32_PiskunovT1 (523111), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Итак, ! г ! = ! а+ (Ь! = Уа'+ Ь', агд г = ага (а+ (Ь) = Агс1н —, а ь Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчета. Очевидно, что аргумент <р определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2Ы, где к — любое целое число. Замечание.
Сопряженные комплексные числа г=а+(Ь и г=а — 1Ь имеют равныо модули !г!=!г!, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком: агах= — агйг. Отметим, что действительное число А также может быть записано в форме (3), в именно: А = ! А ! (сов О+(з!п0) при А ) О, А = ! А ! (сов и+(з!и и) при А ( О. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ 1гл. Чп Модуль комплексного числа 0 равняется нулю 0: )01=0.
В качестве же аргумента нуля можно принять любой угол ф. Действительно, для любого угла ф имеет место равенство 0=0 (сов ф+1з(пф). 5 2. Основные действия над комплексными числамн 1. Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел г,=а,+(Ь, и г,=а,+(Ь, называется комплексное число, определяемое равенством г,+г,=(аг+(Ь,)+(а,+1Ь,)=(а,+ан)+1(Ь,+Ь,).
(1) Из формулы (1) следует, что сложение комплексных чисел, изображенных векторами, производится по правилу сложения векторов (рис. 163, а). рнс. 163. 2. В ы ч и т а н и е к о м п л е к с н ы х ч и с е л. Разностью двух комплексных чисел г1=а,+(Ь, и г,=а,+(Ь, называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с г„дает в сумме комплексное число г,: 㻠— г,=(а,+1Ь,) — (а,+1Ь,)=(ц — а,)+с'(Ьн — Ь,). (2) Отметим, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точКами, изображающими зти числа на плоскости комплексной переменной (рис.
163,6): ~ г,— г, ~ = У(а,— а,)'+ (Ь,— Ь,)'. 3. Умножение комплексных чисел. Произведением комплексных чисел гт=а,+1Ь, и г,=а,-(-1Ь, называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем зти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что 1н= — 1, 1в= — 1, 14=( — 1) 1= — (в=1, (н=1 и т. д., и вообще при любом целом Ь РА 1 РА+» 1 14А+н 1 РА+н— $23 Основнывдействня нлд комплвкснымн числАми яоа На основании этого правила получаем гтг,=(а,+1Ь,)(а,+1Ь,) =а,а,+1Ь,а,+(а,Ь,+РЬ,Ь„ или г,г,= (а,а,— Ь,Ь,)+1(Ь,а,+а,ЬД, (з) Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме: гв — — г,(сов ф, +1в1п ф,), г,= г, (сов ф,+1в1п ф,).
Найдем произведение этих чисел: г г,=г,(созф,+1з1пф) г,(совф,+1в!пф) = = г,г,[созф,созф,+1в(пф, сов ф,+1созф, з1пф,+1ьв(пф,в)пф,1= = г,г, [(сов ф, сов ф,— з1п ф, в(п ф,) + 1(в1п ф, сов ф, + соз ф, в(п ф,)1 =г,г,[сов (ф,+ф,)+(з1п(ф,+ф,)1. Таким образом, г,г,= г,г,[сов(ф,+ф,)+(з1п (ф,+ф,)1, т. е. произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого ровен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей. Замечание 1. Произведение сопряженных комплексных чисел а=а+(Ь н г=а — 1Ь в силу равенства (3) выражается таи: гг=а*+Ь~, или гг = ~ г ~* = ~ г ~*. а,+!Ь, о,+!Ь, — = х+ру, а, + 1Ь, = (а, + 1Ь,) (х+ 1у), а, + 1ЬЬ = (а,х — Ь,у) + 1 (а,у+ Ь,х); или х и у определяются из системы уравнений а,=а,х — Ь,у, Ьг=Ь,х+а,у.
Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого ив них, 4. Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Пусть гг — — а,+1Ь„г,=а,+1Ь„(г,)=)Га',+Ь.,'ФО. Тогда — =г есть такое комплексное число, что гг=г,г. Если гг е, (гл. ти КОМПЛРКСНЫР ЧИСЛА. МНОГОЧЛРНЫ Решая систему, находим агаг+Ьгьг Х= г г ° аг+ Ьг а Ьг — гЬг у 2+.г Окончательно получаем а,а,+Ь,Ь, . а,Ьà — а,Ьг г= г +1 аг+Ьг аг+Ьа агаг+ Ьгьг+ . а,ьг — агьг а2+ у 1 ага+ Ьв Если комплексные числа даны в тригонометрической форме: гг=г„(созф,+(з)пф,), г,=г,(соз1р,+гз1п1р,), то г, гг(сввфг+)в1а1Р,) г, — ~' = — "[соз(ф, — ф,)+1 з1п (фг — ф,)].
(5) Для проверки этого равенства достаточно умножить делитель на частное: г,(соз1р, +гз!пфа) — [сов(фг — ф )+1з!п(фг — фг)1= = г,— 1[сов(1р,+фг — 1р,)+гз!п(ф,+фг — ф,)1=гг (сов фг+1з)п1р ). Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Замечание 2. Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число. Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики. Заме чан не 3. Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются Практически деление комплексных чисел выполняется следую- ЩИМ ОбРаЗОМ: ЧтОбЫ РаЗДЕЛИтЬ г,=а,+1Ь, На гг=аг+1(г„УМНО- жим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное Делителю (т.
е. на а,— гьг). Тогда делителем будет действительное число; разделив на него действительную и мнимую части делимого, получим частное: а,+ )Ьг (ад+Гьг) (а,— ГЬ,) (адаг+Ьгьг)+1(а,Ь,— агьг) аг+1Ьг (а,+)ьг) (а,— Ььд а'+ ь", вз1 ВОЗВедение кОмплексногО числА В степень 21! сопряженными числами. Отсюда, в частности, вытекает следующая теорема. Теорема. Если в многочлен с действительными коэффициентами А,х" + А,х" '+... + А„подставить вместо х число а+(Ь, а затем сопряженное число а — (Ь, то и резулыпаты этих подстановок будут взаимно сопряженными. й 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа 1.
Возведен ие в степень. Из формулы (3') предыдущего параграфа следует, что если и — целое положительное число, то ) Г (сов ф+ 1 51п ф)1" = Г" (сов лф+ 1 в1п пф). (1) Эта формула называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Рассмотрим теперь еще одно приложение формулы Муавра. Полагая в этой формуле г=1, получим (совф+1в)пф)"=совпф+1в(ппф. Разлагая левую часть по формуле бинома Ньютона и приравнивая действительные и мнимые части, мы сможем выразить яппф и совлф через степени япф и совф. Так, например, в случае я=3 получаем сов' ф+1 3 сов'ф яп ф — 3 сов ф в1П'ф — 1в1п' ф = сов Зф+1в)п Зф; используя условие равенства двух комплексных чисел, получим сов Зф=сов'ф — Зсовфяп'ф, япЗф= — яп'ф+Зсов*фяпф.
2. Извлечение корня. Корнем и-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, л-я степень которого равняется подкоренному числу, т. е. 1Г' Г(совф+(япф)=р(совф+ряп ф), если р" (сов пф+1 яп лф) = Г (сов ф+1 в)п ф). Так как у равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное 2л, то р"=Г, пф=ф+2йл. Отсюда находим р=1/ Г, ф= —, где и — ф+ 2эп й — любое целое число, у' à — арифметическое (т. е. действительное положительное) значение корня из положительного числа г. Следовательно, 1ГГГ (сов 'р+ 1 яп ф) = 1ГГ Г (сов ~~ + 1 в1п ~~~~~), (2) КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МИОГОЧЛЕН Ы (гл.
щ! 212 Придавая й значения О, 1, 2, ..., и — 1, получим и различных значений корня. Для других значений й аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2и, и, следователь- У но, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень и-й степени из комплекс- ного числа имеет и различных значений. гм' д Корень и-й степени из действительного х числа А, отличного от нуля, также имеет и значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме: Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
