формулах, отличен от нуля. Из равенств (10) получаем дх ду д( дг дФв дФ, дФ, дФв дФ, дФ, дФ, дФв дФ, дФв дФ, дФв ду дг дг ду дг дх дх дг дх ду ду дх Следовательно, на основании формулы (4) уравнения касательной прямой будут иметь вид Х вЂ” х )г — у 2— дФв дФв дФв дФв дФв дФв дФв дФв дФ, дФ дФ дФ, дх дг дх ду ду дх ду дг дг ду дг дх или, пользуясь определителями, Х вЂ” х )г — у 2 — г дФд дФд дФ, дФв ду дг дФв дФв ду дг дФ, дФ, дг дх дФв дФв дг дх дх ду дФв дФв (11) дх ду Нормальная плоскость представляется уравнением дФв дФ, дх ду дФв дФв дх ду дФв дФв дФв дФ, дг дх дФв дФв ду дг дФв дФв + (Л вЂ” г) =0.(12) + (У вЂ” у) (Х вЂ” х) дг дх ду дг дФ, дФ, дх ду дФв дФв дх ду дФв дФ„ дФв дФ, дг дх дФ, дФв дг дх ду дг дФв дФв ду дг обращаются в нуль, то эта точка называется особой точкой про- странственной кривой.
В этой точке кривая может вообще не иметь касательной, подобно тому как это имело место в особых точках у плоских кривых (см. 2 20 гл. 7111). Пример 3. Найти уравнения касательной прямой и нормальной плос- кости к линии пересечения сферы хв+ув+г'=4г' и цилиндра х'+у'=2гу н точке М (г, гв г у' 2) (рис. 20!). Р е ш е н и е. Ф„(х, у, г) =хв+ув+ге — 4гв, Фв (х, у, г) =хв+ув — 2гу, дФ, дФв дФв — =2», — =2у, — =2г, дх ' ду ' дг дФ, дФв дФв — =2х — =2у — 2г — =О. дх ' ду ' дг Эти формулы имеют смысл только тогда, когда хотя бы один из фигурирующих в них определителей отличен от нуля.
Если же в некоторой точке кривой все три определителя 296 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГГЛ,!Х Значения производных в данной точ. ке М будут дФ! дФ! дФ! — =2г, — =2г, = — 2г Р 2, дх ' ду ' да дФ, дФ, дФ, — =2г, — =О, — =О. дх ' ду ' да Поэтому уравнения касательной прямой имеют вид Х вЂ” г !' — г 2 — гу2 О у'2 Уравнение нормальной плоскости 1г 2 (У вЂ” г) — (2 — г )Г 2) = О или )г 2 г — 2=0. Рис.
201, 5 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) Как мы видели, производная от вектора » (!) = <р (!) а + тр (Г) 1 + Х (!) и ()) по определению равна «'(!) =(р'(0$+ф'(И+к'(у) й. (2) Отсюда сразу следует, что основные правила дифференцирования функций остаются в силе и для векторов. Мы выведем ниже некоторые формулы дифференцирования функций от векторов.
Зти формулы нам потребуются в дальнейшем. 1. Производная суммы векторов равна сумме производных от слагаемых векторов. В самом деле, пусть, например, даны два вектора: «,(() = ~,(г) й+ф,())~+2,() й, [ »,й= р.(г))+ф(у)3+х яй' ) (з) их сумма равна »а(Г)+» (Г) =[!Ре(Г)+!Р (Г)]'+[ф (Г)+ф (Г)]У+Ь (Г)+Х (Г)]Уе По определению производной от переменного вектора имеем "'"'"„+" » =[ф,(!)+ р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
