32_PiskunovT1 (523111), страница 32
Текст из файла (страница 32)
у= =(ха+1) К Ота. При х=+ !/у 3 точки перегиба. 68. у=!их. Оте. При х=лп точки перегиба. 69. у=хе-". Ота. При х=2 тачка перегиба. 70. у = =а — Ьз/х — Ь. Огпв. Прн х=Ь точка перегиба. 71. у=а — ~г'(х — Ь)~. Ота. Кри- иая не имеет точек перегиба. Найти асимптоты следующих кривых: 1 1 72.
у= —. Ота. х=1; у=О. 73. у= †. Ота. х= — 2; у=О. (к+2)а ' 1 аа 74. у = с+ — . Оаы. х = Ь, у = с. 75. у=а " — 1. О та. х = О; у=О. 78. у = ! п х. (х — Ь) Олв. х=О. 77. уа=бкз+ха. Ота. у=х+2. 78. уз=аз — ка. Ота. у+к=О. ка 79. у'= —. Оте, к=2а. 80. у'(х — 2а)=ха — аз, Оаы. х=2а; 2а — х' у= ~ (х+а). Исследовать функции и построить их графики: 1 81. у=хе — 2х+1О. 82. у=, 4,. 83.
у=е . 84. у= †. 85. у = хз+4аа' ' ' ' !+ха' 4+ к х х-1-2 ха = —. 86. у= . 87. уьч —. 88. у= —. 89. уз=ха — х. 90. у = хз ' ха — 1' ха ' ' !+х' з, з , 91. у='/ ха+2.92. у=х — ~ хз+! 93 у гаям †. 94,у=хе-к 3 — к у х+1' 95. у=х'е-"', 96. у=х — !п(х+1). 97. у= !и (к'+1). 98. у=з!п Зх. 99. у =х+з!их. 1ОО. у=ха!их. 101. у=е-"а!ах. 102. у=!па!их. 103. у= —. х х=(а, !04 1 105 7«=1, 108. ) к а(! з!и !)' 107 лк=ае сон(, у — — 1 !у=!, )(у=а (! — соз !). )(у=пете!п Е УПРАЖНЕНИЯ Ц ГЛАВЕ Н Дополнительные задачи Найти асимптоты линий: ха+1 108.у= —.
Оте. х= — 1; у=к — 1. 109. у=х+е-". Оте. у=х, 1+х ' 1 110. 2у(х+!)а=аз. Огне. х= — 1; у= — х — 1. И!. уз=аз — ла. Оае. Аснмп- 2 тот нет. 112. у=е-влз!пх. Овм. у=О. !13. у=е-"з!п2х+г. Огне, у=к. 11 1 ! г 114. у=х !п (е+ — 7! . Ол!е. х= — —; у=х+ —. 113, у=хе"'. Ове.
х=О' 2! !г 1 1 у=х. 116. к= —, у= —. Огне. у= 4- — к —. 1 — !в' 1 — О' ' 2 2' Исследовать функции н построить нх графики: 117. у=(х(. 118. у=!п)х). 119. уз=ха — х. 120. у=(х+!)в(л — 2), 121. у=к+)х). 122. у=рг'хв — х. !23. у=ха)гл+1. 124. у= — — !пх. 2 хв 1 х !пк 123. у= — 1пх. 126. у= —. 127. у= †.128. у=к+ —.
129. у=к!пл. 2 ' ' ех — 1' ' 1пх' 1 з!и х 130. у=ел — х. 13!. у=)в!пбх!. 132. у= —. !33. у=хагс!Ех. 134. у= =х — 2агс!Ех. 133. у=е"вхв!пбх. 136. у=!з!ил(+л. !37. у=з!п(хв). 138 у созе х+в1пв к. 139. ума . 140. у=, 141, у = х+!х! х — !л( = з!п ( 7! — ( — и ~ х ~ и). 142. у = соз ( 7х+!х! ! х — )х) /х — (х! ! х-с!х) 2 ( ) 1 — — ~х~ ! 7! . 143. у = — (Зх+(х!)+!. 144. у = — [3 (х — !)+(к — 1!)+! 2 )' ' 2 2 (О~а~2). ГЛАВА У! КРИВИЗНА КРИВОЙ й 1. Длина дуги и ее производная Пусть дуга кривой М,М (рис. 137) есть график функции у = ) (х), определенной на интервале (а, Ь). Определим длину дуги кривой. Возьмем на кривой АВ точки М„М„М„..., М! „М1, ..., М„„М. Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию М,М!М;...
М,М!... М„,М, вписанную в дугу 1)о,М. Обозначим длину этой ломаной через Р„. Длиной дуги М,М называется предел (обозначим его через з), к которому стремится длина ломаной при стреат млении к нулю наибольшей из длин Рнс. 131. отрезков ломаной Мг,Мг, если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной М,М,М, ...Мг,М,... М„,М. Отметим, что это определение длины дуги произвольной кривой аналогично определению длины окружности. В главе Х11 будет доказано, что если на отрезке (а, Ь) функция 1(х) и ее производная 1'(х) непрерывны, то дуга кривой у=)(х), заключенная между точками [а; Г(а)1 и 1Ь; 1(Ь)1, имеет вполне определенную длину, причем будет указан способ вычисления этой длины.
Там же будет установлено (как следствие), что в указанных условиях отношение длины любой дуги этой кривой к длине стягивающей ее хорды стремится к 1, когда длина хорды стремится к рл м,м- е МаМ Эта теорема легко может быть доказана для окружности е), однако в общем случае мы пока примем ее без доказательства.
') Рассмотрим дугу АВ, центральный угол которой равен 2а (рис. 138). Длина этой дуги равна Ма ( — радиус окружности), а длина стягивающей ее хорды равна 2Я аю сс. Поэтому дл. АВ . 2)!а !!щ — '= 1!щ =1. а-седл. АВ а 02!!э!ла ДЛИНА ДУГИ И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ 133 Рассмотрим следующий вопрос. Пусть мы имеем на плоскости кривую, заданную уравнением у = — 1 (х). Пусть М, (х„р,)— некоторая фиксированная точка кривой, а М (х, у) †переменн точка этой кривой. Обозначим через з длину дуги М,М (рис.
139), При изменении абсциссы х точки М длина з дуги будет меняться, т. е. з есть функция х. Найдем производную 3 по х. Рис. 139. Рнс. 138. г*= у 1+(е)'а (2) или э) (з )/ (хэ („(ре (2') ') Строго говоря, формула (2') верна лишь для того случая, когда бх > О. Если же ох < О, то оэ= — г' иле+ока. Поэтому в общем случае эту формулу правильнее эаписать так: 1Й(= у ох'+аут. Дадим х приращение Лх. Тогда дуга з получит приращение Лз=дл. ММ,. Пусть ММ,— хорда, стягивающая эту дугу. Для Ла того чтобы найти 1пп —, поступим следующим образом: из д ода ~~ ММД находим ММ,'= (Лх)э+(Лу)е. Умножим и разделим левую часть на Лзе: ( м1г) Азэ (сд )э+(хх )а Разделим все члены равенства на Ьхэ: (Ф)'(~:)'= + ~ —,'.")' Найдем предел левой и правой частей при Лх- О. Учитывая, что 1пп — =1 и что !Пп — = —, получим мм Дд бр дл д Одх ях' мм, о ( аа )и 1 + ((~у) пэ .~/ ~яу)э Для дифференциала дуги получим следующее выражение: КРИВИЗНА КРИВОЙ 186 1ГЛ.
71 Мы получили выражение дифференциала длины дуги для того случая, когда кривая задана уравнением у=)(х). Однако формула (2') сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями. Если кривая задана параметрически: х=1р(1), у=ф(1), то йх=са'(1)й(, йу=ф'(1)сЮ, и выражение (2') принимает вид " = )с И' (г))'+ [Ф' Я7 йг. и 2.
Кривизна Одним из элементов, характеризукяцих форму кривой, является степень ее искривленности. Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает самое себя и имеет определенную касательную в каждой точке. Проведем касательные к кривой в каких-нибудь двух ее точках А и В и обозначим через и угол, образованный этими касательными, или— точнее †уг поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 140).
Этот угол называется углом смгжиосл1и дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности больше (рнс. 140 и 141). Рис. !40. Рис. 141. С другой стороны, рассматривая дуги различной длины, мы не можем оценить степень их искрнвленностн только соответствующим углом смежности. Отсюда следует, что полной характеристикой изогнутости кривой будет от н оше н не угла смежности к длине соответствующей дуги. Определение 1. Средней кривизной К, дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежностй и к длине дуги: К, =— АВ ср ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ 4 з) !87 Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой, показанной на рис.
142, средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А,В„ хотя длины этих дуг равны между собой. Более того, вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлен- нести данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введем понятие кривизны кривой в данной точке. Рис. 142. Рис. 143. Определение 2. Кривизной Кл линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю (т. е. когда точка В приближается *) к точке А)1 Кл — — 1ипК„= 1ип ='. в .4 лв оАВ Пример. Для окружности радиуса г: Ц определить среднюю кривизну дуги АВ, соотвегствуюшей центральному углу а (рис. 143); 2) определить кривизну в точке А.
Решение. 1) Очевидно, что угол смежности дуги АВ равен а, длина а 1 дуги равна аг. Следовательно, Кср — — —, нли Кср — — —. аг ' Г' а 1 2) Кривизна в точке А равна К= 1пп — = —. а оаг г Таким образом, средняя кривизна дуги окружности радиуса г не зависит от длины и положения дуги, для всех дуг она равна 1/г. Кривизна окружности в любой ее точке также не зависит от выбора этой точки и равна 1/г. 3 а м е ч а н и е. Отметим, что для произвольной кривой кривизна в различных ее точках, вообще говоря, будет различная.
Это мы увидим ниже. й 3. Вычисление кривизны Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой ее точке М(х, у). При этом мы будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением ь) Мы предполагаем, что величина предела не зависит от того, с какой стороны от точки А мы берем переменную точку В на кривой. КРИВИЗНА КРИВОЙ !Гл.
у! вида (ае! а<р К ср !Аа! Аа ' Рис. !44. Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ММ, стремится к нулю: Так как величины ср и а обе зависят от х (являются функциями от х), то, следовательно, ср можно рассматривать как функцию от з. Мы можем считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра х. Тогда 1пп — =— ат йр аа- в~з и, следовательно, "=16 (2) Для вычисления — используем формулу дифференцирования др функции, заданной параметрически; Й~ йр нх на= нз и'л ') дан кривой, изображенной на рис. !44, очевидно, что (Л~р)р др, так как Ьр ) О. у — ~ (х) (1) и что функция ! (х) имеет непрерывную вторую производную.
Проведем касательные к кривой в точках М и М, с абсциссами х и х+Лх и обозначим через !р и ~р+Лер углы наклона этих касательных (рис. 144). Длину дуги М,М, отсчитываемую от некоторойдзостоянной точки М„обозначим через з; тогда АЗ= М„М,— М„М, а ~ Лз~ =ММ,. Как непосредственно видно из рис. 144, угол смежности, соответствующий дуге ММ„равен абсолютной величине *) разности углов !р и <р+Ьр, т. е. равен (Л!р~. Согласно определению средней кривизны кривой на участке ММ, имеем ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ аз) Чтобы выразить производную — „через функцию у=)(х), залф мечаем, что (и<р= — и, следовательно, лу Лх ~р= агс(ц —.
ау ах Дифференцируя по х последнее равенство, будем иметь лзу Что же касается производной — „, то еще в 2 1 мы нашли аз Поэтому Лф дх + (дх) или, так как д = ~ — ~, окончательно получаем Фр а(з (3) Следовательно, в любой точке кривой, где существует и ней'у прерывна вторая производная — „,, можно вычислить кривизну. Для ее вычисления служит формула (3). Заметим, что при вычислении кривизны кривой следует брать только арифметическое (т. е. положительное) значение корня в знаменателе, так как кривизна линии по определению не может быть отрицательной.
П р и м е р Ц Определить кривизну параболы у'=2рх: а) в ее произвольно» точке М(х, у); б) в точке Мд(0, О); в) в точке М,(р/2 Р) рещение. Находим первую и вторую производныефункпииу=1~2рхз лау ра — а бх ~/2рх а(х (2рх) ~~ КРИВИЗНА КРИВОЙ !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
