32_PiskunovT1 (523111), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Здесь ди ! ди 2 ! 8 Следовательно, ага 8 и = 21+ —,Г. 8 3 ' Уравнение линии уровня (рис. 184)„ирокодящей через даинув точку, будет у* гг + 2 3 3 ' 5 16. Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция двух переменных е=)(х, у) непрерывна вместе со всеми своими частными производными до (и+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки 1гл.
иц егнкцни нескольких пвгвмвнных М(а, Ь). Тогда, аналогичнотому, как этобыло в случае функции одной переменной (см. О 6 гл. 1Ч), функцию двух переменных представим в виде суммы многочлена и-го порядка по степеням х — а и у — Ь и некоторого остаточного члена. Ниже будет показано, что для случая а=2 эта формула имеет вид )(х, у) = А,+Р(х — а)+В(у — Ь)+ + —,[А(х — а)'+2В(х — а)(у — Ь)+С(у — Ь)'1+Ям (1) где коэффициенты А„ .Р, Е, А, В, С не зависят от х и у, а Я,— остаточный член, структура которого аналогична структуре остаточного члена в формуле Тейлора для функции одной переменной.
Применим формулу Тейлора для функции )(х, у) одной переменной у, считая х постоянным (ограничимся членами второго порядка): (» Ь)+ц — ь . (» Ь)+ где Ч;=Ь+0,(у — Ь), О <О, < 1. Функции )".(», Ь), ~„'(х, Ь), Д„(», Ь) разложим по формуле Тейлора по степеням х — а, огранйчиваясь смешанными производными до третьего порядка включительно: где $, = х+ О, (х — а), 0 < О, < 1; ~„'„(х, Ь)=~;, (а, Ь)+» ~~„"„'„($„Ь), где В, = х+О, (х — а), 0 < О, < 1. Подставляя выражения (3), (4) и (5) в формулу (2), получим 1(х, У)= = Р(а, Ь) +*— -~'~;(а, Ь) +~'~.~~'~хх(а, Ь)+ '"~-.~.'~'П';.6,.
Ь) + ~(х, Ь)= =~(а, Ь)+ — 1„'(а, где Юг=»+0,(х — а), ~„'(х, у)=)'„'(а, Ь) + 1 и 1 ( Ь) + , 3 г * а Ь) ° (3) 0<0,<1; Ь)+"— ,'Д„„(а, Ь)+~— ,,'~'~;;„„В„Ь), (4) 266 ЕИ1 МАКСИМУМ ИМИНИМУМ Располагая слагаемые так, как указано в формуле (1), получим ~(х, у) =Г'(а, Ь)+(х — а) Яа, Ь)+(у — Ь) Г„'(а, Ь)+ + —,[(х — а)' );„(а, Ь) + 2 (х — а) (у — Ь) Дд (а, Ь)+ (у — Ь)* 1„„(а, ЬЦ+ + д~ [(х а)'Р888($8, Ь)+3(х — а)'(у — Ь)Р 8о(еь8~ Ь)+ + 3 (х — а) (у — Ь)8 [„"88 ($„Ь) +(у — Ь)8 )„"„'д (а, 8)8Ц.
(6) Это и есть формула Тейлора при н=2. Выражение й, = — Их — а)' ~„";„($п Ь)+3 (х — а)'(у — Ь) ~„";„($„Ь) + +3(!с — а) (у — Ь)' 1'„"„'е($„Ь)+(у — Ь)'~„'„"„(а, тиЦ называется остаточным членом. Обозначим, далее, х — а=Лх, у — Ь=Лу, Лр=)' (Лх)8+(Лу)8. Преобразуем )с8: 1 ГЛ. „, ал8ае „, Ю8 = з [ 8о81 '886 Ь)+3 а 8 )"'л($ Ь)+ ах хаи8 ао8 +3 —,у'"„д„Ь) + — р„"„'„(а, 8ЪЦ Лр .
Так как [Лх[ < Лр, [Лу! < Лр и третьи производные, по условию, ограничены, то козффициент при Лр' ограничен в рассматриваемой области; обозначим его через с88. Тогда можем написать — о8 Лре Формула Тейлора (б) в принятых обозначениях для случая п=2 примет вид Г (х, у) = Г (а, Ь)+Лх[8(а, Ь)+ЛуГУ(а, Ь)+ + —,[Лх'1"„8(а, Ь)+2ЛхЛу~„„(а, Ь)+Лу'~"„~(а, ЬЦ+а,Лр'. (б') При любом и формула Тейлора имеет аналогичный вид. й 17.
Максимум н минимум функции нескольких переменных Определение !.Ыы говорим, чтофункция г ~(х, у) имеет максимум в точке М,(х„у,) (т. е. при х= х, и у=у,), если ~(х„у,) ) ~(х, у) для всех точек (х, у), достаточно близких к точке (х„у,) и отличных от иее. Определение 2. Совер8пенноаиалогичноговорят, что функция г=)(х, у) имеет минимум в точке М,(х„у,), если г(х„у,) <~(х, у) (глгщп Функции нвскольких пирвмвнных для всех точек (х, у), достаточно близких к точке (х„у,) и отличных от нее. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е.
говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке. П р и м е р 1. Функция г = (х — 1)з+(у — 2)' — 1 достигает минимума при х= 1, э =2, т. е. в точке (1, 2). Действительно, ! (1, 2) = — 1, а так как (х — 1)' н (у — 2)а всегда положительны при х Ф 1, р ~ 2, то (х — 1)'+(р — 2)' — 1 > — 1, т. е. ! (х, у) > 1(1, 2).
Геометрическая картина, соответствующая данному случаю, изображена на рис. 185. г у Рис. 185. Рис. 186. 1 П р и м е р 2. Функция г= — — и!и (ха+ рз) при х = О, у = 0 (т. е. в начале 2 координат) достигает максимума (рис. 186). Действительно, ! (О, 0)=112. Возьмем внутри окружности хе+уз=л/6 точку (х, у), отличную от точки (О, 0); тогда прн 0 < ха+уз < п(6 будет а а в1п (ха+ Уз) > 0 и поэтомУ ! (х, Р) = х. — вю (х +У ) < —, т.
е. ! (х, У) < ! (О, 0). Данное выше определение максимума и минимума функции можно перефразировать следующим образом. Положим х=х,+Ах, у=у,+Лу; тогда ) (х, У) — ~(хю У,) =)(х,+Ах, У,+АУ) — )(х„У,) =ЛГ. 1) Если ЛГ < О при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция 1(х, у) достигает максимума в точке М(х„у,).
2) Если Лу> О при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция ((х, у) достигает минимума в точке М(х„у,). Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа переменных. Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если функция г =1(х, у) достигает экстремума при х=х„у=у„ «ю каждая частная производная первого порядка от г или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует. МАКСИМУМ И МИНИМУМ Тогда при х=х„у=у, 1) )'(х, у) имеет максимум, если да)(хо. Уо) да) (ха. Уо) (дЧ (хю Уо) ) О дхо дуа ~ дх ду 2) 1(х, у) имеет минимум, если д 7(хю Уо) д 7(хо Уа) /да)(хо, Ую)~ дхо дуа ), дх ду ) д"((ха. уо1 ~ О.
дха дЧ(хо Уо) ~ О, дха Действительно, дадим переменной у определенное значение, именно у=у,. Тогда функция 7(х, у,) будет функцией одной переменной х. Так как при х =х, она имеет экстремум (максимум иди минимум), то, следовательно, — или равно нулю, дг | ' дх к=х, о=а или не существует. Совершенно аналогично можно доказать, что дг — или равно нулю, или не существует.
~очка Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существова- л у нии максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.
гг Так, например, функция г = ха — уа имеет От дг дг ! производные — =2х, — = — 2у,которые обдх ' ду ь рзщаются в нуль прн х=о и у=о. Но зта функция прн указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действи- Рис. 187. тельно, зта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близкнк точках от начала координат как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ии мнниму« мом (ркс.
187). дг дг Точки, в которых — =О (или не существует) и — =О (или не существует), называются критическими точками функции г=)(х, у). Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то (в силу теоремы 1) это может случиться только в критической точке. Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных. Теорема 2. Пусть в неколюрой области, содержаи(ей точку М,(х„у,), функция г'(х, у) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка М,(х„у,) является критической точкой функции 7" (х, у), т.
е. д)(хю Уо) О д)(ха. Уо) О дх ' ду 268 еункции ивскольких пвввмвииых (гл, 1пш 3) 1(х, у) не имеет ни максимума, ни минимума, если до1(хо, уо) до1(хо, уо) 1д«1(хо, уо)~о < О дхо дуе '1 дх ду / 4) если 1(х" У') ° 1(х' У') 1~ 1(х' Уо) 1 — О то экстремум может быть и может не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование). Д о к а з а т е л ь с т в о. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции 1(х, у) (формула (б) 5 16). Полагая а=х„ Ь=у„х=хе+Лх, у=у,+Лу, будем иметь (х+Лху+Лу)г'(ху)+1(оуо)Лх+1(оуо)Лу+ 1 1де1(хо уо) Л в 1 2до1(хе уо) Л Л д 1(хо«уо) Л е) 1 (Лр)в 2 ( дхо дхду У дуе 1 о где Лр=у Лх'+Лу', а ао стремится к нулю при Лр О. По условию д1(хе, уе) О д1(хо, уо) О дх ' ду Следовательно, Л1=1(х,+Лх, у,+Лу) — )'(х„у,)= 21~~Эх + д д У+до У (+ Обозначим теперь значения вторых частных производных в точке М,(х„у,) через А, В, С: Обозначим через ф угол между направлением отрезка М,М, где М есть точка М(х,+Лх, у,+Лу), и осью Ох; тогда Лх=Лрсоз«р, Лу = Лр гйп ф.
Подставляя зги выражения в формулу для Л1, найдем Лг = — (Лр)' [А соз'ф+2В сов «р з!и «р+ С з(пв ф+ 2ао Лр). (2) 1 Предположим, что А ~О. Разделив и умножив на А выражение, стоящее в квадратных скобках, получим Ле 1 (Л )в( (А сов ф+В в1о ф) + (АС вЂ” В') в1п ф 2 Л ~ (3) 2 А +а,р Рассмотрим теперь четыре возможных случая. 1) Пусть АС вЂ” Ве) О, А < О. Тогда в числителе дроби стоит сумма двух неотрицательных величин. Они одновременно в нуль МАКСИМУМ ИМИИИМУМ $!7« 269 не обращаются, так как первый член обращается в нуль при гп«р= — А!В, второй при зш«р=О. Если А < О, то дробь есть отрицательная величина, не обращающаяся в нуль. Обозначим ее через — и«', тогда Л[= 9 (Лр) [ л«'+2а Лр| где л«не зависит от Лр, с««Лр — О при Лр- О.
Следовательно, при достаточно малых Лр будет Л7'< О, или 7 (х,+Лх, У«+ЛУ)— — [(х„у,) < О. Но тогда для всех точек (х,+Лх, у,+Лу), достаточно близких к точке (х„у,), имеет место неравенство 1(х + Лх, у.+Лу) < Г(х., у«), а это означает, что в точке (х„у,) функция ~(х, у) достигает максимума. 2) Пусть АС вЂ” В'> О, А > О. Тогда, рассуждая аналогично, получим Л[= ~ (Лр)'[ Р+2«х«Лр1, или ~(х,+Лх, у,+Лу) > [(х„у,), т. е. 1(х, у) имеет минимум в точке (х„у,). 3') Пусть АС вЂ” В'<О, А>О. В этом случае функция не имеет ни максимума, ии минимума. Функция возрастает, когда мы движемся из точки (х„у,) по одним направлениям, и убывает, когда мы движемся по другим направлениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
