32_PiskunovT1 (523111), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Р (х) = 0 те же, что и корни многочлена Р (х). Естественно, возникает вопрос: всякое ли уравнение имеет корни? В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного, например уравнение ех = О '). Однако в случае алгебраического уравнения ответ на поставленный вопрос положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры: Теорема 2 (основная теорема алгебры).

Всякая целая рациональная функция !" (х) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре. Здесь мы ее примем без доказательства. Пользуясь основной теоремой алгебры, легко доказать следующую теорему. Теорема 3. Всякий многочлен и-й степени разлагается на и линейных множителей вида х — а и множитель, равный ксвффициенту при х".

Доказательство. Пусть 1(х) есть многочлен степени и: гс (х) = А ох" + А гхч - г+ -»- А Этот многочлен в силу основной теоремы имеет по крайней мере один корень; обозначим его через аг. Тогда на основании следствия из теоремы Безу мы можем написать 1 (х) = (х — а,) )г (х), где (г (х) — многочлен (п — 1)-й степени; )г(х) также имеет корень. Обозначим его через а,. Тогда (! (х) = (х — а,) )з (х), где (з(х) — многочлеи (п — 2)-й степени. Аналогично ! з (х) = (х — а,) (з (х). ч) Действительно, если бы число х,=а+Ьг было корнем етого уравнения, то имело бы место тождество еагьг=О нлн (нз основании формулы Эйлера) еа(созЬ+(зпгь)=0.

Но еа не может равняться нулю ни при кином действительном значении а; также не равно нулю соз Ь+г з3п Ь (тзк кзк модуль этого числе равен )г созе Ь+згп'Ь=! при любых Ь). Следовательно, и произведение еа(созЬ+гзгпЬ) ~0, т. е, еагьг~О, но зто зизчит, что урзвнение ел=О ие имеет корней. Продолжая этот процесс выделения линейных множителей, дойдем до соотношения у„«(х) = (х — а„) („, где )'„— многочлен нулевой степени, т. е. некоторое фиксированное число. Это число, очевидно, равно коэффициенту при х", т.е. („=А«. На основании полученных равенств можем написать 1 (х) = А, (х — а,) (х — а,) ... (х — а„) .

(2) Из разложения (2) следует, что числа а;, а„..., а„суть корни многочлена((х), так как при подстановке х=а,, х=а„..., х=а„ правая часть, а следовательно, и левая обращается в нуль. П р н мер 3. Многочлен 1(х) =ха — 6ха+11х — 6 обращается в нуль нрн л=1, х=2, х=э. Следовательно, ха — 6х +11х — 6=(х — !) (х — 2) (х — 3).

Никакое значение х=а, отличное от.а„а„..., а„, не может быть корнем многочлена у(х), так как ни один из множителей в правой части равенства (2) не обращается в нуль при х=а. Отсюда вытекает следующее предложение. Многочлен и-й степени не может иметь более и различных корней. Но в таком случае имеет место следующая теорема. Теорема 4. Если значения двух многочленов п-й степени «р«(х) и «р,(х) совпадают при и+1 различных значениях а„ао а„..., а„аргумента х, то эти многочлены тождественны. Доказательство. Обозначим через у(х) разность много- членов у (х) = ф«(х) — «р, (х) . По условию )(х) есть многочлен степени не выше и, обращающийся в нуль в точках а„ ..., а„.

Следовательно, его можно представить в виде 1(х) = А,(х — а,) (х — а,) ... (х — а„). Но по условию ((х) обращается в нуль также в точке а,. Тогда 1(ае) =О и при этом ни один из линейных множителей не равен нулю. Поэтому А,=О, а тогда из равенства (2) следует, что многочлен 1(х) тождественно равен нулю. Следовательно, ф«(х) — ф,(х) =О, или «р,(х) =ф«(х). Т е о р е м а 5. Если многочлен Р(х) = А,х" +А,ха '+... +А„,х+А„ тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю. 9 а) РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ 2!9 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.

МНОГОЧЛЕНЫ 1гл. чп Доказательство. Запишем разложение этого многочлена на множители по формуле (2): Р(х)=А,х" +А,хь д+ +А дх+А„= =А,(х — а,) ... (х — а„). (1') Если этот многочлен тождественно равен нулю, то он равен нулю и при некотором значении х, отличном от а„..., а„. Но тогда ни одна из скобок х — а„..., х — а„не равна нулю и, следовательно, А, = О.

Аналогичным образом доказывается, что А,= О, А,=О и т. д. Теорема 6. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствуюдцим коэффициентам другого. Зто следует из того, что разность данных многочленов есть многочлен, тождественно равный нулю.

Следовательно, на основании предыдущей теоремы все его коэффициенты — нули. П р и не р 4. Если миогочлен ах~+Ьха+ах+В тождественно равен многочлену х' — 5х, то а=о, Ь=1, с= — 5, а=о. й 7. О кратных корнях миогочлена Если в разложении многочлена и-й степени на линейные множители ( (х) = А, (х — а,) (х — а,) ... (х — а„) (!) некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид 1(х) =-А,(х — а,)" (х — а,)" ... (х — а„)а .

При этом й,+й,+... +й = п. В этом случае корень а, называется корнем кратности й, или й;кратным корнем, а,— корнем кратности к, и т. д. Пример. Многочлен )(х)=ха — 5хд+зх — 4 разлагается на следующие линейные множители: ) (х) =(х — 2) (х — 2) (х — !). Это разложение можно написать так: )(х) =(х — 2)д(х — 1). Корень ад=2 — двукратный корень, а,=!— простой корень. Если многочлен имеет корень а кратности й, то мы будем считать, что многочлен имеет й одинаковых корней. Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема.

Всякий многочлен и-й степени имеет ровно и корней (действительных или комплексных). Замечание. Все, что говорилось о корнях многочлена ~(х) А ха+Аде-д ! ! А СЛУЧАИ КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЕЙ можно, очевидно, сформулировать в терминах корней алгебраи- ческого уравнения Аахм + А хп 1 + 1 А О Докажем, далее, следующую теорему.

Теорема. Если а, является для многочлена ~(х) корнем крат- ности й, > 1, то для производной 1'(х) это число является кор- нем кратности й, — 1. Доказательство. Если а, есть корень кратности й,>1, то из формулы (1') следует: 7 (х) = (х — а,) ь ф (х), где ф (х) = (х — а,)ьз ... (х — а )' не обращается в нуль при х = ам т. е, ф(а,) ~О.

Дифференцируя, получим 1' (х) = й, (х — а,)ь ' ф (х) + (х — а,)"чр' (х) = = (х — а,)ь -' [й1ф (х)+ (х — а,) ф' (х)]. Обозначим Тогда ф (х) = й,ф (х)+(х — а,) ф' (х). 1' (х) = (х — а„)ь -'ф (х), причем ф(а,) = йл (а,)+(а, — а,) ф' (а,) = й,ф(а,) ныл, т. е. х=а, есть корень кратности й,— 1 многочлена )'(х). Из проведенного доказательства следует, что если й,=1, то ат не является корнем производной 1'(х). Из доказанной теоремы следует, что а, является корнем кратности й, — 2 для производной 1"(х), корнем кратности й, — 3 для производной )'"'(х), ..., корнем кратности 1 (простым корнем) для производной ~<" -н (х) и не является корнем для производной рь1(х), т.

е. 1 (а,) = О, 1' (а,) = О, 1" (а,) = О, ..., 1~ь - Н (а) = О, но й, 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней В формуле (1) З 7 корни а„а„..., а„могут быть как действительными, так и комплексными. Имеет место следующая теорема. Теорема. Если многочлен )(х) с действительными козф4ициентами имеегп комплексный корень а+(Ь, то он имеет и сопряженный корень а — (Ь. Доказательство. Если мы подставим в многочлен )'(х) вместо х число а+)Ь, произведем возведение в степень и соберем КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 1гл.

ч11 отдельно члены, содержащие 1 и не содержащие 1, то получим ~(а+1'Ь) =М+1У, где М и 1У вЂ” выражения, не содержащие 1. Так как а+1Ь вЂ” корень многочлена, то [(а+1Ь) = М+1й( = О, откуда М=О, У=О. Подставим теперь в многочлен вместо х выражение а — 1Ь. Тогда (на основании замечания 3 в конце 9 2) мы получим в результате число, сопряженное с числом М+1У, т.

е. ~ (а — 1'Ь) = М вЂ” 1'йт. Так как М=О и й(=0, то Г(а — 1Ь) =О, т. е. а — ЬЬ есть корень многочлена. Итак, в разложении 1 (х) = А, (х — а,) (х — а,) ... (х — а„) комплексные корни входят попарно сопряженными. Перемножив линейные множители, соответствующие паре комплексно сопряженных корней, получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами: [х — (а+ 1Ь) ] [х — (а — 1Ь)] = [(х — а) — 1Ь] [(х — а) + 1Ь] = = (х — а)*+Ь'= х' — 2ах+а'+Ь'= х'+рх+о, где р= — 2а, о=а'+Ь* — действительнЫе числа.

Если число а+Ь1 является корнем кратности й, то сопряженное число а — Ь1 должно являться корнем той же кратности й, так что наряду с линейными множителями х — (а+1Ь) в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида х — (а — 1Ь). Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, т. е. 1 (х) = =А,(х — а)м (х — а)"...

(х — а,)" (х'+рх+д)' ...(х'+рх+д)1~. При этом й,+й,+... +й,+2(,+... +2(,= и. 9 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами у и х, описывающая количественную сторону данного явления; прн этом 5»1 интеРПОляцноннАя ФОРмулА лАРРАнжА функция у = ~р (х) остается нам неизвестной, но на основании экспеРимента Установлены значениЯ этой фУнкции У„ У„ Ул, ° ° ° У„ при некоторых значениях аргумента х„ хн х„ ..., х„„ принадлежащих отрезку (а, Ь1. Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию у = <р (х) на отрезке [а, Ь1 точно или приближенно. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке 1а, Ь1 заданы значения неизвестной функции у = <р(к) в и+ 1 различных точках х„х„...

у=р(х) хл' ул = ср (х,), уг = <р (х,),, у=РЮ ..., У„=ср(х„); требуется найти м н о г о ч л е н Р(к) Уа Уг Ул степени (п, приближенно выра- а %» аг жающий функцию ~р (х). В качестве такого многочлена естественно взять многочлен, значения которого в точках х„хн х„..., х„совпадают о соответствующими значениями у„у,, у„..., у„функции ~р(х) (рис.

Характеристики

Список файлов книги