32_PiskunovT1 (523111), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1' 2 [ сов — + ( а!и — 71. 6. Найти 4 4)' ' ' [ 4 4)' УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП вЂ” +Уз, г — Уэ р !.Олм.—; — 1; 2 ' ' 2 . 9. Выразить через степени з!ох и созх следующие выражения: щп2х, соэ2х, а!п4х, соз4х, в!п5х, соз5х. 1О. Выра- зить совах, соьзх, совах, соз'х, созвх; в!и'х, в1п'х, зщвх, з!пах через синус н косинус кратных дуг. 11. /(х) =хэ — 4х'+8х — 1 разделить на х+4, Отв. / (х) = (х+4) (хэ — эх+ 40) — 161, т. е. частное = х' — 8х+ 40; остаток /( — 4)= — 161. 12. /(х) =хв+12хз+54хэ+108х+81 разделить на х-[-3. Отв. /(х)=(х+3)(хз+9хз+27х+27).
13. /(х)=х' — 1 разделить на х — 1, Отв. /(х)=(х — 1)(хв+х'+хв-[-ха+ха+х+1). Разложить иа множители с действительными коэффициентами многочлены: 14. / (х) =ха в 1. Отв. / (х) = (х — Ц (х+ 1) (хэ+ 1). 15. / (х) =хе †х в. Отв. /(х)=(х — 2)(х+1). 16. /(х)=ха+1. Отв.
/(х)=(х+1)(х' — х+1). 17. На основании эксперимента получены значения функции у от х. ут= 4 при х„=0, у,= 6 при х,=1, уз= 10 при хе=2. Представить приближенно функцию многочленом второй степени. Отв. хэ+х+4. 18. Найти многочлен четвертой степени, принимающий при х=1, 2, 3, 4, 5 7 79 151 226 соответственно значения 2, 1, — 1, 5, О. Оим. — — хв + — хз — — хэ + — х — 35.
6 6 3 Э 10. Найти многочлен, по возможности низкой степени, принимающий при х=2, 4, 5, 1О соответственно значения 3, 7, 9, 19. Отв. 2х — 1. 20. Найти многочлены Бернштейна 1-й, 2-й, 3-й и 4.й степеней для функции у=а!них на отрезке [О, 1). Отв. Вг (х) =0; Вз (х) = 2х (1 — х); эУ3 Вз(х)= х(1 — х); Вв(х)=2х(1 — х)[(2У2 — 3)хз (2У2 — 3)х+Уи). ГЛАВА ЧП1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В 1. Определение функции нескольких переменных Рассматривая функции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явлений приходится встречаться с функ- циями двух и более независимых переменных.
Приведем несколько примеров. Пример 1. Площадь Я прямоугольника со сторонами, длины которых равны х н у, выражается формулой Я=хе. Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади Я; 5 есть функция двух пере- менных. П р имер 2. Обьем У прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, 2, выражается формулой У=хуг. Здесь У есть функция трех переменных х, у, 2. Пример 3. Дальность и полета снаряда, выпущенного с начальной скоростью ое из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом ~р, 2 оа зщир выражается формулой Й = (если пренебречь сопротивлением возу духа). Здесь д — ускорение силы тяжести.
Для каждой пары значений ое и ф зта формула дает определенное значение 11, т. е. й являегся функцией двух переменных оа и ~р. ха+ уз+ 22+ Р П р и м е р 4. и= . Здесь и есть функция чегырех пере. у 1+ха МЕННЫХ Х, У, 2, Определение 1. Если каждой паре (х,у) значений двух не зависимых друг от друга переменных величин х и у нз некоторой области их изменения 1), соответствует определенное значение величины г, то мы говорим, что г есть ййункг(ия двух независимых переменных х и у, определенная в области 21.
Символически функция двух переменных обозначается так: г Г (х, у), г = г (х, у) и т, д. Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически — с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше четырех примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных.
Так, для 3 >1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 231 первого примера можно составить следующую таблицу: Я=ху В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х и у, проставлено соответствующее значение функции 3. Если функциональная зависимость г = у(х, у) получается в результате измерений величины г при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая г как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей.
Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях хну. Определение 2. Совокупность пар (х, у) значений х и у, при которых определяется функция г=(х, у), называется областью определения или областью существования этой функции, Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости, ограниченные линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области.
Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется залекнутой. Область называется ограниченной, если существует такая постоянная С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т.
е. ~ОМ ! < С. Пример 5. Определить естественную область определения функции х= = 2х — у. Аналитическое выражение 2х — у имеет смысл прн любых аначенияк х и у. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху. ФУИКции нескольких пеРеменных (ГЛ. Чн! П р и м е р 6. г= УТ вЂ” ха — у~. Для того чтобы х имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.
е. х н у должны удовлетворять неравенству 1 — хз — уз ~ О, илн ха+ у' ч- 1. Все точки М (х, у), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на гра- нице этого круга. у П р и м е р 7. х = (п (х+ у). Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство х+у > О, нли у > — х. Это значит, что областью определения функции г является половина плоскости, расположенная над прямой у= — х, не включая самой прямой (рис.
166). х П р и м е р 6. Площадь треугольника Я представляет собой функцию основания х и высоты у: Я=ху(2. Областью определения этой функции является область х > О, у > О (так как основание треугольника и его высота не могут быть Рис. 166. ни отрицательными, ни нулем). Заметим, что область определения рассматривэемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения ху/2 является, очевидно, вся плоскость Оху. Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных.
Определение 3. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных х, у, г, ...„и, ! соответствует определенное значение переменной гв, то будем называть гп функцией независимых переменных х, у, г, ..., и, г и писать ги=г" (х, у, г, ..., и, () или гв ! (х, у, г, ..., и, () и т. п. Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных.
Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (х, у, г). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку гИ(х, р', г) в пространстве Охуг. Следовательно, областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства. Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных и = ((х, у, г, () как о некоторой совокупности четверок чисел (х, у, г, (). Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
