32_PiskunovT1 (523111), страница 34
Текст из файла (страница 34)
На основании формулы (2') $1 имеем СВОЙСТВА ЭВОЛЮТЫ ИЯ1к Найдем, далее, ~„—,) . Так как и)к 2(1+у'к)к (Зу'у"к — у"' — у'~у"') у"к 2 (1+у'к)Мх Деля обе части равенства на 2Р= +У, получим у Я (1+у )м'(зуУ вЂ” у" — у у") Вх укк Возводя в квадрат, получим: ~ Я ~', „~эх — у" — уку" 1х (4) Сравнивая равенства (3) и (4), находим ( — "")'= (й)' откуда По условию — не меняет знак (Я только возрастает или только ВЯ дх убывает), следовательно, и — „не меняет знак. Примем для лх определенности — „( О, — „) О (что соответствует рис.
152). ШХ ВХ й~ дх Следовательно дх Их Пусть точка Мх имеет абсциссу х„а М,— абсциссу х . ПриМЕНИМ ТЕОРЕМУ КОШИ К ФУНКЦИЯМ З(Х) И )1 (Х) На ОтРЕЗИЕ1ХО Х,11 лк х (хк) — х (хй) Их 1 к=1 к( (хк) — Я (хй Вх ! к=1 где $ — число, заключенное между х, и х, (хт < ь ( х,). Введем обозначения (рис.
152) з (х) = з„з (х) = з„й (х) = Я„)( (х) = )ко Дифференцируя по х обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований ЖРИВИЗНА КРИВОЙ 1гл, т1 Тогда" ,~1 = — 1, или з,— з,= — ()с« — )с,). Но это значит, что А'» — й1 1з» вЂ” з 1=111» — й !. Совершенно так же доказывается это равенство и при возрастании радиуса кривизны. Мы доказали теоремы 1 и 2 для того случая, когда кривая задана уравнением в явном виде у = 1(х). Если кривая задана параметрическими уравнениями, то эти теоремы остаются в силе, причем их доказательство проводится совершенно аналогично.
3 а меч а н не. Укажем следующий простой механический способ для построения кривой (эвольвенты) по ее эволюте. Рс Пусть гибкая линейка согнута ,»«~ по форме эволюты С,С, (рис. 133). и,5'" Предположим, что нерастяжимая нить, одним концом укреплен- О х» хи х ная в точке С„огибает эту линейку. Если мы будем эту нить Рис. 152. развертывать, оставляя ее все время натянутой, то конец нити опишет кривую М,М, — эвольвенту. Отсюда происходит и название «эвольвент໠— развертка. Доказательство того, что получен Рис. 153. Рис. 154.
ная кривая действительно является эвольвентой, может быть проведено с помощью установленных выше свойств эволюты. Отметим, что одной эволюте соответствует бесчисленное множество различных эвольвент (рис. 153). $81 ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕЙСТВ. КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 199 П р имер. Пусть имеем окружность радиуса а (рис, 154). Возьмем ту из авольвент втой окружности, которая проходит через точку Ме(л, О).
Учитывая, что СМ = СМе = аб легко получить уравнения звольвенты окружности: ОР = к = и (соз 1+ 1 з1п 1), РМ = у = а (з1п à — 1 сох 1). Отметим, что профиль зуба зубчатого колеса имеет чаще всего форму авольвенты окружности, й 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Методы исследования поведения функции дают возможность находить приближенные значения корней уравнения )'(х) = О. Если данное уравнение есть алгебраическое уравнение *) первой, второй, третьей или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его Р ,у коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, Рис.
156. Рнс. 155. вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Для уравнений выше четвертой степени таких формул, вообще говоря, ие существует. Если коэффициенты любого уравнения, алгебраического или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через радикалы, на практике иногда целесообразно применять *) Уравнение ) (х) =0 называется алгебраическим, если ) (х) есть многочлеи (см. $ 6 гл.
Н!1). КРИВИЗНА КРИВОИ 1гл, ч1 приближенный метод решения уравнения. Ниже будут изложены некоторые методы приближенного вычисления корней уравнения. 1. С п о с об х о р д. Пусть дано уравнение )'(х) =О, (1) где Г(х) — непрерывная дважды дифференцируемая функция на отрезке [а, о]. Допустим, что путем исследования функции у =1(х) внутри отрезка [а, Ь) мы выделим отРезок [хы хз1 такой, что внУтРи этого отрезка функция монотонная (или вози растающая, или убывающая), а на его и концах значения функции)(х,) и)(х,) разных знаков. Примем для определенности, что г(хт) < О,)(хз))О (рис.
155). Так как функция у=1(х) непрерывна на отрезке [х„хз), то ее гРафик пеРесечет ось Ох в У какой-либо одной точке между х; и х,. Х Проведем хорду АВ, соединяющую кон- 4 цы кривой у=)(х), соответствующие абсциссам хт и х,. Абсцисса ат точки пересечения этой хорды с осью Ох н будет при. ближенным значением корня (рис. 155). 'тт Для разыскания этого приближенного зна- чения напишем уравнение прямой АВ, прод ~гй г х о ходящей через две данные точки А(х„ -г -3 Так как у=О при х=а„то, следова— а — 1(х,) а, †-г у=ха ба+2 тельно, Г (хе) — 1 (хг) ха — хг = —, откуда -У (хз — хд) 1 (хз) (2) ) (х,) — /(хт) ' или после преобразования Рис. 167.
хт) (хе) — х 1(хг) (2') 1 (х,) — 1 (хй Чтобы получить более точное начение корня, определяем 1(а,). Если ) (а,) < О, то повторяем тот же прием, применяя формулу (2') к отРезкУ [аы х1. Если 1(а,) ) О, то пРименЯем этУ фоРмУлУ к отрезку [х„а,~. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем, очевидно, получать все более точные значения корня а„аа и т.д. П р и м е р 1.
Найти приближенные значения корней уравнения 1(х) =ха — ах+2=0. Решена е. Найдем, прежде всего, участки монотонности функции 1(х). Вычислив нроизаодиую 1' (х) =Зхз — 6, мы обнаруживаем, что она положительна ири х < — рг2, отрицательна ирн - р' 2 < х < 2~2 и снова положи- йа1 пнивлижвинов вычислвнив дваста. коряки эрлвиеиия 201 тельна прн к> )Г 2 (рис. 157). Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню. Для удобств дальнейших. вычислений сузим эти участки монотонности (но так, чтобы на каждом участке лежал соответствующий корень).
Для этого, подставляя в выражение /(х) наугад те или иные значения к, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки: /(О) =2, / (1)= — 3; /( — 3) = — 7, /( — 2)=6; /(2) = — 2, / (3) = 1 1. х =о, ха=1, ха= — 3, ха — — — 2, х,=2, ха=3, Таким образом, корни находятся в интервалах (- 3; -2), (О; 1), (2; 3). Найдем приближенное значение корня в интервале (О; 1); по формуле (2) имеем (1 — 0).2 2 ах=Π— — = — =0,4.
— 3 — 2 5 Так как /(0,4) =0,4а — 6 0,4+2= — 0,336, / (0) =2, то, следовательно, кпрень заключен между 0 и 0,4. Применяя к этому интервалу снова формулу (2), получим следующее приближение: аз — — 0 — ' = — '=0,342 и т. д. (0,4 — 0) 2 0,8 — 0,336 †2,336 Аналогичным образом найдем приближенные значения корней в других интер- валах.
у — /(ха) =/'(хз) (х — х,). 2. С п о с о б к а с а т е л ь и ы х (с п о с о б Н ь ю т о и а). Пусть снова /(х,) (О, /(х,) ) О, причем иа отрезке [хы ха) первая производная ие меняет своего знака. Тогда в интервале (х„х,) имеетсяодинкорень уравнения /(х)= =О. Предположим еще, что и вторая производиая ие меняет своего знака иа отрезке [х„х,]; этого можно в, г//а) добиться путем уменьшения длины интервала, содержащего корень.
а Сохранение знака второй произ- о а а, а л водной иа отрезке [х„ха1 означает, Ф) что кривая либо только выпукла, ли- л бо только вогнута иа участке [х„хе). Проведем касательную к кривой в точке В (рис. 158). Абсцисса а, точки пересечения касательной с осью Ох будет приближениым значением корня. Чтобы найти эту абсциссу, напишем уравиеиие касательной в точке В: КРИВИЗНА КРИВОЙ !гл.
ю Заметив, что х=аа при у=О, получим а,=х —, ' (3) Проведя затем касательную в точке В,(а,; ((а,)), аналогично находим более точное значение корня аа. Повторяя этот прием несколько раз, мы можем вычислить йриближенное значение корня с любой нужной нам точностью. Отметим следующее обстоятельство. Если бы мы провели касательную к кривой не в точке В, а в точке А, то могло ока- Рис. 159. Рис. !60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
