32_PiskunovT1 (523111), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В примере 2 приведена функция трех переменных, определенная при всех значениях х, у, г. В- примере 4 приведена функция четырех переменных. зз1 гиомвтрическов изовпджинив функции двух пвпвминиых 288 Пример 9. в= а'1 — х' — уз — г' — и'. Здесь ш — функция четырех переменных х, у, г, и, определенная при значениях переменных, удовлетворяющих соотношению 1 — х' — уз — г' — и' ) О. $2. Геометрическое изображение функции двух переменных Рассмотрим функцию г=7(х, у), определенную в области О на плоскости Оху (зта область может быть, в частности, и всей плоскостью), и систему прямоугольных декартовых координат Охуг (рис.
167). В каждой точке (х, у) восставим перпендикуляр к плоскости Оху и на нем отложим отрезок, равный )(х, у). Тогда мы получим в пространстве точку Р с координатами х, у, г = 7 (х, у). Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), называется графиком функции двух переменных. Из курса аналитической геометрии мы знаем, что урав- Рис. 168. Рис.
167. пение (1) в пространстве определяет некоторую поверхность. Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции. Каждый перпендикуляр к плоскости Оху пересекает поверхность г=у(х, у) не более чем в одной точке. П р и и е р. Графиком функции г= хе+уз, как известно из аналитической геометрии, является параболоид вращения (рис. 168). Замечание. Функцию трех или более переменных изобра- зить с помощью графика в пространстве невозможно. (гл. чпг Функции нескольких переменных й 3. Частное и полное приращение функции сохраняет постоянное значение, то г вдоль кривой Р8 будет меняться только в зависимости от изменения х.
Дадим независимой переменной х приращение Лх; тогда г получит приращение, которое называют частным приращением г ло х и обозначают через Л„г (на рисунке отрезок 55'), так что Л„г=1(х+Лх, у) — Г(х, у). (1) Аналогично, если х сохраня- Рис. 169. ет постоянное значение, а у получает приращение Ьу, то г получает приращение, называемое частным прираи(гнием г по у. Это приращение обозначают символом Л„г (на рисунке отрезок ТТ'): Лиг=((х, У+АУ) — 1(х, У). (2) Приращение Ь г функция получает «вдоль линии» пересечения поверхности г = (У(х, у) с плоскостью х = сопз1, параллельной плоскости Оуг.
Наконец, сообщив аргументу х приращение Лх, а аргументу у — приращение Лу, получим для г новое приращение Лг, которое называется полным приращение»4 функции г и определяется формулой Лг=)(х+Лх, у+Ьу) — 1(х, у). На рис, 169 Ьг изображается отрезком Ц(е'. Надо заметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т. е. Лг~Л„г+Лгг. Пример. г=ху.
Л„г=(х+Ьх) у — ху= и Лх, Ьиг=х (у+Лу) — »у =х Лу, Ьг = (х+ Л х) (у+ Ьу) — ху = у Лх+ х Ь у+ Ьх Ь у. При х=1, у=2, Лх=02, Ьу=.03 имеем Л„г=04, Лиг=о з, Ьг=076, Аналогичным образом определяются частные и поляое приращения функции любого числа переменных. Так, для функции трех Рассмотрим линию РЯ пересечения поверхности г=)(х, у) с плоскостью у=сопи(, параллельной плоскости Охг (рис. 169). Так как в этой плоскости у $41 непРВРыпность Функции нескольких пеРеменных раб переменных и=7'(х, у, 1) имеем б4„и = ~ (х+ Лх, у, 1) — 1 (х, у, 4), 4)4„и=)(х, у+Ау, 1) — )(х, у, г), Л,и = г (х, у, 1+ б() — у (х, у, 1), Ми=у(х+Лх, у+Лу, 1+М) — )(х, у, 1).
$4. Непрерывность функции нескольких переменных Введем одно важное вспомогательное понятие — понятие окрестности данной точки. Окрестностью радиуса г точки М,(х„у,) называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих неравенству у' (х — х,)'+(у — у,)'< г, т.
е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса г с центром в точке М„(х„у,). Если мы говорим, что функция 7(х, у) обладает каким-либо свойством «вблизи точки (х„у,)» или «в окрестности точки (х„у,)», то под этим подразумеваем, что найдется такой круг с центром (х„у,), во всех точках которого дан- у ная функция обладает указанным свойством.
Прежде чем рассматривать понятие непрерывности функции нескольких переменных, рассмотрим понятие преде- ° н4а4е ла функции нескольких переменных е). 6 Пусть дана функция г=г(х, у), Ю Ю определенная в некоторой области 6 Рис. 170. плоскости Оху. Рассмотрим некоторую определенную точку М, (х„у,), лежащую в области О или на ее границе (рис. 170). Определение 1. Число А называется лредедод« функции 7(х, у) при стремлении точки М(х, у) к точке М,(х„у,), если для каждого числа е > 0 найдется такое число г > О, что для всех точек М(х, у), для которых выполняется неравенство ММ, < г, имеет место неравенство ~ ) (х, у) — А ~ < В. Если число А является пределом функции 7(х, у) при М(х, у) М,(х„у,), то пишут 1пп г(х, у) = А.
а-~х, а"юо ь) Мы будем в основном рассматривать функции двух переменных, так как рассмотрение трех н более переменных не вносит никаких принципйааьных изменений, но вносит добавочные технические трудностн. ФУНКЦИН НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (тл. Уш О п р еде л е н и е 2. Пусть точка М, (х„у,) принадлежит области определения функции ((х, у). Функция г= ! (х, у) называется непрерывной в точке М, (х„у,), если имеет место равенство 1 1(.,у)=1(хю у,), (1) х к, У аоа причем точка М (х, у) стремится к точке М, (х„у,) произвольным образом, оставаясь в области определения функции. Если обозначим х=х,+Ьх, у=у +Ьу, то равенство (1) можно переписать так: Ит 1 (х, + Ьх, у, + Ьу) = ) (х„у,) (1') лх.
о ау-аз или Ит [~(х,+Ьх, у,+Ьу) — !(х„уо)1=0. ау о Обозначим Ьр=у'(Ьх)'+(Ьу)е. При Ьх- О и Ьу- О Ьр- О, и обратно, если Ьр — О, то Ьх- О и Ьу- О. Замечая, далее, что выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве (1'), есть полное приращение функции Ьг, равенство (1') можно переписать в форме 1пп Ьг=О.
(1'") ар- о Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, пазы. вается непрерывной в области. Если в некоторой точке У (х„у,) не выполняется условие (!), то точка У (х„у,) называется точной разрыва функции г=! (х, у). Условие (Г) может не выполняться, например, в случаях: 1) г=!(х, у) определена во всех точках некоторой окрестности точки У(х„у,), за исключением самой точки У(х„у,); 2) функция г =1(х, у) определена во всех точках окрестности точки У(х„уо), но не существует предела Ищ)(х, у); х-аха У Уа 3) функция определена во всех точках окрестности У(х„у,) и существует предел Ипз!(х,у), но х-аха У-~Ух 1пп ((х, у) Ф)(х„у,).
к-аха У Уа Пример 1. Функция а=хо+уз непрерывна прн любых значениях к и у, т. е. в любой точке плоскости Оху. Действительно, каковы бы ни были числа к и у, Лх и Лу, имеем Ьг = 1(х+ Ьх)'+ (у+ Лу)о) — (хе+у') = 2х Ьх+2у Лу+ Ахо+ Ьуа, следовательно, 1(ю Ла= О. Ьк-ао ау- о 9 41 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 237 Приведем пример разрывной функции.
2ху Прямер 2. Функция г — определена всюду, кроме точки к=о, кэ+уз у=о (рис. 171, 172). Рассмотрим значения Е вдоль прямой у=ух (й сопи(). Очевидно, вдоль этой прямой 2йхэ 2й е=,, — =сопз1, кэ+йзхэ 1 + йэ т. е. функция г вдоль всякой прямой, проходящей через начало коордияат, сохраняет постоянное значение, зависящее от углового коэффициента й врямой. Поэтому, подходя к началу координат по различным путям, мы будем а Рис. 172. Рис. 171. получать различные предельные значения, а это значит, чго функция 7(х, у) не имеет предела, когда точка (х, у) на плоскости Оху стремится к началу координат.
Следовательно, функция разрывна в этой точке. Эту.,функцию нельзя доопределить в начале координат так, чтобы она стала непрерывной. Легко видеть, с другой стороны, что в остальных точках эта функция непрерывна. Укажем без доказательства некоторые важные свойства функции многих переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области. Эти свойства аналогичны свойствам непрерывной на отрезке функции одной переменной (см. 2 10 гл. 11). Свойство 1. Если функция ) (х, у, ...) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области Р, то в области Р найдется по крайней мере одна точка й)(х„ у„ ...) такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение Пх„у„".) )Пх, у, ".), и по крайней мере одна точка (7(х„у„...) такая, что для всех других точек области будет выполйяться соотношение ~(хю ую ...) а~~(х, у, ...).
Значение функции 7(х„у„...) =М будем называть наиболь- шим значением функции 7(х, у, ...) в области Р, а значение ~ (х„у„...) = и) — наименьшим значением. (гл. упг ФУНКПИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Это свойство формулируют и так. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области Р достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и аименьшего значения т.
Свойство 2. Если функция (' (х, у, ...) непрерывна в замкнутой и ограниченной области Р и если М и т — наибольшее и наименьшее значения функции )(х, у, ...) в области, то для любого числа р, удовлетворяющего условию т < р < М, найдется в области такая точка й('(х,", у,', ...), что будет выполняться равенство ( (х,", у*„... ) = р. Следствие свойства 2. Если функция г(х, у, ...) непрерывна в замкнутой ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция ~ (х, у...) обращается в нуль. фбг Частные производные функции нескольких переменных О п р е де лен и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
