32_PiskunovT1 (523111), страница 33
Текст из файла (страница 33)
тз !90 Подставляя полученные выражения в формулу (3], получим Рз а) К= зз! (2Рх ! Рз)з/з К !х=а, у=о = 1гР! 1 К!х „„„,= —. 21'2Р б) в) П р имер 2. Определить кривизну прямой у=ах+Ь в ее произвольной точке (х, у). Решение. у'=а, у"=О. Обращаясь к формуле (3), получаем К=О. Таким образом, прямая представляет собой «линию нулевой кризизныз. Этот же результат легко можно получить непосредственно из определения кривизны. $4.
Вычисление кривизны линии, заданной параметрическн Пусть кривая задана параметрически: х = гр ((), у = тр ((). Тогда (см. ~ 24 гл. 111) Ф ф' (1) а(х и (Г) а лхз (ар )з Подставляя полученные выражения в формулу (1), находим К— )а(! — соа!)асов! — аз!и! азгп1! (соз! — 1! — ч 2«1зо (! соз !)з)з (аз (1 — соз !)а+ на зша !)ааз 2«аза(1 — созт)ааз а ~ зп 1 [ 2 й 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах Пусть кривая задана уравнением вида р=1(О) (1) Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: х=рсозО, у=рз!ИО. (2) Подставляя полученные выражения в формулу (3) предыду. щего параграфа, получаем К (ф'Р фф"! (ф"+ф'1'" ' (1) П р и м е р.
Определить кривизну циклоиды х=а(1 — в1п 1), у=а(1 — сов т) в ее произвольной точке (х, у). Р е ш е н и е. агх Лз уу Лзу а(1 * !Р а ьат а Лгз = — =а(1 — сов(), — =аз!и1, = — аз|и(, — =асов!. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ ЛИНИИ 191 Если в зтн формулы подставить вместо р его выражение через 9, т. е. )(О), то получим: х=!(0)сове, у=!'(0)в!пе. (з) Последние уравнения можно рассматривать как параметрнческне уравнения кривой (1), причем параметром является 9. Тогда — = — сов 9 — р в!п 0 — = — в!и О+ р сов 0 бх бр бр бр бв бе бе бв 1 бзх бзр ЛР—,, = — сов 0 — 2 — в)п 0 — р сов 0 Фез оез дв Ф Дзу лзр ДР— = — в!и 9+ 2 — соз 9 — р в!и О.
без =бе бв Подставляя последние выражения в формулу (1) предыдущего параграфа, получаем формулу для вычисления кривизны кривой в полярных коордннатах: К !Р+2Рэ — РР ! (4) (Р'+ Р "7"' Пример. Определить кривизну спирали Архимеда р=ов (а > 0) в про невольной точке (рис. 145). Рис.
145. Решение. — =а, —.=О. Следовательно, бр бзР и бе ! азат+ 2а' ! 1 ее+2 (азв'+ а') Нз 2 (ез+ 1) аж Заметим, что при больших значениях Е имеют место приближенные равен- 0'+2 0'+ ! ства: — ш 1 — ш 1! поэтому, заменяя в предыдущей формуле еа = ' ез Ее+2 на Ез и ее+1 на Ез„получаем приближенную формулу (для больших значений 0): е К- — — = —.
п (В) гз ое' Таким образом; прк больших значениях 0 спираль Архимеда имеет приблизительно ту же кривизну„что и окружность радиуса ав. 192 1гл. т! КРИВИЭНА КРИВОЙ 5 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эаолюта и эвольвента О п р еде л е н ив. Величина Я, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: )с =1/К, (1) или Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 146), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу )4 кривизны кривой в точке М. Рис.
146. Рис. 147. Точка С называется центром кривизны данной кривой в точке М, круг радиуса Я с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М, Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой, Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая задана уравнением У = 7" (х). Зафиксируем на кривой точку М (х, у) и определим координаты а и Р центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 147). Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М; У вЂ” у = — —, (Х вЂ” х). ! (4) Д (Здесь Х и У вЂ” текущие координаты точки нормали.) ее1 РАДИУС И КРУГ КРИВИЗНЫ, ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВВНТА 193 Так как точка С(а, р) лежит на нормали, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4): р — д = — —, (а — х). 1 (5) у Далее, точка С(а, «э) находится от точки М(х, у) на расстоянии, равном радиусу кривизны )т: (а — х)'+ ((1 — у)' = )тэ.
(б) Решая совместно уравнения (5) и (б), определим а и р: э э ус (а — х)'+ — „(а — х)' = стэ, (а — х)' = — „)та« отсюда ус ° лсус" — лсус й= — э У= с хс Тогда а=х — — "( +у) р= + «+у) х'у" — л"у' ' л'у' — л"у' ' (7') П р и м е р 1. Определить координаты центра крнвнэны параболы уэ =2ул а) в проиэвольной точке М (х, у); б) в точке М, (0,0); в) в точке Мс «рс2, р). 7 н. с. пачкунов, т.
1 )~1+у" Р 1+у" ««+у э)э/э а так как )т = "„ , то «у" ( а = х~ ., р = у-с- — „ у' «1-«- у") 1+у'э ~у*« ' ! у" « Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки следует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай у" > О и случай у" < О. Если у" > О, то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, р > у (рис. 147) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ( у"( = у", формулы координат центра запишем в следующем виде: а=х — , р=у+ †.
у' (1+у") 1+ у" у" ' у" (7) Аналогично можно показать, что формулы (7) будут справедливы и в случае у'< О. Если кривая задана параметрическими уравнениями х=ср(1) у'=ф(1) то координаты центра кривизны легко получить из формул (7), подставляя в них вместо у' и у" их выражения через параметр: кривизна кривон СГЛ. Чг !94 дд в'р Р е ш е н и е. Подставляя значения — и — а формулы (7), получим ох охз (рис, 148) (2х)з7з а) а=зх+р, й= — =; б) при х=о находим а=р, Р=О; з) при Ур ' х=р,2 имеем а=бр72, 8= — р.
Если в точке М,(х, у) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определенный центр кривизны С,(а, )э). Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эво лютой по отношению к первой. Рис. 148. Рис. !49. Таким образом, геометрическое место центров кривизны данной линии называется ее эволютой. По отношению к своей эволюте данная линия называется эволавентой или инволютой (или разверткой). Если данная кривая определяется уравнением у=у(х), то уравнения (7) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром х. Исключая из этих уравнений параметр х (если это возможно), получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты а и )).
Если же кривая задана параметрическими уравнениями х=гр (С), у=ф (С), то уравнения (7') дают параметрические уравнения эволюты (так как величины х, у, х', у', х", у" являются функциями от С), Пример 2. Найти ураннение эзолюты параболы уз=2рх. Решение. На основании примера 1 имеем для любой точки (х, у) па. (2х) И раболы а=зх+р, р= —. Исключая из этих уравнений параметр х, Ур получим ()з= — (а — р)з.
Это — уравнение полукубической параболы(рис. 149). 27р Пример 3. Найти ураанепие эзолюты эллипса, заданного параметрическими уравнениями х=а соа С, у=Ьз1п д Р е ш е н и е. Вычисаяем производные от х и у по й х'= — аз1п С, у'=Ьсозг, л'= — я соз С, р" = — Ь зиг С. за! РАдиус и КРУГ КРИВИЗны, эВОлютА и эВОльВентд 195 Подставляя выражения производных в формулы (7'), получим Ь соз 1 (аз а!па !+ Ьз сова 1) се=а соь' !— Ьз / Ьзд = асов ! — асов!з!пз! — созе! 1 а — ) созе !. а а Таким образом, Ьз а= (а — — ) созе ! Аналогично получаем: аа 1 Ь 7 Исключив параметр 1, получаем уравнение эволюты эллипса в виде (-")"'+(-')"'=(' — '.
")"'. Здесь и и () — текущие кооординаты эволюты (рис. 150). Пример 4. Найти параметрические уравнения щюлюты циклонды а=а(1 — ып 1), у = а (1 — сов !). l Решение. х'=а(1 — сов 1), х"=аз!и1, у'=аз!п(, у"=асов! Подставив полученные выражевия в формулу (7'), находиы а=а(!+з!п !), (3 = — а (1 — соз 1).
Сделаем преобразование переменных, положив а=с — па, ()=и — 2а, (=г — и; тогда уравнения эволюты примут зид С = а (т — з !о т), т! = а (1 — соз т); они определяют в координатах 3, циклоиду с тем же производящим кругом радиуса а. Таким обрааом, эволютой циклоиды является такая же цнклоида, но смещенная по оси Ох на величину †и по оси Оу на величину †(рис. 151). Рис. 151, агл.
ю КРИВИЗНА КРИВОЙ й 7, Свойства эволюты 196 Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте. Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (7) предыдущего параграфа, равен аа с$ ах еа йх чх Заметив, что (в силу тех же уравнений (7)) аэ а у у ~ ч аз ах у"а вй зу"ау' — у'" — у'ад" ' ах з"а (2) получаем соотношение где йз — дифференциал длины дуги эволюты; отсюда Подставляя сюда выражения (1) и (2), получим ~ ва ) а „г зз у а — з" — з ау )а (3) Но у' есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к ее эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, т.
е. нормаль к кривой является касательной к эволюте. Теорема 2. Если на некотором участке М,М, кривой радиус кривизны изменяется монотонно (т. е. либо только возрастает, либо только убывает), то приращение длины дуги эволюты на этом участке кривой равно (по абсолютной величине) соопыетствующему приращению радиуса кривизны данной кривой. До к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
