32_PiskunovT1 (523111), страница 37
Текст из файла (страница 37)
164. если А) О, то А=)А)(созО+гз!пО); если А(О, то А=)А!(Созл+!з!пи). При мер !. Найти все значения кубического корня нз единицы, Р е щ е н и е. Представим единицу в тригонометрической форме: 1 = соа О+ ! в!п О. По формуле (2) получаем з — ч О+ 2йл . О+ 2йл ~Г 1 = 'гг сов О+!в!и О=сов — +!з!п —. 3 3 Полагая й равным О, 1, 2, находим три значения корня: яд=сов О+!и!и 0=1, х,=сов (2л/3)+ !в!п (2л/3), ха= сов (4л/3)+! в!п [4л/3). Учитывая, что сов(2л/3)= — 1/2, з!п(2л/3)= У 3/2, сов(4л(3)= — 1(2, в!п(4л/3)= — рг3/2, получаем я!=1, х,= — 1/2+!У' 3/2, ха= — 1(2 — !)( 3/2.
На рис. 164 точки А, В, С налижется геометрическими изображениями полученных корней. 3. Р е ш е н н е д в у ч л е н н о г о у р а в н е н и я. Уравнение вида ха=А называется двучтанным. Найдем корни этого уравнения. Если А есть действительное положительное число, то х= ~/А (соз — „"+!э!п — „) (й=О, 1, 2, ..., и — 1). Выражение в скобках дает все значения корня и-й степени из 1. Если А — действительное отрицательное число, то и )А) ( л+2йл + ..
л+2йл) Выражение в скобках дает все значения корня и-й степени из — 1. Если А-комплексное число, то значения л находятся по формуле (2). 441 покАЕАтельнАя Функция с кОмплексным покАЕАтелем 213 $4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства Пусть г= х+зу. Если х и у †действительн переменные, то г называется комплексной переменной.
Каждому значению комплексной переменной г на плоскости Оху (плоскости компл е к с н о й и е р е м е н н о й) соответствует определенная точка (см. рис. 162). Определение. Если .каждому значению комплексной переменной г из некоторой области комплексных значений соответствует определенное значение другой комплексной величины и, то го есть функция комплексной переменной г. Функции комплексного аргумента обозначают ш=/(г) или ш=ш(г). Здесь мы рассмотрим одну функцию комплексной переменной— показательную функцию или гп — ех+ 1 з Комплексные значения функции гп определяются так е): е"+г" =-е" (сову+ ! з!ну), т. е. гп (г) = е" (сову+(з!и у). Примеры: (1) (2) з+з! / и . и! /Р2 .Е21 е =е ~сов — +!в!п — )=с~ — +! — ), 4 4) ч 2 2 )' 1. г= !+ — й 4 е+ — -г г и пч 2.
к=О+ — й е =ез (соз — +! в!п — ) =1, 2 2 2) 3. г = 1+ ю', е'+/ = е' (соь ! + /в!п 1) се 054+1 083, 4. г=х — действительное число, е"ее/=с" (созо+)в!пО)=е» вЂ” обычная показательная функция. Свойства показательной функции. 1. Если г, и г,— два комплексных числа, то Ез1+аз Ек~гкз (3) ') Целесообразность такого определения показательной функции комплексной переменной будет показана и ниже, см.
4 21, гл. ХП! н $18 гл. Х'ч'1, (т. П). П р имер 2. Решить уравнение ха=1, Решен не. к= ~/ сов 2йп+!з!п2йп =сов (2йп/4)+! в!п (2йп/4). Пола. тая й разным О, 1, 2, 3, получаем х, = соз О+ ! в!п 0 = 1, хз = соз (2п/4) + ! в!п (2п/4) = й кз —— сов (4п/4)+)вш (4п/4) = — 1> ха=сов (бп/4)+/вШ (6п/4) = — ~'. !гл,)(н КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ Доказательство. Пусть г)=х,+(у(, г» =- х, + ('у,; тогда е»а+»» = е(кз+(ую)+(к»у(м) = е(как»») к( (»1»у») = = ек ек* [сов (у, + у,) + (' в)п (у, + у,)]. (4) С другой стороны, на основании теоремы о произведении двух комплексных чисел в тригонометрической форме будем иметь е» е'* = е' +(У ек*"У* = е' (сов у, + ( в!п у,) ек (сов у, + ( ага у,) = екек,!Сов(у,-)-у,) -1-( в)п (у(+у»)1 (5) В равенствах (4) и (5) правые части равны, следовательно, равны и левые: е' "*=е"е'».
2. Аналогичным образом доказывается формула »», е»~-»» =— (5) е»» ' 3. Если т — целое число, то (е»)л еа» (у) При т ) О эта формула легко получается на основании формулы (3); если т ( О, то она получается на основании формул (3) и (6). 4. Справедливо тождество с»к»»л = е». (8) Действительно, по формулам (3) и (1) получаем е*"'м = с»еьм = е* (сов 2П+ ( в!п2п) = е*.
На основании тождества (8) следует, что показательная функция е' есть периодическая функция с периодом 2н!. 5. Рассмотрим, далее, комплексную величину и) = и (х) + й)(х), где и (х) и о (х) — действительные функции действительной пере- менной х. Это есть комплексная функция действительной пере- менной. а) Пусть существуют пределы 1пп и(х)=и(х,), 11т о(х)=о(х,).
к "~ к» к к, Тогда и(х»)+!О(х») =и)» называют пределом комплексной пере- менной и). б) Если существуют производные и'(х) и о'(х), то выражение и)„' = и' (х) + !о' (х) (9) будем называть производной комплексной функции действительной переменной цо действительному аргументу. звт поклзАтельнАя ФОРМА кОмплекснОГО числА лв Рассмотрим, далее, следующую показательную функцию: а) = е' + (ах = е(а+ (а) Ф где а и р — постоянные действительные числа, а х — действительная переменная. Это есть комплексная функция действительной переменной, которую по формуле (1) можно переписать так: и) = е"х (сов рх+ ( в!и !1х] или (е = е"* сов (1х+ и в)п !1х.
Найдем производную и)„'. По формуле (9) будем иметь ш,'= (е'"асов рх)'+) (е'*ха!п!1х)'= = еах (а сов Рх — Р в!п 1)х) + (е"х (а в(п Рх + р соз Рх) = =а(еах(соврх+(в!п1)х)]+4(е "(совках+!в!п!1х)]= = (а+ф) (еах(соврх+(в!прх)]=(а+(р) е(а+ив". Итак, если и)=е(а+(В)х, то и)'=(а+1р)е(а'(а)х, или (е(а+(З)х]' (а+ (Р) е(ах(а)х (10) Таким образом, если й — комплексное число (в частности действительное) и х — действительное число, то (е" )' = йе"'. (9') Получили обычную формулу дифференцирования показательной функции. Далее, (еех)х уеехуу й (Еа )' ьхеех и при произвольном и (Елх)~х) йхЕАх Эти формулы нам потребуются в дальнейшем. й 5, Формула Эйлера.
Показательная форма комплексного числа Если в формуле (1) предыдущего параграфа положим х=О, то получим: е("= сову+(в(пу. (1) Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. Заменяя в формуле (1) у на — у, получим е-(е = сову — (в(п у. (2) Из равенств (1) и (2) найдем сову и в!пу: е("+ е е'" — е сову= ' в!пу= —. 1 2( КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
МНОГОЧЛЕНЫ (гл. Уп Пример 2. еие+е ие 11 1 еее — е ее 1~ (еи'ие — е 1'е)и -(' ')(' ')' ''' 2 ) ~ 21' ) 4 4П 1 1 = — — соз 4~р+ —. В .8' Показательная форма комплексного числа. Представим комплексное число в тригонометрической форме: в=Г (СОЗир+! З!нир), где г — модуль комплексного числа, ир — аргумент комплексного числа. По формуле Эйлера соз ир+ 1' з1п ир = еее. (4) Следовательно, всякое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме: г = геев. При мер 3.
Представить числа 1, 1, — 2, — 1 в показательиой форме. Р е ш е и и е. 1 = соз 2йп+ ! в1п 2йи = е™ и и . и и 1= сов — +1 з!п = — е 2 2 — 2=2 (соим+!в!пи) =2е"и, — !=сов ( — — )+1з!п ~ — — )=е 2) ~ 2) На основании свойств (3), (б), (7) 2 4 показательной функции легко производятся действия над комплексными числами в показательной форме. Пусть имеем ги=гиеие, г,=г,еиеи. Тогда г г =г ест Г Е'е*=г г е11е+ед; 1'И вЂ” 1 'И вЂ” 1И этот результат совпадает с формулой (3') 2 2. и еее' г,е е' и. .
вв г,веча ги (6) Последними формулами пользуются, в частности, для выражения степеней созир и з!Иир и их произведений через синус и косинус кратных дуг. Пример 1. соз'у ( ) = — (е' "+2+е ' ")= У ее"+е 'е 1' 1 11 — 11 2 ) 4 ! = — [(сов2у+ив!п2у)+2+(сов 2у — из1п 2у))= 4 1 1 = — (2сов2у+2) = — (1+сов 2у). 4 2 $ 61 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ эта формула совпадает с формулой (5) $ 2.
гп (геар) ч г чесли. (7) вта формула совпадает с формулой (1) $ 3. ч е ахи 1/'те'и= !/ ге " (й=О, 1, 2, ..., и — 1); (8) вта формула совпадает с формулой (2) з 3. 5 6. Разложение многочлена на множители Функция ~(х) =Аоха+А хч-э+ 1 А где и — целое число, как известно, называется мнвгочленом (поли- номом) или целой рациональной функцией от х; число и называется степенью многочлена. Здесь коэффициенты А„А„..., А„— дей- ствительные или комплексные числа; независимая переменная х также может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение пере- менной х, при котором миогочлен обращается в нуль.
Т е О р е м а 1 (т е о р е м а Б е з у) . При делении многочлена !' (х) на разность х — а получается оспиипок, равный 1(а). Д о к а з а т е л ь с т в о. При делении 7" (х) на х — а частным будет многочлен 7, (х), степень которого на единицу ниже степени 7(х), остатком будет постоянное число )с'. Таким образом, можем написать )' (х) = (х — а) 7", (х) + Я. (1) Это равенство справедливо при всех значениях х, отличных от а (делеиие на х — а при х=а не имеет смысла). Заставим теперь х стремиться к а.
Тогда предел левой части равенства (1) равен г (а), а предел правой части равен )т. Так как функции г(х) и (х — а)),(х)+)с равны между собой для всех хчьа, то равны и их пределы при х — а, т. е. 1(а) =)с. Следствие. Если а есть корень мноаэчлена, т.е. 7(а)=0, то 1(х) делится без остатка на х — а и, следовательно, пред- ставляется в виде произведения 7(х) =(х — а) 7,(х), где 1, (х) — многочлен.
П р и м е р 1. Многочлен 1 (х) =ха — бхэ+11х — б при х=) обращается и нуль, т. е. /(1) =о, поэтому данный многочлен делится беэ остатка на х — 1: х' — бх'+ 11х — 6 = (х — 1) (хэ — бх+ 6). Перейдем теперь к рассмотрению уравнений с одним неизвест- ным х. Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнем уравнения, КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ (гл. ум 2)8 Пример 2. Числа хг=п/4, хз=биг4, хе=Оп/4, ч являются корнями уравнения соз х=вгп х. Если уравнение имеет вид Р(х) =О, где Р(х) — многочлен степени и, то зто уравнение называется алгебраическим уравнением степени л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
