32_PiskunovT1 (523111), страница 39
Текст из файла (страница 39)
165). Тогда поставленная задача, называемая «задачей интерполирования функции», формулируется так: для данной функции ~р(к) найти многочлен Р(х) степени (и, который при заданных значениях х„х„..., х„принимал бы значения у, = ~р (х,), уг = ~р (х,), ..., у„= <р (х„).
В качестве искомого многочлена возьмем многочлен п-й степени вида Р(х)=С,(х — х) (х — х )...(х — х )+С,(х — х ) (х — х )... (х — х„)+ + С, (х — х,) (х — х,) (х — х,)... (х — х,) +... ... +С„(х — х,) (х — х;)... (х — х„,) (1) и определим коэффициенты фф..., С„так, чтобы выполнялись условия Р(х,) =У„Р(х») =у;, ..., Р (х„) =у„.
(2) Положим в формуле (1) х=х,; тогда, принимая во внимание равенства (2), получим у, = С, (х, — х,) (х, — х,)... (х, — х„), откуда Сю (хл — х»)(хл — х»)" (х — х,) ' (гл. тг1 КОМП Л ВКСНЫ Б ЧИСЛА. МН ОГОЧ ЛЕНЫ Затем, положив х=хг, получим уз=С,(хт — х,) (х,— х,)... («1 — х„), откуда С— Рг (хт — ке) (хг — ха) ... (хг — х„) ' Таким же образом найдем ра С,— (ха — ха) (ха — хг) (ха — ха) . ° . (ка —.к») Э С— (х» — ха) (х» — хг)(х„— ка) ... (х„— х» г) ' Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим (х — хг) (х — ха)...
(х — х„) (х — х,)(х — х,)... (х — х„) ( — )(.— ") ". (" — .)" (" — ")(" —;)." (" —..)у' + ( "' (х "') " ' (х "" т) . 3 (х» — «е) (х„— х,) ... (х„— х» г) у"' Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Отметим без доказательства, что если ~р(х) имеет производную (и+1)-го порядка на отрезке ~а, 31, то погрешность при замене функции <р (х) многочленом Р (х), т. е. величина Й (х) = <р (х) — Р (х), удовлетворяет неравенству (й(х))(((х — х)(х — х)... (х — х„)( и+ ) птах(<Р"'+ю(х)(.
Замечание. Из теоремы 4 2 6 следует, что многочлен Р(х) является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям. Укажем, что существуют и другие интерполяционные формулы. Одна из них — интерпОляционная формула Ньютона — будет рассмотрена в 2 10. Пример. Из эксперимента получены такие значения функции у=ф(х): ра — — 3 при хе=1; уз= — 5 при хт — — 2; уз=4 при ха= — 4. Требуется предста- выть приближенно функцию у=ф(к) многочленом 2-9 степени. Решение.
По формуле (3) имеем (при »=2): (х — 2) (х+ 4) (к — 1) (к+ 4) б (х — 1) (х — 2) (к)=(1 2).0+4) '3+ (2 Н.(2 1 4)'( б)+( 4 РР(,1 2)'4 или 39 123 252 Р (х) = — — хз — к+ —. 30 30 30 $10. Интерполяционная формула Ньютона Пусть известны п+ 1 значение функции ~р(х), а именно у„ уо ..., у„ при а+ 1 значении аргумента х„ х„ ..., х„. При этом раэйость между соседними значениями аргумента постоянна. интеРпОляционнАя ФОРмулА ньютонА тоо1 Обозначим ее через Ь.
Таким образом имеем таблицу значений неизвестной функции у = зр (х) при соответствующих значениях аргумента. Составим многочлен степени не выше л, который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях х. Этот многочлен будет приближенно представлять функцию зр(х). Предварительно введем обозначения ззУо = Уз Уо ззУз = Уз Узв ззУз = Уз Уз О Уо Уз 2Уз+Уо = йУз йУо й Уз = йУз йУз й Уо=Ув ЗУв+ЗУз Уз= й Уз о Уо Л У,=Л»- У,— Л.- У,. Это так называемые разности 1-го, 2-го, ..., л-го порядка.
Напишем многочлен, принимающий значения у„уг соотвег етвенно при х, и х,. Это будет многочлен 1-й степени' 1 з (х) = Уо+ йУо а ° (1) Действительно, А Р (х) ~ х Уо Р (х) ( х У +йУ у 1 (У У ) Напишем многочлен, принимающий значения у„у„у, сооз ветственно при х„х„х,. Это будет многочлен 2-й степенй Азу к — х Действительно, Р, (хЦ „„, = У„Р, (х) ~ „=„, = у„ Л д,2А УУА Рз(Х)(к=к*=Уо+ЛУо'2+ 21 А ( А 1) =Уз. Многочлен третьего порядка будет иметь вид Азу к — х Наконец, многочлен и-го порядка, принимающий значения у„ У„У„..., У„соответственно при х„х„х„..., х„, будет иметь 8 Н. С.
Пвскувов, з. 3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕИЫ 1гл. Уп ВИД в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Это и есть интерполяционная формула или интерполяционный многочлен Ньютона. По существу, многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона для данной таблицы значений тождественны, но по-разному написаны, так как многочлен степени не выше и, принимающий заданные и+1 значений при данных и+1 значениях х, находится единственным образом. Во многих случаях интерполяционный многочлен Ньютона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от многочлена я-й степени к многочлену (Й+1)-й степени первые й+ 1 членов не меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента. 3 а меч а н и е.
По интерполяционным формулам Лагранжа (см. формулу (3) 3 9) и Ньютона (формула (4)) определяются значения функции на отрезке х, < х < х„. Если по этим формулам определяется значение функции при х < х, (это можно делать при малом ~х — х,1), то говорят, что производится экстраполяция таблицы назад. Если определяется значение функции при х>х„, то говорят, что производится экстраполяция таблицы вперед.
$11. Численное дифференцирование Пусть значения некоторой неизвестной функции ~р(х) заданы таблицей, которая рассматривалась в начале 3 10. Требуется определить приближенно производную этой функции. Эта задача решается так. Строится интерполяционный многочлен Лагранжа или Ньютона и от этого многочлена находится производная.
Так как чаще рассматриваются таблицы с равными разностями между роседннми значениями аргумента, то мы будем пользоваться интерполяционной формулой Ньютона. Пусть даны три значения функции у„у„у, при значениях аргумента х„х„х,. Тогда пишем миогочлен (2) 3 10 и его дифференцируем. Получаем приближенное значение производной функции на отрезке х,<х<х,: «р'(х) =Р~(х)= й'+ р~ (2 — „' — 1) ° (1) При х= х, получаем оуо оеуе ~р (х,)жР,(х,)= — — — '. (2) у гту О нАилучшцм привлижении Функций многочлвнАми 2яу Если будем рассматривать многочлен 3-го порядка (см. (3) у 10), то после дифференцирования для его производной получим выражение — ~3 ( — "' ) — 6 ( — "' ) + 2~ . (3) В частности, при х =х, получаем = А (4) Если мы будем пользоваться формулой (4) $10, то для приближенного выражения производной при х=х, получим = л Заметим, что для функции, имеющей производные, разность ануе есть бесконечно малая 1-го порядка, Лзуе — бесконечно малая 2-го поРЯдка, бзУе — бесконечно малаЯ 3-го поРЯдка и т.
д. относительно Ь. й 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева В связи с задачей, рассмотренной в Я 9 и 10, естественно поставить такой вопрос: пусть на отрезке [а, Ь1 задана непрерывная функция гр (х). Можно ли эту функцию с л ю б о й наперед заданной степенью точности приближенно представить в ниде многочлена Р(х)? Иначе говоря, можно ли подобрать такой многочлен Р(х), чтобы разность между гр(х) и Р(х) по абсолютной величине во всех точках отрезка [а, Ь1 была меньше любого наперед заданного положительного числа е? Утвердительный ответ*) на этот вопрос содержится в следующей теореме, которую мы приводим здесь без доказательства: Теорема В е й е р ш т р а с с а.
Если функция гр (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то для любого е) 0 существует такой жногочлен Р(х), что во всех точках указанного отрезка выполняется неравенство [гр(х) — Р (х)! ( е. Выдающийся советский математик академик С, Н. Бернштейн дал следующий способ непосредственного построения таких много. ') Заметим, что интерполяционный миогочлен Лагранжа [см. (3) й 91 не дает еще ответа на поставленный вопрос.
Его значения равны значениям функции в точках ке, к„хе, ..., х„, но оня могут быть очень далеки от значений функции в других точках отрезка [а, В[. а" комплвксныв числл. многочлвны (гл. и!! членов, которые приближенно равны непрерывной функции !р(х) на заданном отрезке. Пусть, например, функция <р(х) непрерывна на отрезке [О, Ц. Составим выражение а В„(х) = ~ <р ~ — „) С„хн (1 — х)" ".
ы=о Здесь С„" — биномиальные коэффициенты, ~р ( — „) — значение данги ной функции н точке х= —. Выражение В„(х) является много- членом п-й степени; его называют дгногочленом Берыштейна. Если задано произвольное и) О, то можно подобрать такой многочлен Бернштейна (т. е. так выбрать его степень и), чтобы для всех значений х на отрезке [О, Ц выполнялось неравенство ) В„ (х) — <р (х) ~ ( в.
Отметим, что рассмотрение отрезка [О, Ц, а не произвольного отрезка [а, Ь) не является существенным ограничением общности, так как с помощью замены переменной хе а+((Ь вЂ” а) можно любой отрезок [а, Ь1 преобразовать в отрезок [О, Ц. При этом многочлен п-й степени преобразуется в многочлен той же степени. Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П. Л. Чебышев (1821 — 1894) — один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков.
Исходной точкой для создания этой теории была работа П. Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы жногочленами Чебьииева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее вред(я являются могучим средством исследования во многих вопросах математики н техники.
Упражнении и главе УН 1. Найти (3+5О(4 — О. Оогв. 17+17Ь 2. Найти (6-1-1!О(7+3О. 3 — 1 7 19. Отв. 9+95й 3. Найти .. Отв. — — — й 4. Найти (4 — 7йа. Отв.— 524+7й 4+51 ' ' 4! 41 — !+1 5. Найти )г ! . Отв. + —. 6. Найти У вЂ” 5 — 12!. Отв. ~ (2 — ЗО. )Г2 7. Привести к тригононегрическоиу виду выражения: а) 1-1- ~'. — / и па — / 7н . 7п 1 Оны. )/2 ~сов -+!в!и — 7! . 5) 1 — !. Ооы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
